秋九年级数学上册 第3章 图形的相似小结与复习 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中九年级上册数学学案

图形的相似
【学习目标】
1．能理清本章的知识及其联系，画出知识结构图．
2．会运用相似三角形的判定定理和性质进行有关问题的简单的说理或计算． 3．能熟练地应用相似三角形的判定与性质解决简单的实际问题．
【学习重点】
运用相似三角形的判定方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算．
【学习难点】
相似三角形的判定方法、性质的运用。

情景导入 生成问题 【本章知识结构】
【基础知识梳理】 1．相似图形的含义：把形状相同的图形叫作相似图形．(即对应角相等，对应边的比也相等的图形)
2．比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝c d
(或a ∶b ＝c∶d )那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段．
3．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，这个基本事实称为平行线分线段成比例．
4．相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
相似三角形的判定方法：
(1)若DE∥BC(A型和X型)，则△ADE∽△ABC.
(2)两个角对应相等的两个三角形相似．
(3)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
(4)三边对应成比例的两个三角形相似．
两个三角形相似时，要注意角、边的对应关系．全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形．
5．位似图形
两个图形位似，其对应顶点的连线都相交于同一点，对应边互相平行．
自学互研生成能力
知识模块一比例线段
【例1】
如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( B)
A．7B．C．8D．9
知识模块二相似三角形的判定与性质
【例2】
如图，在正方形网格上有△A1B1C1、△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．解：相似，相似比为2∶1，
通过观察图形发现∠B1A1C1＝135°＝∠B2A2C2，
设每个小方格的边长为1，利用勾股定理，计算得
A 1
B 1＝22，A 2B 2＝2，A 1
C 1＝4，A 2C 2＝2， ∴A 1B 1∶A 2B 2＝A 1C 1∶A 2C 2＝2∶1. ∴△B 1A 1C 1∽△B 2A 2C 2，∴S △A 1B 1C 1S △A 2B 2C 2
＝4∶1. 【例3】
如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两直角边AC 、BC 的长分别为3cm 和4cm ，分别采用(1)、(2)两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
解：(1)设正方形边长为y cm .
易证△ADE∽△ACB，
∴AD AC ＝DE CB .∴3－y 3＝y 4，解得y ＝127
. (2)AB ＝32＋42＝5.
作AB 边上的高CH ，交DE 于点M.
由S △ABC ＝12AB ·CH ＝12
AC ·BC ， 得
5CH 2＝3×42，解得CH ＝125cm . ∵△DCE ∽△ACB ，∴CM CH ＝DE AB
. 设正方形DEFG 的边长为x cm ，则125－x 125
＝x 5，解得x ＝6037
.
∵6037<127，∴(1)种情形下正方形的面积大． 交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 比例线段
知识模块二 相似三角形的判定与性质
检测反馈 达成目标 1．如图，DE ∥AF ∥BC ，下列比例式中正确的有( C ) ①
AD AB ＝AE AC ；②AC AD ＝AB AE ；③AE AB ＝EF FC ；④AD AC ＝EF FC . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图，点D 在△ABC 内，连接BD 并延长到E ，连接AD ，AE ，若∠BAD＝20°，AB AD ＝BC DE ＝AC AE
，则∠EAC＝__20°__．
3．在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D＝105°，AC ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，则DE ＝__2或92
cm __时，△ABC 与△DEF 相似．
4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高．
(1)求证：CE CB ＝CD CA
； (2)若EC ＝5，BC ＝13，求DE AB
的值． 解：(1)证明：∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC ＝∠BEC＝90°，∴△ACD ∽△BCE ，
∴AC BC ＝CD CE ，∴CD AC ＝CE BC . (2)∵CE BC ＝CD CA
，∠DCE ＝∠ACB， ∴△DCE ∽△ACB ，∴DE AB ＝EC BC ＝513。

课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。