弓长岭区一中20182019学年上学期高二数学月考试题含解析

弓长岭区一中2021-2021学年上学期高二数学 12月月考试题含分析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1． 〔﹣6≤a≤3〕的最大值为〔 〕
A ．9
B ．
C ．3
D ．
2．假定点O 和点 F 〔﹣2，0〕分别是
双曲线
的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任
意一点，那么 的取值范围
为〔
〕
A ．
B ．
C ．
D ．
2
4x
0〞
3．“x ﹣＜
〕
的一个充足不用要条件
为〔
A ．0＜x ＜4
B ．0＜x ＜2
C ．x ＞0
D ．x ＜4
4．会合A
1,2,3,k,B 4,7,a 4
,a 2
3a ，且aN *,xA,yB 使B 中元素y3x1和A 中的元素
x 对应，那么a,k 的值分别为〔
〕
A ．2,3
B ．3,4
C ．3,5
D ．2,5
5．a∈R，复数z=〔a ﹣2i 〕〔1+i 〕〔i 为虚数单位〕在复平面内对应的点为
M ，那么“a=0〞是“点M 在
第四
象限〞的〔 〕
A ．充足而不用要条件
B ．必需而不充足条件
C ．充足必需条件
D ．既不充足也不用要条件
6．〔2021 新课标I 〕如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动
点，角 x 的始边为射线OA ， 终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f 〔x 〕，那么 y=f 〔x 〕在[0，π]的图象大概为〔 〕
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A．B．C．
D．
7．双曲线和离心率为sin的椭圆有同样的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，假定
14
cos F1PF2，那么双曲线的离心率等于〔〕
2 A．
567 B．C．D．222
8．a=，b=2，，那么a，b，c三者的大小关系是〔〕
A．b＞c＞aB．b＞a＞c C．a＞b＞cD．c＞b＞a
9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．假定sinC+sin〔B﹣A〕=sin2A，那么△ABC的形状
为〔〕
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
10．在复平面上，复数z=a+bi〔a，b∈R〕与复数i〔i﹣2〕对于实轴对称，那么a+b的值为〔〕
A．1B．﹣3C．3D．2
11．在某次丈量中获得的A样本数据以下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．假定B样本数据恰巧
是A样本数据都加2后所得数据，那
么A，B两样本的以下数字特点对应同样的是〔〕
A．众数B．均匀数C．中位数D．标准差
12．直线l过点P〔2，﹣2〕，且与直线x+2y﹣3=0垂直，那么直线l的方程为〔〕A．2x+y﹣2=0B．2x﹣y﹣6=0C．x﹣2y﹣6=0D．x﹣2y+5=0
二、填空题
13．在等差数列{a n}中，a12021，其前n项和为S n
S
10S8
2，那么
S2021的值等于.，假定
8
10
【命题企图】本题考察等差数列的通项公式、前n项和公式，平等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.
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14．假定函数f〔x〕=，那么f〔7〕+f〔log36〕=．
15．假定P〔1，4〕为抛物
线C：y2=mx上一点，那么P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=．
16．假定直线y﹣kx﹣1=0〔k∈R〕与椭圆恒有公共点，那么m的取值范围是．
17．等比数列{a n}的前n项和S n＝k1＋k2·2n〔k1，k2为常数〕，且a2，a3，a4－2成等差数列，那么a n＝
________．
18．长方体的一个极点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个极点都在同一个球面上，那么这个球的表面积
是．
三、解答题
19．某校高一年级学生所有参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并
按分数段，，，，，进行分组，假定同一组中的每个数据可用
该组区间的中点值取代，那么获得体育成绩的折线图〔以下〕．
〔Ⅰ〕体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育优秀〞．该校高一年级有1000名学生，试预计高
一年级中“体育优秀〞的学生人数；
〔Ⅱ〕为剖析学平生常的体育活动状况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在
抽取的2名学生中，起码有1人体育成绩在的概率；
〔Ⅲ〕假定甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，此中
．当数据的方差最大时，写出的值．〔结论不要求证明〕
〔注：，此中为数据的均匀数〕
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20．函数 的图象在 y 轴右边的第一个最大值点 和最小值点分别为〔 π，2〕和〔4π，﹣2〕． 〔1〕试求f 〔x 〕的分析式；
〔2〕将y=f 〔x 〕图象上所有点的横坐标缩短到本来的 〔纵坐标不变〕，而后再将新的图象向轴正方向平移 个单位，获得函数 y=g 〔x 〕的图象．写出函数 y=g 〔x 〕的分析式．
21．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线 C 1的极坐标方程为 ρ〔sin θ+cos θ〕=1，曲线C 2的参数方程为 〔θ为参数〕． 〔Ⅰ〕求曲线 C 1的直角坐标方程与曲线 C 2的一般方程；
〔Ⅱ〕试判断曲线 C 1与C 2能否存在两个交点？假定存在，求出两交点间的距离；假定不存在，说明原因．
22 ．函数
f 〔x 〕=〔lo
g 2x ﹣2〕〔log 4x ﹣ 〕
〔 1 〕当x ∈[2 ，4] 时，求该函数的值域； 〔 2 〕假定 f x 〕＞ mlog 2
恒成立，求m 的取值范围． 〔
x 对于x ∈[4，16]
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23．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．〔Ⅰ〕证明：AC⊥D1E；
〔Ⅱ
〕求
DE
与平面
AD1
E所成角的正弦值；
〔Ⅲ
〕在棱
AD
上能否存在一点
P
，使得
BP∥
平面
AD1E？假定存在，
求
DP的长；假定不存在，说明原
因．
24．对于随意的
*，记会合E
n n．假定会合A知足
下
n∈N={1，2，3，，n}，P=
列条件：①A?P n；②?x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，那么称A拥有性质Ω．
如当n=2时，E2
={1，2}
2
．?x
1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N
*，使x
122，，P=+x=k
所以P2拥有性质Ω．
〔Ⅰ〕写出会合P3，P5中的元素个数，并判断P3能否拥有性质Ω．〔Ⅱ〕证明：不存在A，B拥有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．
〔Ⅲ〕假定存在A，B拥有性质Ω，且A∩B=?，使P n=A∪B，求n的最大值．
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弓长岭区一中2021-2021学年上学期高二数学12月月考试题含分析〔参照答案〕一、选择题1．【答案】B
【分析】解：令f〔a〕=〔3﹣a〕〔a+6〕=﹣+，并且﹣6≤a≤3，由此可得函数f
〔a〕的最大值为，
故〔﹣6≤a≤3〕的最大值为=，
应选B．
【评论】本题主要考察二次函数的性质应用，表达了转变的数学思想，属于中档题．
2．【答案】B
【分析】解：因为F〔﹣2，0〕是双曲线的左焦点，
22
所以a+1=4，即a=3，所以双曲线方程为
，
设点P〔x0，y0〕，
那么有，解得，
因为，，
所以=x0〔x0+2〕+=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，获得最小值=，
故的取值范围是，
应选B．
【评论】本题考察待定系数法求双曲线方程，考察平面向量的数目积的坐标运算、二次函数的单一性与最值等，考察了同学们对根基知识的娴熟程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
3．【答案】B
【分析】解：不等式x2﹣4x＜0整理，得x〔x﹣4〕＜0∴不
等式的解集为A={x|0＜x＜4}，
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所以，不等式x2﹣4x＜0成立的一个充足不用要条件，对应的x范围应当是会合A的真子集．
写出一个使不等式x24x
＜
成立的充足不用要条件能够是：
0x2
，﹣＜＜
应选：B．
4．【答案】D 【分析】
试题剖析：剖析题意可知：对应法那么为y3x1
a4331a43k1
，那么应有〔1〕或
a2
〔2〕，a23a3k13a331
因为aN*，所以〔1〕式无解，解〔2〕式得：a2。

应选D。

k5
考点：映照。

5．【答案】A
【分析】解：假定a=0，那么z=﹣2i〔1+i〕=2﹣2i，点M在第四象限，是充足条件，
假定点M在第四象限，那么z=〔a+2〕+〔a﹣2〕i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必需条件；应选：A．
【评论】本题考察了充足必需条件，考察了复数问题，是一道根基题．
6．【答案】C
【分析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，那么OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为 x的函数f〔x〕=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
应选C．
【评论】本题主要考察三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的重点，同时考察二倍角公式的运用．
7．【答案】C
【分析】
试题剖析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1m，PF2n，且不如设
mn，由m n2a1，m n2a2得m a1a2，n a1a2，又cosF1PF21
，由余弦定理可知：2
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4c2m2n2mn，4c2a123a22，a123a224，设双曲线的离心率为，那
么134，解
c c〔22e2
〕
2
得e 6
.故答案选C．2
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考察圆锥曲线的定义和离心率.依据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径PF1、PF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，接着用余弦定理表示cos F1PF21，
2成为一个对于a1,a2以及的齐次式，等式两边同时除以c2，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考
查定义和几何性质为主.
8．【答案】A
【分析】解：∵，，
∴0＜a＜c＜1，b=2＞1，
∴b＞c＞a，
应选：A．
9．【答案】D
【分析】解：∵sinC+sin〔B﹣A〕=sin2A，
∴sin〔A+B〕+sin〔B﹣A〕=sin2A，
∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A，
∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，
∴2cosA〔sinA﹣sinB〕=0，
∴cosA=0，或sinA=sinB，
∴A=，或a=b，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形
应选：D．
【评论】本题考察三角形形状的判断，波及三角函数公式的应用，本题易约掉cosA而致使漏解，属中档题和
易错题．
10．【答案】A
【分析】解：∵z=a+bi〔a，b∈R〕与复数i〔i﹣2〕=﹣1﹣2i对于实轴对称，
∴，∴a+b=2﹣1=1，
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应选：A．
【评论】本题考察复数的运算，注意解题方法的累积，属于根基题．
11．【答案】D
【分析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
均匀数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差S2=[〔82﹣86〕2+2×〔84﹣86〕2+3×〔86﹣86〕2+4×〔88﹣86〕2]=4，标准差S=2，
B样本方差S2=[〔84﹣88〕2+2×〔86﹣88〕2+3×〔88﹣88〕2+4×〔90﹣88〕2]=4，标准差S=2，D正确应选D．
【评论】本题考察众数、均匀数、中位标准差的定义，属于根基题．
12．【答案】B
【分析】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，
∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，
故直线l的方程为y﹣〔﹣2〕=2〔x﹣2〕，
化为一般式可得2x﹣y﹣6=0
应选：B
【评论】本题考察直线的一般式方程和垂直关系，属根基题．
二、填空题
13．【答案】2021
14．【答案】5．
【分析】解：∵f〔x〕=，
∴f〔7〕=log39=2，
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f〔log36〕=+1=，
∴f〔7〕+f〔log36〕=2+3=5．
故答案为：5．
15．【答案】5．
【分析】解：P〔1，4〕为抛物线C：y2=mx上一点，
即有42=m，即m=16，
抛物线的方程为y2=16x，
焦点为〔4，0〕，
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【评论】本题考察抛物线的方程和性质，考察两点的距离公式，及运算能力，属于根基题．
16．【答案】[1，5〕∪〔5，+∞〕．
【分析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，
∴直线恒过〔0，1〕点，所以只要要让点〔〕在椭圆内或许椭圆上即可，
因为该点在y轴上，而该椭圆对于原点对称，
故只要要令x=0有
2
5y=5m
要让点〔〕在椭圆内或许椭圆上，那么y≥1即是
y2≥1
获得m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
的范围是[1，5〕∪〔5，+∞〕故答案为[1，5〕∪〔5，+∞〕
【评论】本题主要考察了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采纳了数形联合的方法，解决问题较为直观．17．【答案】
【分析】当n＝1
n n1n1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝〔k1＋k2·2〕－〔k1＋k2·2－〕＝k2·2－，
∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
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∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
18．【答案】50π．
【分析】解：长方体的一个极点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个极点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；那么这个球的表面积是：=50π．
故答案为：50π．
【评论】本题是根基题，考察球的内接多面体的相关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转变是本题的解答的重点，考察计算能力，空间想象能力．
三、解答题
19．【答案】
【分析】【知识点】样本的数据特点古典概型
【试题分析】〔Ⅰ〕由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中，“体育优秀〞的学生人数大概有人．
〔Ⅱ〕设“至少有1人体育成绩在〞为事件
，
记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，
那么从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，
，，，，，，，．
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
所以事件的概率．
〔Ⅲ〕a，b，c的值分别是为，，．
20．【答案】
【分析】〔本题总分值为12分〕
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解：〔1〕由题意知：A=2，
T=6π，
=6π得
ω=，
f〔x〕=2sin〔x+φ〕，∵函数图象过〔π，2〕，
sin〔+φ〕=1，
∵﹣＜φ+＜，
∴φ+ =，得φ=
A=2，ω=，φ=，
f〔x〕=2sin〔x+〕．
〔2〕∵将y=f〔x〕图象上所有点的横坐标缩短到本来的〔纵坐标不变〕，可得函数y=2sin〔x+〕的图象，
而后再将新的图象向轴正方向平移个单位，获得函数g〔x〕=2sin[〔x﹣〕+]=2sin〔﹣〕的图象．
故y=g〔x〕的分析式为：g〔x〕=2sin〔﹣〕．
【评论】本题主要考察了由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确立其分析式，考察了函数y=Asin〔ωx+φ〕的图
象变换，函数y=Asin〔ωx+φ〕的分析式的求法，此中依据求出函数的最值，周期，向左平移量，特别
点等，从而求出A，ω，φ值，获得函数的分析式是解答本题的重点．
21．【答案】
【分析】解：〔Ⅰ〕由曲线C1的极坐标方程为ρ〔sinθ+cosθ〕=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
依据曲线C2的参数方程为〔θ为参数〕，可得它的一般方程为+y2=1．
〔Ⅱ〕把曲线C12
是联立方程组，化简可得5x
2
﹣
8x=0
，明显△
=640与C＞，
故曲线C1与C2是订交于两个点．
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解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为〔0，1〕、〔，﹣〕．
【评论】本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为一般方程的方法，求两条曲线的交点，属于根基题．
22．【答案】
【分析】解：〔1〕f〔x〕=〔log2x﹣2〕〔log4x﹣〕
= 〔log2x〕2﹣log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，那么y=t2﹣t+1=〔t﹣〕2﹣，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=
时，
y min
=﹣
max
，当t=1，或t=2时，y=0．
∴函数的值域是[﹣，0]．
〔2〕令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，
设g〔t〕=t+﹣，t∈[2，4]，
∴g〔t〕=t+﹣=〔t+〕﹣，
∵g〔t〕= t+﹣在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g〔t〕min=g〔2〕=0，
∴m＜0．
23．【答案】
【分析】〔Ⅰ〕证明：连结BD
ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC1分
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC2分又
BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，3分
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而D1E?平面BB1D1D，∴AC⊥D1E4分
〔Ⅱ
〕解：如图成立空间直角坐标系
Dxyz，那
么
A100
〕，
D1
〔，，〔0，0，2〕，E〔1，1，1〕，B〔1，1，0〕，
∴5分
设平面AD1E的法向量为，那
么，即
令z=1，那么7分
∴8分
∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为9分
〔Ⅲ〕解：假定在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．
设P的坐标为〔t，0，0〕〔0≤t≤1〕，那么∵BP∥平面AD1E
∴，即，
∴2〔t﹣1〕+1=0，解得，12分
∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．13分．
24．【答案】
【分析】解：〔Ⅰ〕∵对于随意的n∈N*，记会合E n={1，2，3，，n}，P n=．
∴会合P3，P5中的元素个数分别为9，23，
2，那么称A拥有性∵会合A知足以下条件：①A?P n；②?x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x12
+x=k
质Ω，
∴P3不拥有性质Ω．..
证明：〔Ⅱ〕假定存在A，B拥有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．此中E15={1，2，3，，15}．因为1∈E15，
所以1∈A∪B，
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不如设1∈A．因为1+3=22，所以3?A，3∈B．
同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A拥有性质Ω矛盾．
所以假定不可立，即不存在A，B拥有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．..
解：〔Ⅲ〕因为当n≥15时，E15?P n，由〔Ⅱ〕知，不存在A，B拥有性质Ω，且A∩B=?，使P n=A∪B．假定n=14，当b=1时，，
取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
那么A1，B1拥有性质Ω，且A1∩B1=?，使E14=A1∪B1．
当b=4时，会合中除整数外，其余的数构成会合为
，
令，，
那么A2，B2拥有性质Ω，且A2∩B2
=?，使
．
当b=9时，集中除整数外，其余的数构成会合
，
令，．
那么A3，B3拥有性质Ω，且A3∩B3=?，使
．
会合中的数均为无理数，
它与P14中的任何其余数之和都不是整数，
所以，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，那么A∩B=?，且P14=A∪B．
综上，所求n的最大值为14．..
【评论】本题考察会合性质的应用，考察实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思想要求高，解题时要仔细审题，注意分类议论思想的合理运用．
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