SPWM及锁相

1SPWM
1.1 SPWM概念
SPWM技术目前已经在实际得到非常普遍的应用。

经过长期的发展，大致可分成电压SPWM，电流SPWM和磁通SPWM。

其中电压和电流SPWM是从电源角度出发的SPWM，而磁通SPWM则是从电动机角度出发的SPWM。

电压SPWM技术是通过生成的SPWM波信号来控制逆变器的开关管，从而实现电动机电源变频的一种技术。

1.2 分类
按其调制的方法不同有同步调制、异步调制和分段调制三种。

按调制波的极性分单极性SPWM法、双极性SPWM法；
1、单极性SPWM
(1)每半周期内所有三角波的极性均相同(即单极性)。

(2)单极性调制的工作特点：每半个周期内，逆变桥同一桥臂的两个逆变器件中，只有一个器件按脉冲系列的规律时通时通时断地工作，另一个完全截止；而在另半个周期内，两个器件的工况正好相反，流经负载的便是正、负交替的交变电流。

2、双极性SPWM
(1)调制波和载波：
(2)双极性调制的工作特点：逆变桥在工作时，同一桥臂的两个逆变器件总是按相电压脉冲系列的规律交替地导通和关断，毫不停息，而流过负载ZL的是按线电压规律变化的交变电流。

1.3 产生PWM的算法
产生电压SPWM信号的方法有硬件法和软件法。

其中软件法是使电路成本最低的方法，它通过实时计算来生成SPWM波。

但是实时计算对控制器的运算速度要求非常高。

DSP无疑是能满足这一要求的最理想的控制器。

电压SPWM 信号实时计算需要数学模型。

建立数学模型的方法很多，有谐波消去法、等面积法、采样型SPWM法以及由它们派生出的各种方法。

对称规则采样法的数学模型非常简单，但是由于每个载波周期只采样一次，因此所形成的阶梯波与正弦波的逼近程度仍然存在较大的误差。

如果既在三角波的顶点对称轴采样，又在三角波的底点对称轴位置采样，也就是每个载波周期采样两次，这样所形成的阶梯波的逼近程度会大大提高。

由于这样采样所形成的阶梯波与三角波的交点并不对称，因此称其为不对称规则采样法。

与规则采样法相比每个载波周期采样两次，这样形成的阶梯波与正弦波的逼近程度会大大提高。

由于采用了内存大运算速度高的DSP，软件控制算法选用不对称规则采样法。

不对称规则采样法生成SPWM波如图1所示：
由于采用不对称规则的算法，要用到正弦函数、浮点数的计算，单独用汇编语言实现较为麻烦，同时为提高运行速度，故采用C语言与汇编混合编程实现。

图1 不对称规则采样法生成SPWM 波
当在三角波的顶点对称轴位置t1时刻采样时，则有
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=-=
a T
t a T t C on C off 44
11
当在三角波的底点位置t 2时刻采样时，则有
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
-=+=
b T
t b T t C off C on 44
2
2
将三角形相似关系式
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬
⎫==S
M C S
M
C U t U b U t U T a 22sin 4sin 4
ωω
代入上面两个式子得：
()()()()⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎪⎬
⎫-=+=
+=
-=
22221111sin 14sin 14
sin 14sin 14
t M T t t M T t t M T t t M T t C
off C
on C
on C
off ωωωω 生成 SPWM 波的脉宽为：
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=+=212
1sin sin 212
t t M T t t t C on on on ωω 由于每个载波周期采样两次，所以
()()⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫-==-==
12,5,3,1222,4,2,02
21N k k
T t N k k T t C
C
()()⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫-==
==-====12,5,3,122222,4,2,02222211N k N
k
k T f ft t N k N k
k T f
ft t C C πππωπππω
()()⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬⎫-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+=
12,5,3,1sin 1222,4,2,0sin 12
2
1N k N k M T t N k N k M T t C on C on ππ
式中k 为偶数时代表顶点采样，k 为奇数时底点采样。

不对称规则采样法的数学模型尽管略微复杂一些，但由于其阶梯波更接近于正弦波，所以谐波分量的幅值更小，在实际中得到更多的使用。

以上是单相SPWM 波生成的数学模型。

如果要生成三相SPWM 波，必须使用三条正弦波和同一条三角波求交点。

三条正弦相差120度，即：
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛=34sin 3
2sin sin πππππN
k
u N
k
u N k
u A B C 如果使用不对称规则采样法，则顶点采样时有：
()⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝⎛++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34sin 122,4,2,032sin 1sin 1111πππππN k M u N k N k M u N k M u A
on B
on C
on 底点采样时有：
()⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+=34sin 112,5,3,13
2sin 1sin 1222πππππN k M u N k N k M u N k M u A
on B
on C
on ⎪⎭
⎪⎬⎫+=+=+=A on A on A on B
on B on B on C
on C on C on u u u u u u u u u 212121
2、基于dsp 软件锁相的实现
2.1 锁相概念
锁相环包含三个主要的部分:⑴鉴相环(或相位比较器,记为PD 或PC):是完成相位比较的单元,用来比较输入信号和基准信号的之间的相位.它的输出电压正比于两个输入信号之相位差.⑵低通滤波器(LF):是个线性电路,其作用是滤除鉴相器输出电压中的高频分量,起平滑滤波的作用.通常由电阻、电容或电感等组成，有时也包含运算放大器。

⑶压控振荡器（VCO ）：振荡频率受控制电压控制的振荡器，而振荡频率与控制电压之间成线性关系。

在PLL 中，压控振荡器实际上是把控制电压转换为相位。

2.2锁相环基本原理
一个典型的锁相环（PLL ）系统，是由鉴相器（PD ），压控荡器（VCO ）和低通滤波器（LPF ）三个基本电路组成，如图1，
Ud = Kd (θi –θo) U F = Ud F （s ）
θi
θo
图1
一．鉴相器（PD ）
构成鉴相器的电路形式很多，这里仅介绍实验中用到的两种鉴相器。

1． 异或门鉴相器
F
O o U K dt d =θV V
P D L PF V CO U i
U o
异或门的逻辑真值表示于表1，图2是逻辑符号图。

图2
从表1可知，如果输入端A 和B 分别送
2π 入占空比为50%的信号波形，则当两者
存在相位差∆θ时，输出端F 的波形的
占空比与∆θ有关，见图3。

将F 输出波 形通过积分器平滑，则积分器输出波形
的平均值，它同样与∆θ有关，这样，我
们就可以利用异或门来进行相位到电压
∆θ
的转换，构成相位检出电路。

于是经积 图3 分器积分后的平均值（直流分量）为： U U = Vdd * ∆θ/ π (1) Vcc 不同的∆θ，有不同的直流分量Vd 。

∆θ与V 的关系可用图4来描述。

从图中可知，两者呈简单线形关 1/2Vcc 系：
Ud = Kd *∆θ (2)
1/2π π ∆θ Kd 为鉴相灵敏度 图4
2． 边沿触发鉴相器 前已述及，异或门相位比较器在使用时要求两个作比较的信号必须是占空比为50%的波形，这就给应用带来了一些不便。

而边沿触发鉴相器是通过比较两输入信号的上跳边沿（或下跳边沿）来对信号进行鉴相，对输入信号的占空比不作要求。

二． 压控振荡器（VCO ）
压控振荡器是振荡频率ω0受控制电压U F （t ）控制的振荡器，即是一种电压——频率变换器。

VCO 的特性可以用瞬时频率ω0（t ）与控制电压U F （t ）之间的关系曲线来表示。

未加控制电压时（但不能认为就是控制直流电压为0，因控制端电压应是直流电压和控制电压的叠加），VCO 的振荡频率，称为自由振荡频率ωom ，或中心频率，在VCO 线性控制范围内，其瞬时角频率可表示为：
ωo （t ）= ωom + K 0 U F （t ）
式中，K 0——VCO 控制特性曲线的斜率，常称为VCO 的控制灵敏度，或称压控灵敏度。

三． 环路滤波器
这里仅讨论无源比例积分滤波器如图5。

V
A B F _
_
F = A B + A B
F
B
A
其传递函数为：
1
)(1
)()()(212+++=
=
τττs s s U s U s K i O F 式中：τ 1 = R1 C τ 2 = R2 C
图5
2.3 PLL 倍频
频率合成器的基本原理如图15。

fi 从PLL 原理知，当PLL 处于锁定状 fo 态时，PD 两个输入信号的频率一定
精确相等。

所以可得： f 0 = N f i
图15
若f i 为晶振标准信号，则通过改变分频比N ，便可获得同样精度的不同频率信号输出。

选用不同的分频电路就可组成各种不同的频率合成器。

2.4 锁相环的应用
有源电力滤波器中锁相倍频电路的实现
有源电力滤波器（Active Power Filter, APF ）是一种动态抑制谐波和补偿无功的电力电子装置。

锁相倍频电路是有源电力滤波器谐波检测模块的重要组成部分，它的稳定性对有源电力滤波器快速响应起到了关键的作用。

供电系统的信号频率随负载的变化在较大的范围内变化，为实现准确的信号采样，DSP 必须准确的知道当前信号的频率，确保采样频率与信号频率保持一致。

锁相倍频电路就是将一个完整的周期等分成N 份，作为DSP 的采样信号。

1 锁相倍频电路的原理
锁相倍频电路能否实时稳定的输出12.8kHz 的方波，是整个检测模块在开机后能否在最短时间内开始工作的关键。

图1所示为锁相倍频电路的原理框图。

图1 锁相倍频电路的原理框图
R 1
U V P D L PF V CO
1/N U i
U o
在APF 的检测系统中，锁相倍频电路的输出作为启动AD 采样的信号，分频器将VCO 产生的输出信号频率除以N ，这个因子多数情况下可变或可编程控制，分频器通常由触发器（如RS 触发器、JK 触发器或是T 触发器）级联而成，一个JK 触发器可以将加到它的时钟输入端信号2分频，两个就是4分频等。

在此电路中，使用了二进制加法计数器CD4040，即其累加数均为2的倍数，如要得到256倍，即把输出信号从其Q8脚输出。

2 锁相倍频电路的设计 2.1 过零检测电路
过零检测电路原理图如图2所示。

电路中采用宇波CHV-25P 霍尔电压传感器，此霍尔电压传感器的额定电流为10mA ，原边与副边匝数比为2500：1000，所以在将A 相电网电压接入霍尔电压传感器前，需要通过一个限流电阻进行限流，以免电流过大将霍尔电压传感器烧坏，它的M 端为副边电流输出端，需要加一支采样电阻，将电阻上的压降引入一个由运算放大器CA3140及四个电阻组成的滞回比较器，然后在其输出端通过一个由两个二极管组成的钳位电路之后，将高低电平锁定为5V 和0V ，然后再进入一个与非门CD4093，对输出信号进行整形，将信号变成高电平为5V ，低电平为0V 的标准的方波，然后此方波会作为锁相倍频电路的输入信号。

图2 过零检测电路原理图
2.2 锁相倍频电路
利用CMOS 固有的低功耗、宽工作电源、
集成度高等特点，可以设计出性能良好、使用方
便的锁相环单片电路。

其中CD4046是一种能工作在1MHZ 以下的通用PLL 产品，它广泛应用于通信计算机接口领域。

图8示出CD4046的电路方框功能图。

在这个单片集成电路中，内含两个相位比较器，其中PD1是异或门鉴相器；PD2是边沿触发式鉴相
器。

另外电路中含有一个VCO ，一个前置放
大器A1，一个低通滤波器输出缓冲放大器A2和一个内部5V 基准稳压管。

图8 CD4046原理图
A 1
P D1P D2V CO A 2
+-14
3
4671112
58162
13910151
U i V CC
4046
从图8可看出，引脚（16）是正电源引入端；（8）脚是负电源端，在用单电源时接地；（6）脚，（7）脚外接电阻C67；（11）脚外接电阻R11和C67决定了VCO的自由振荡频率；（12）脚外接电阻R12，它用作确定在控制电压为零时的最低振荡频率fomin ;(5)脚为VCO 禁止端，当（5）脚加上“1”电平（即VDD）时，VCO停止工作，当为“0”电平（即VSS）时，VCO工作；（14）脚是PLL参考基准输入端；（4）脚是VCO输出；（3）是比较输入端；（2）和（13）脚分别是PD1和PD2的输出端；（9）脚是VCO的控制端；（10）是缓冲放大器的输出端；（1）脚和（2）脚配合可做锁定指示；（15）脚是内设5V基准电压输出端。

此锁相倍频电路采用了一片锁相环芯片74HC4046、一片累加计数器CD4040和低通滤波器，其电路连接图如图3所示。

图3 锁相倍频电路原理图
A相电压经过零信号检测电路后得到与A相电压同步的50Hz方波，作为锁相倍频电路的输入信号进入锁相环芯片74HC4046的14号引脚，4号引脚是74HC4046内部压控振荡器的输出端，其输出信号输入CD4040的10号引脚，进行256倍的倍频，其倍频信号从二进制计数器CD4040的13号引脚输出又进入74HC4046的3号引脚，即比较信号输入端，74HC4046内部的相位比较器对两个信号进行相位比较后，从相位比较器Ⅱ的输出端13号引脚输入，经过由、和组成的低通滤波器，将高频噪声滤除后，再进入74HC4046的内部压控振荡器，作为其控制信号，从上述过程可以看到这是一个闭环控制系统，经过不断的调节，使输出信号频率为输入信号频率的256倍，并且使输入信号与比较信号的频差为零。

3 实验结果及分析
过零检测电路在外加信号频率为50Hz正弦波时的实验波形图如图4所示。

图4 过零信号与正弦波形图5 锁相倍频电路输出的12.82kHz方波
压控振荡器的输入电压来自于低通滤波器的输出，所以输出频率会有一定的波动，此锁相倍频电路的输出频率范围在12.77kHz-12.82kHz。

锁相倍频电路输出的频率在被DSP捕捉到后就会启动AD7656对信号采样，由于输出频率的脉动，采样点的正弦和余弦值可能会与表中存储的正弦和余弦表有一定误差。

在满足锁相速度的前提下，应当尽可能减小低通滤波器的截止频率，以减小输出频率的波动。

2.5DSP软件锁相的实现
2.5.1 频率跟踪
数字锁相的目标是使输出电流与电网电压同频同相，即使逆变电流去跟踪电网电压的变化。

通过调节载波的频率来调节输出电流的频率，而载波的频率调节定时器周期寄存器来完成。

输出电流相位是通过调整产生SPWM信号正弦波离散值中第一个点发生的时刻而实现的，当捕获到电网的过零点时，立即调整比较寄存器中正弦波离散值的指针，并作一定的时间补偿。

流程图如图所示
2.5.2 锁相
相位调整的过程是：将当前电网电压与逆变电流两者捕获的过零值做比较，得到相位差。

若相位差小于等于允许值，则说明两者一同相；若相位大于限制值，则作PI调节，然后在判断正弦计数值有无大于限制值，若无，则直接把相邻两次的差值作为调整量；若大于限制值，则只调节限制值，在下一次中断时，在做进一步调整。

3 PID调节
3.1 PID调节到底是什么东西?
经常看到有关PID调节问题书籍，看来看去看不懂他们再说什么。

还有一些技术员一提起PID调节，就摇头，搞不懂呀！那么PID调节的实质是什么？通俗的概念是什么？我们通过图1进行分析。

一个自动控制系统要能很好地完成任务，首先必须工作稳定，同时还必须满足调节过程的质量指标要求。

即：系统的响应快慢、稳定性、最大偏差等。

很明显，自动控制系统总希望在稳定工作状态下，具有较高的控制质量，我们希望持续时间短、超调量小、摆动次数少。

为了保证系统的精度，就要求系统有很高的放大系数，然而放大系数一高，又会造成系统不稳定，甚至系统产生振荡。

反之，只考虑调节过程的稳定性，又无法满足精度要求。

因此，调节过程中，系统稳定性与精度之间产生了矛盾。

如何解决这个矛盾，可以根据控制系统设计要求和实际情况，在控制系统中插入“校正网络”，矛盾就可以得到较好解决。

这种“校正网络”，有很多方法完成，其中就有PID方法。

简单的讲，PID“校正网络”是由比例积分PI和比例微分PD"元件组"成的。

为了说明问题，这里简单介绍一下比例积分PI和比例微分PD。

微分：
从电学原理我们知道，见图2，当脉冲信号通过RC电路时，电容两端电压不能突变，电流超前电压90°，输入电压通过电阻R向电容充电，电流在t1时刻瞬间达到最大值，电阻两端电压Usc此刻也达到最大值。

随着电容两端电压不断升高，充电电流逐渐减小，电阻两端电压Usc也逐渐降低，最后为0，形成一个锯齿波电压。

这种电路称为微分电路，由于它对阶跃输入信号前沿“反应”激烈，其性质有加速作用。

积分：
我们再来看图3，脉冲信号出现时，通过电阻R向电容充电，电容两端电压不能突变，电流在t1时刻瞬间达到最大值，电阻两端电压此刻也达到最大值。

电容两端电压Usc
随着时间t不断升高，充电电流逐渐减小，最后为0，电容两端电压Usc也达到最大值，形成一个对数曲线。

这种电路称为积分电路，由于它对阶跃输入信号前沿“反应”迟缓，其性质是“阻尼”缓冲作
用。

插入校正网络的情况
现在我们首先讨论自动控制系统引入比例积分PI的情况，见图4。

曲线PI（1）对阶跃信号的响应特性曲线，当t=0时，PI的输出电压很小，（由比例系数决定）当t>0时，输出电压按积分特性线性上升，系统放大系数Ue线性增大。

这就是说，当系统输入端出现大的误差时，控制输出电压不会立即变得很大，而是随着时间的推移和系统误差不断地减小，PI的输出电压不断增加，既，系统放大系数Ue不断线性增大。

我们称这种特性为系统阻尼。

决定阻尼系数因素是PI比例系数和积分时间常数。

要不断提高控制系统的质量，就要不断改变PI比例系数和积分时间常数。

我们再讨论控制系统引入比例微分PD的情况，见图4。

曲线PD（2）对输入信号的响应特性曲线，当t=0时，PD使系统放大系数Ue骤增。

这就是说，当系统输入端出现误差时，控制输出电压会立即变大。

我们称这种特性为加速作用。

可以看出，过强的微分信号会使控制系统不稳定。

所以在使用中，必须认真调节PD比例系数和微分时间常数。

为妥善解决系统稳定性与精度之间的矛盾，往往将比例积分PI与比例微分PD组合使用，形成“校正网络”，也称PID调节。

PID调节特性曲线PID（3）（图4），是PI、
PD 特性曲线合成的。

适当的调节PI 、PD 上述各系数，就能保证控制系统即快又稳的工作。

结论：
PID 调节器实际是一个放大系数可自动调节的放大器，动态时，放大系数较低，是为了防止系统出现超调与振荡。

静态时，放大系数较高，可以蒱捉到小误差信号，提高控制精度。

3.2 模拟PID 控制原理
PID 控制是在控制系统中最常用的控制方法。

图A2-1是一个小功率直流电机调速原理图。

给定转速n 0(t )与实际转速n (t )进行比较，其差值e (t )= n (t )- n 0(t )，经过PID 控制器调整后输出电压控制信号u (t )，u (t )经过功率放大后，驱动直流电动机改变其转速。

图A2-1 小功率直流电动机调速系统
常规的模拟PID 控制系统原理框图如图A2-2所示。

该系统由模拟PID 控制器和被控对象组成。

图中，r (t )是给定值，y (t )是系统的实际输出值。

给定值与实际输出值比较形成控制偏差e (t )，
e (t )= r (t )-y (t ) （A2-1）
e (t )是PID 控制器的输入, u (t )为PID 控制器的输出和被控对象的输入。

所以模拟PID 控制器的数学模型为：
00D I p d )(d d )(1)()(u t t e T t t e T t e K t u t +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⎰ （A2-2） 式中，K P ——比例系数；
T I ——积分常数；
T D ——微分常数；
u 0——控制常量。

图A2-2 模拟PID控制系统原理框图
模拟PID控制器中比例环节的作用是对偏差的大小进行比例调节，并在瞬间作出快速反应。

偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。

控制作用的强弱取决于比例系数K P，K P越大，控制越强。

但过大的K P会导致系统振荡，破坏系统的稳定性。

由式(A2-2)可见，只有当偏差存在时，第一项才有控制量输出。

所以，对大部分被控制对象(如直流电机的调压调速)，要加上适当的与转速和机械负载有关的控制常量u0，否则，比例环节将会产生静态误差。

积分环节的作用是把偏差的积累作为输出。

在控制过程中，只要有偏差存在，积分环节的输出就会不断增大，直到偏差e(t)＝0，输出的u(t)才可能维持在某一常量，使系统在给定值r(t)不变的条件下趋于稳态。

因此，使用积分环节后即使不加控制常量u0，也能消除系统输出的静态误差。

积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。

积分常数T I越大，积分的积累作用越弱。

增大积分常数T I会减慢静态误差的消除过程，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。

所以，必须根据实际的情况来确定T I。

实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。

在偏差出现的瞬间，或在偏差变化的瞬间，不但要对偏差量作出立即响应(比例环节的作用)，而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的修正。

为了实现这一作用，可在PI控制器的基础上加入微分环节，形成PID控制器。

微分环节的作用是阻止偏差的变化。

它是根据偏差的变化趋势(变化速度)进行控制的。

偏差变化得越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。

微分作用的引入，有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。

但微分环节对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不可用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。

适当地选择微分常数T D，可以使微分的作用达到最优。

由于计算机进入了控制领域。

人们将模拟PID控制规律引入到计算机中来。

对式(A2-2)的PID控制规律进行离散处理，就可以用软件来实现PID控制，即数字PID控制。

3.3 数字PID 控制算法
数字PID 控制算法可以分为位置式PID 控制算法和增量式PID 控制算法。

3.3.1 位置式PID 控制算法
由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量进行连续控制。

因此，式(A2-2)中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。

离散化处理的方法为：以T 作为采样周期，k 作为采样序号，则离散采样时间kT 对应着连续时间，用求和的形式代替积分，用增量的形式代替微分，可作如下近似变换：
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎬⎫
-=--≈=≈=≈-==∑∑⎰T e e T T k e kT e t t e e T jT e T t t e k kT t k k k j j k j t 1000])1[()(d )(d )(d )(...)2,1,0( （A2-3） 上式中，为了表示方便，将e (kT )简化成e k 。

将式(A2-3)代入式(A2-2)，就可以得到离散的PID 表达式为：
00
1D I
P ])(T
[u e e T e T T e K u k j k k j k k +-++=∑=- （A2-4） 或者 00
1D I P ])(u e e K e K e K u k j k k j k k +-++=∑=- （A2-5）
式中，k ——采样序号，k ＝0，1，2，…；
u k ——第k 次采样时刻的输出值；
e k ——第k 次采样时刻输入的偏差值；
e k-1——第k -1次采样时刻输入的偏差值；
K I ——积分系数，K I ＝K P T /T I ；
K D ——微分系数，K D ＝K P T D /T ；
u 0——开始进行PID 控制时的原始初值。

如果采样周期取得足够小，上述计算可获得足够精确的结果，离散控制过程与连续控制过程十分接近。

式(A2-4)和式(A2-5)表示的控制算法是直接按式(A2-2)所给出的PID 控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式PID 控制算法。

由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对e k 进行累加，工作量大；并且，因为计算机输出的u k 对应的是执行机构的实际位置，在计算机出现故障时，若输出的u k 发生大幅度变化，则会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在生产实际中是不能允许的。

3.3.2 增量式PID 控制算法
所谓增量式PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量Δu k 。

当执行机构需要的控制量是增量(例如步进电动机的驱动)，而不是位置量时，可以使用增量式PID 控制算法进行控制。

增量式PID 控制算法可通过式(A2-4)推导出。

由式(A2-4)可得控制器在第k -1个采样时刻的输出值为：
02110D I 11)]([u e e T
T e T T e K u k k k j j k p k +-++=---=--∑ (A2-6) 将式(A2-4)与式(A2-6)相减，并整理，就可以得到增量式PID 控制算法公式为：
212P 1P I P 21I 1P 1)21()1()]2([--------++=++-++=+-++
-=-=∆k k k k D k D k D k k k D k k k k k k Ce Be Ae e T
T K e T T K e T T T T K e e e T T e T T e e K u u u
式中，A ＝)1(I P T
T T T K D ++ B ＝)21(P T T K D +
C ＝T
T K D P 上式的k u ∆还可以写成下面的形式：
(A2-7)
)
()(2P 2I P k k k k D k k k e D Ie e K e T T e T T e K u ∆++∆=∆++∆=∆
式中，
1--=∆k k k e e e
12122---∆-∆=+-=∆k k k k k k e e e e e e
I =T /T 1
D =T D /T.
由式(A2-7)可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期T ，一旦确定了A 、B 、C ，只要使用前后3次测量值的偏差即可，就可以由式(A2-7)求出控制增量，与位置式算法式(A2-4)相比，计算量小得多，因此在实际中得到广泛的应用。

位置式PID 控制算法也可通过增量式控制算法推出递推计算公式：
k k k u u u ∆+=-1 (A2-9) 这就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推PID 控制算式。

3.4 数字PID 的改进算法
由于数字PID 的灵活性使其在计算机控制系统得到了广泛的应用。

一些原来在模拟PID 控制器中无法实现的问题。

在引入计算机后，只要通过软件处理就得以解决。

于是产生了一系列围绕PID 的改进算法，使PID 控制器的品质得到进一步的改进和提高。

下面将介绍数字PID 控制算法中一些常用的改进算法。

3.4.1 对积分作用的改进
在电动机控制系统中，控制量的输出值要受到元器件或执行机构性能的约束(如电源电压的限制、放大器饱和等)，因此它的变化应在有限的范围内。

即
u kmin ≤u k ≤u kmax (A2-10)
如果计算机根据位置式PID 算法得到的控制量u k 在上述范围内，那么PID 控制可以达到预期的效果。

一但超出上述范围，那么实际执行的控制量就不再是计算值。

产生的结果与预期的不相符，这种现象通常称为饱和效应。

这类现象在电机的启动、停止过程中，以及负载或给定值发生突变时特别容易出现。

(A2-8)。