“钟面问题”分析

“钟面问题”解析
时钟是与我们日常生活息息相关的计时、测时工具。

自从人类发明了时钟，使用了时钟，我们的生活、作息就更加有规律了。

但由于钟面设计的周期性和人们的好奇心，在数学的几何教学与学习中，我们经常会遇到诸如“时针与分针的夹角为多少度”、“时针与分针在什么时刻垂直”等问题，大多数同学在面对这些问题时都感到有些困难，不知如何着手解决，往往凭感觉乱猜。

因此，有必要和大家一起来讨论一下这类所谓“钟面问题”。

为了讨论方便，根据钟面时针、分针旋转的周期性，我们约定：①考察时间段为从0时刻起以后的12小时，若给定时刻大于12点，则从给定时刻中减去12；②时针和分针间的夹角α满足0°≤α≤180°;③“0时刻（通常指计时起始时刻）”、“0点正”、“12点正”是具有不同含义的概念，不应划等号。

一、给定某时刻，时针和分针的夹角计算问题
设给定时刻为X 点Y 分。

以0点正为0时刻，在X 点时时针转过60X ×0.5°；时间达到X 点Y 分时，时针再转过Y ×0.5°，分针转过Y ×6°，于是在X 点Y 分时，时针和分针所成的角
β=│0.5（60X+Y ）-6Y │=│30X -5.5Y │，⑴ 从而，时针和分针间的夹角
α=⎩
⎨⎧︒>-︒︒≤≤)180(360)1800(ββββ，⑵
例1 利用公式⑴、⑵填空：
1、时针和分针间的夹角为0°（即重合）的时刻
设在X 点Y 分时α=0°，根据公式⑴可知，X 、Y 满足关系式：
Y=
11
60X ⑶
由关系式⑶可知，每隔1小时5
11
5分钟，时针和分针重合1次。

故以第1次重合的时
【1】
2、时针和分针间的夹角为180°（即成直线）的时刻
设X 点Y 分时α=180°，根据公式⑴可知，X 、Y 满足关系式：
Y=
11
60X+3211
8 ⑷
由关系式⑷可知，仍然每隔1小时511
5分钟，时针和分针成直线1次。

故以0点正后
第1次成直线的时刻（0点3211
8分）为0时刻的12
小时内，时针和分针成直线共12【2】
次。

具体成直线时刻列表如下： 3、时针和分针间的夹角为90°（即垂直）的时刻
设X 点Y 分时α=90°，根据公式⑴、⑵可知，X 、Y 满足关系式：
Y=
11
60X+1611
4或Y=
11
60X+4911
1 ⑸
由关系式⑸可知，每隔3211
8分钟，时针和分针垂直1次。

故以0点正后第1次垂直的
时刻（0点1611
4分）为0时刻的12小时内，时针和分针共垂直23【3】次。

具体垂直时刻列
表如下：
说明：【1】【2】【3】中的次数n 可统一由公式 n=［
T T ］+1 ⑹
来计算。

其中符号［x ］表示不大于x 的最大整数，T 为考察时间段，T 0为间隔时间。

如【3】中，T=12小时，T 0=32
11
8分钟=
11
6小时，则n=［12/
11
6］+1=23（次）。

例2 填空：一天24小时中，时钟的分针和时针共组成 次平角， 次周角。

错解：24，24
分析：错解错误的原因在于凭想象认定每隔1小时，时针和分针就会重合1次，成直线1次。

事实上，时针和分针不是每隔1小时，而是每隔1小时511
5分钟才重合或成直线1
次。

故由公式⑹可知应填23，23。

思考与练习：
1、4点58分时，时钟上的时针和分针所夹的角是 °。

（161）
2、一天24小时中，时钟的分针和时针共垂直 次。

（45）
3、在7点钟和8点钟之间，时针和分针间的夹角为30°的时刻为 。

（7点32
11
8分或7点4311
7分）。