山东省青岛市高考数学模拟练习题(一) 理 新人教A版

高三数学 (理科)练习题（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次
的概率:()(1)(0,1,2).k k
n k n n P •
k C p p k n -=-=
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合{||1||2|}M x x x =->+,2{|0}N x x x =+<,则M N =
A ．1{|0}2x x -
<< B ．1{|1}2x x -<<- C ．}01|{<<-x x D ．1{|}2
x x <- 2. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的
A ．充要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分而不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =≤，则
A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤
B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>
C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤
D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>
4. 一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =，且
137,,a a a 成等比数列，则此样本的中位数是
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15 5. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，
E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 A ．
15 B ．14 C ．13 D ．12
6. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 底面ABC ，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为 A ．3 B ．32 C ．22 D ．4
7. 设二次函数2
()2f x ax ax c =-+在区间[0,1]上单调递减，且()(0)f m f ≤，则实数m 的
取值范围是
A. (,0]-∞
B. [2,)+∞
C. (,0]
-∞[2,)+∞ D. [0,2]
8. 已知函数()sin()(R,0,0,)2
f x A x x A π
ωϕωϕ=+∈>><
的部分图象如图所示，则
()f x 的解析式是
A ．()2sin() (R)6
f x x x π
π=+
∈
B ．()2sin(2) (R)6
f x x x π
π=+∈
C ．()2sin() (R)3
f x x x π
π=+
∈ D ．()2sin(2) (R)3
f x x x π
π=+
∈
9. 以抛物线x y 202
=的焦点为圆心，且与双曲线
19
162
2=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为
A ． 064202
2
=+-+x y x B ．036202
2
=+-+x y x
C ．016102
2
=+-+x y x
D ．09102
2=+-+x y x
10. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．
的为： A. 若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α B. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥
C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a α
D. 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥
11. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,若2AB AC AO +=，且O
A A C =，则向量BA
在向量BC 方向上的投影为 A ．
32 B
C ．3 D
．12. (1)n x +的展开式中，k
x 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数.下列各式的展开式中8
x 的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,410克的砝码（每种砝码各一个）中
选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是 A ．2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++
B ．(1)(12)(13)(110)x x x x ++++
C ．2310(1)(12)(13)
(110)x x x x ++++
D ．223210(1)(1)(1)
(1)x x x x x x x x x +++++++++
+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 曲线2
-=
x x
y 在点(1,1)-处的切线方程为___________; 14. 阅读右侧的程序框图，输出的结果S 的值为___;
15. 若22x y +=，则93x
y
+的最小值为________;
16.将石子摆成如图的梯形形状．称数列
5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，则数
列的第10项10=a ________;
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-，
(cos cos ,sin sin )2
n B C B C =-
，且m n ⊥. (Ⅰ)求A 的大小；
(Ⅱ)现在给出下列三个条件：①1a =；②21)0c b -=；③45B =，试从中再选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积.
(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分). 18．（本小题满分12分） 某区组织群众性登山健身活动,招募了N 名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为15
20,2025,2530,3035,3540,4045等六个层次,其频率
分布直方图如图所示: 已知3035之间的志愿者共8人.
(Ⅰ)求N 和2030之间的志愿者人数1N ;
(Ⅱ)已知20
25和3035之间各有2名英语教师，
现从这两个层次各选取2人担任接待工作,设两组的选 择互不影响,求两组选出的人选中都至少有1名英语 教师的概率是多少? (Ⅲ)组织者从35
45之间的志愿者(其中共有4名女教
师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,数量为ξ,求ξ的概率和分布列.
19．（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，2=AF ，3=CE ， O 为BC 的中点,//AO 面EFD ． (Ⅰ)求BD 的长；
(Ⅱ)求证：面EFD ⊥面BCED ；
(Ⅲ)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，
1
21,411,111-=-
==+n n n n a b a a a ，其中*
N n ∈． (Ⅰ)求证：数列{}n b 为等差数列；
(Ⅱ)求证：
11111
(N ,2)234
21
n n
b n n *-++++
<∈≥- 21．（本小题满分12分）已知函数1()ln x
f x x ax
-=+. (Ⅰ)若函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，求正实数a 的取值范围； (Ⅱ)若1a =，R k ∈且1k e <
，设()()(1)l n F x f x k x =+
-,求函数()F x 在1
[,]e e
上的最大值A
C B
D
E
F
O
和最小值.
22．（本小题满分14分）已知抛物线2
1:2(0)C y p x p =>的焦点F 以及椭圆
22
222:1(0)y x C a b a b
+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上.
(Ⅰ)求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；
(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ，已知
1212
,,:N A A F N B B F λλλλ==+求证为定值. (Ⅲ)直线l 交椭圆2C 于Q P 、两不同点，Q P 、在
x 轴的射影分别为Q P ''、，
10OP OQ OP OQ ''++=，若点S 满足：+=，证明：点S 在椭圆2C 上.
高三数学（理）练习题（一）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． BCDA CBDA CCAA
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 12+-=x y ； 14.
2
； 15. 6； 16．77 三、解答题：本大题共6小题,共74分. 17. （本小题满分12分）
解：(I)因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 0B C B C -+=……………2分
即：cos cos sin sin B C B C -=cos()B C +=…………4分 因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-
所以cos 30A A =
=……………………………………6分 (Ⅱ)方案一:选择①②，可确定ABC ∆，
因为30,1,21)0A a c b ==-=
由余弦定理，得：2
2
21)2b b =+-
整理得：2
2,2
b b
c ==
=
……………10分
所以1111
sin 22224
ABC S bc A ∆=
=⋅=
……………………12分 方案二:选择①③，可确定ABC ∆， 因为30,1,45,105A a B C ====
又62
sin105sin(4560)sin 45cos60cos 45sin 60+=+=+=
由正弦定理sin 1sin1056sin sin 30a C
c A ⋅=
==
10
分
所以111
sin 122224
ABC S ac B ∆=
=⋅⋅=
……………12分 （注意;选择②③不能确定三角形） 18．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为123456,,,,,P P P P P P
40.0450.2P =⨯=，所以, 8
400.2
N =
=……………2分 由题意1234561P P P P P P +++++=
而2314561()15(0.010.040.020.01)0.6P P P P P P +=-+++=-+++= 所以, 2030之间的志愿者人数12340()400.624N P P =⨯+=⨯=…………4分
（Ⅱ）20.3p =∴2025之间有400.312⨯=人……………5分
设从2025之间取2人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为B ; 从30
35之间取2人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为C
因为两组的选择互不影响,为相互独立事件
2
102127
()1()122
C P B P B C =-=-=
262813
()1()128
C P C P C C =-=-=……………7分
B 与
C 为相互独立事件，同时发生可记做BC
所以，71313()()().222888
P BC P B P C ===……………8分 (Ⅲ) 35
45之间共有5(0.010.02)406⨯+⨯=人，其中4名女教师，2名男教师
从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1,2,3
所以1242361(1)5C C P C ξ=== ；2142363(2)5C C P C ξ===；343
61
(3)5
C P C ξ=== 所以，分布列为
………10分
所以，数学期望为131
1232555
E ξ=⨯+⨯+⨯=……………12分 19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）取ED 的中点P ，连接,PO PF 则PO 为梯形BCED 的中位线，3
22
BD CE BD PO ++== 又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF 所以,,,A O P F 四点共面……………2分
因为//AO 面EFD ，且面AOPF 面EFD PF = 所以//AO PF
所以四边形AOPF 为平行四边形，2PO AF == 所以1BD =……………4分
（Ⅱ）由题意可知平面ABC ⊥面BCED
； 又AO BC
⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED
因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED
又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；……………6分
（Ⅲ）以O 为原点，,,OC OA OP 所在直线分别为z
y x ,,轴建立空间直角坐标系
(1,0,0),(1,0,0).(0,0,2),(1,0,3),A B C P E F -
……7分
y
设Q 为AC
的中点，则1(,22
Q 易证：BQ ⊥平面ACEF
平面ACEF
的法向量为3(,
22
BQ =……………8分 设平面DEF 的法向量为(,,1)n x y =
，(1,0,1),PE PF ==
由00n PF n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得01y x =⎧⎨=-⎩
所以(1,0,1)n =-……………10分
所以cos ,BQ n BQ n BQ n
⋅<>=
=
-
11分 所以平面DEF 与平面ABC ……12分
20．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：1121
121211
21
121
11=----=
--
-=
-++n n
n n n n a a a a b b ∴数列{}n b 为等差数列……………4分 （Ⅱ）因为 111
121b a =
=-，所以1(1)n b n n =+-= 11(2)
n b n n -=-≥ 原不等式即为证明1111
1(N ,2)23421
n
n n n *++++<-∈≥-， 即1111
1(N ,2)23421
n
n n n *+++++<∈≥-成立…………6分 用数学归纳法证明如下：
当2n =时，11
1223
+
+<成立,所以2n =时，原不等式成立……………8分 假设当n k =时，1111
123421k
k +++++<-成立 当1n k =+时，11111111
12342122121
k
k k k +++++++++-+- 211
1111212212212222
k k
k k
k k k k
k k k k k k <+++<++++=+=+++-个
所以当1n k =+时，不等式成立……………11分
所以对N ,2n n *∈≥，总有1111
1
234
21
n n b -++++
<-成立……………12分 21．（本小题满分12分） (Ⅰ)解:由题设可得2
1
'()(0)ax f x a ax
-=
> 因为函数()f x 在[1,)+∞上是增函数， 所以,当[1,)x ∈+∞时，不等式21'()0ax f x ax -=≥即1
a x
≥恒成立 因为,当[1,)x ∈+∞时，
1
x
的最大值为1，则实数a 的取值范围是[1,)+∞-----4分 (Ⅱ) 解: 1a =，1()ln x
f x x x
-=
+ 11()ln (1)ln ln x x
F x x k x k x x x
--=
++-=+ 所以,'''
22(1)(1)1
()x x x x k kx F x x x x
----=
+= …………6分 （1） 若0k =,则2
1'()F x x -=
，在1
[,]e e
上, 恒有'()0F x <， 所以()F x 在1
[,]e e
上单调递减
min 1()()e F x F e e -==
，max 1
()()1F x F e e
==-…………7分 (2) 0k ≠时'22
1
()
1()k x kx k F x x x --== （i ）若0k <，在1[,]e e 上,恒有2
1
()0k x k x
-< 所以()F x 在1[,]e e
上单调递减
min 111
()()ln 1e e F x F e k e k k e e e
--==
+=+=+- max 1
()()1F x F e k e
==--…………9分
ii)0k >时，因为1k e <
，所以1
e k
>
1()0x k -<，所以2
1()0k x k x
-< 所以()F x 在1
[,]e e
上单调递减
min 111
()()ln 1e e F x F e k e k k e e e
--==
+=+=+- max 1
()()1F x F e k e
==--…………11分
综上所述：当0k =时，min 1()e
F x e
-=，max ()1F x e =-；当0k ≠ 且1
k e
<
时，max ()1F x e k =--，min 1
()1F x k e
=+-.…………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由21:2(0)C y px p =>焦点2
p
F
（,0）在圆22:1O x y +=上 得:2
124
p p =∴= 所以抛物线1C ：24y x =………………2分
同理由椭圆22
222:1(0)y x C a b a b
+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)
b b -均在圆2
2
:1O x y +=
上可解得：1,b c a ==∴=
得椭圆2C ：12
2
2
=+y x 总之，抛物线1C ：2
4y x =、椭圆2C ：12
2
2
=+y x ………………4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为11(1,(,)y k x A x y =-），22(,)B x y ，则(0,)N k -.………5分
联立方程组24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y 得:2222(24)0k x k x k -++=，
216160k ∆=+>， 故2122
12
24
,1.k x x k
x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩ …………………………7分 由1NA AF λ=，2NB BF λ=得，111222(1),(1)x x x x λλ-=-=
整理得，121212
,11x x x x λλ==--，……………………………………………………9分 1212121212
()211()x x x x x x x x λλ+-+==--++ ……………………10分 （Ⅲ）设),(),(),,(Q P Q P Q Q P P y y x x S y x Q y x P ++∴则)0,(),0,(Q P x Q x P ''………11分 由01//=+∙+∙OQ OP OQ OP 得：
12-=+Q P Q P y y x x （1） ;1222=+P P y x （2）; 12
22=+Q Q y x （3）. …………12分 由（1）+（2）+（3）得：12)()(2
2=+++Q P Q P y y x x ………………13分
所以),(Q P Q P y y x x S ++满足椭圆2C 的方程，命题得证.………………14分。