第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷模版

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第三届全国大学生数学竞赛决赛解答

第三届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2012）时间150分钟，满分100分一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题（要求写出重要步骤）（1）xx xx x x 222220sin cos sin lim -→ 解：422222330222220)](21[)](6[lim sin cos sin lim x x o x x x o x x x x x x x x x +--+-=-→→ 32)(32l i m 4440=+=→x x o x x （2）]1)1tan 2[(lim 613x e xx x x x +--++∞→解：原式]1)2[(lim 613x e xx x x +-+=+∞→366332203620)](21[)](621)[211(lim 1)211(lim tt o t e t o t t t t t te t t t t t ++-+++++=+-+=++→→ +∞=。

或+∞=+-++=+-+=++→→36520362013)211(lim 1)211(lim tt t e t t t t e t t t tt （3）设函数),(y x f 有二阶连续偏导数，满足0222=+-xx y xy y x yy x f f f f f f f ，且0≠y f ，),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数，求22xy∂∂。

解：yx f f x y-=∂∂ 222)]([)]([y yx yy yx x y x xy xx y f f f f f f f f f f f x y -+--+-=∂∂02322=+--=yxxy xy y x yy x ff f f f f f f（4）求不定积分⎰+-+=dx e xx I x x 1)11(。

解：⎰⎰⎰++++=-+=x x xx xx xde dx e dx e xx I 111)11(C xedx exedx exx xx xx xx +=-+=++++⎰⎰1111（5）求曲面az y x =+22和)0(222>+-=a y x a z 所围立体的表面积。

2018-2019全国大学生数学竞赛试题及答案（最完整版）.pdf

y y→+∞ 0
五、（本题满分 12 分）设函数 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可微，且
f (0) = f (1) = 0, f (1 ) = 1 。证明：(1) 存在ξ ∈ (1 ,1) 使得 f (ξ ) = ξ ；(2) 存在η ∈ (0,ξ )
2
f (x)dx − 2 , 则 f (x) =
0
；
3．曲面 z = x2 + y2 − 2 平行平面 2x + 2 y − z = 0 的切平面方程是
；
2
4．设函数 y = y(x) 由方程 xe f ( y) = e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f ′ ≠ 1 ，则
d2y =
知该抛物线与 x 轴及直线 x = 1所围图形的面积为 1 。试确定 a, b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一 3
周而成的旋转体的体积最小。
七、（本题满分 15 分）已知 un (x) 满足 un′ (x) = un (x) + xn−1ex (n = 1,2,
∞
∑ 求函数项级数 un (x) 之和。 n=1 ∞
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
？若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析

评阅人
⎛0
⎜ ⎜
1
0 0
# #
0 0
−an −an−1
⎞ ⎟ ⎟
的复数域 C 上的线性空间， F = ⎜ 0
⎜ ⎜
#
1 #
# #
0 #
−
an−2 #
⎟ ⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 0 # 1 −a1 ⎟⎠
（1）假设
A
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
a11
a21 "
a12
a22 "
" " "
a1n
a2n "
⎞ ⎟ ⎟ ⎟
，若
AF
G
G
n = (1,1,1) ，且圆柱面经过点 O(0, 0, 0) ，过点 O(0, 0, 0) 且垂直于 n = (1,1,1) 的平
面π 的方程为： x + y + z = 0 .
……………………………（3 分)
π 与三已知直线的交点分别为 O(0, 0, 0), P(1, 0, −1),Q(0, −1,1) ………… （5 分)
年级：线
封
所在院校：
密
身份证号：
得分
一、（ 15 分）求经过三平行直线 L1 : x = y = z ，
评阅人
L2 : x −1 = y = z +1 ， L3 : x = y +1 = z −1的圆柱面的方程.
解：先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是
=
FA ，证明：
⎜⎜⎝ an1 an2 " ann ⎟⎟⎠
A = an1F n−1 + an−11F n−2 +" + a21F + a11E ；

大学数学竞赛试题及答案

大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. iC. √2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, -1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C3. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。

A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。

A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。

A. 0B. 1C. 7D. 8答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(4)的值：________。

答案：58. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：________。

答案：59. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的极小值点：________。

答案：x = 110. 已知一个球的体积是(4/3)π，求该球的半径：________。

答案：1三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1始终成立。

证明：略12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。

通过二阶导数检验，可知x = 1为极大值点，x = 3为极小值点。

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).

0
n
n1
0
n0
n0
n1
即
f (t)dt f (n) 1 f (t)dt ，
0
0
n0
又
f (n) xn2 ，
n0
n0
ln 1
1
lim x lim x 1
x1 1 x x1 1
f (t)dt
xt2 dt
t2 ln 1
e x dt
0
0
0
1
et2 dt
10
1 ， 12
0
0
3
a2
1
x
4
dt
4 a(1 a)
1
x
3dt
4 (1 a)2
1
x
2dt
0
3
0
9
0
1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
即
V (a) 1 a2 1 a(1 a) 4 (1 a)2
5
3
27
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0，
det
0 1
11 dudv dudv ，
D
(x
y) ln(1 1 x y
y) x dxdy
D
u
ln
u u ln 1u
vdudv
1
(
u
ln
u
u
dv
u
u
ln vdv)du
0 1u 0
1u 0
1 u2 ln u u(u ln u u) du
0 1u
1u
1
u2
du （*）
0 1u
L

全国大学生数学建模竞赛试题集

选 7 中（6）
●●●●●●○
选 7 中（6） ●●●●●○……★ 选 7 中（5+1）
●●●●●○○……★ 选 7 中 ●●●●●○ （5+1）
选 7 中（5）
●●●●●○○
选 7 中（5） ●●●●○○……★ 选 7 中（4+1）
●●●●○○○……★ 选 7 中 ●●●●○○ （4+1）
选 7 中（4）
针对这种严重的道路交通情况国家质量监督检验检疫局2004月31日发布了新的车辆驾驶人员血液呼气酒精含量阈值与检验国家标准新标准规定车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升小于80毫克百毫升为饮酒驾车原标准是小于100毫克百毫升血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车原标准是大于或等于100毫克百毫大李在中午12点喝了一瓶啤酒下午点检查时符合新的驾车标准紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒为了保险起见他呆到凌晨一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车这让他既懊恼又困惑为什么喝同样多的酒两次检查结果会不一样呢
（1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据供参考。
表二
-1-
中奖等级一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖
33 选 7（7/33）
36 选 6+1（6+1/36）
基本号码……特别号码说明基本号码……特别号码

全国大学生数学建模竞赛试题集

5
12 7/32 65% 15% 20% 500 50 10
13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10
备注
按序按序按序按序
-2-
14 7/32 75% 10% 15% 500 50 10
15 7/33 70% 10% 20% 600 60
6
16 7/33 75% 10% 15% 500 50 10
选 7 中（4）
五等奖 abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef
选 7 中（3）
六等奖
abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX XXXXef
选 7 中（2）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码球中一个一个地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1” 的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。
1
29 5/60 60% 20% 20% 300 30
5
2
5 5 5
无特别号
5
5
-3-
2003 年 A 题……SARS 的传播
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

第3届全国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类)

姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------第三届中国大学生数学竞赛决赛试卷(数学类,2012)考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分题目一二三四五六七总分满分15151010152015100得分注意: 1.所有答题都必须写在此试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3.如当题空白不够,可写在当页背面,并标记题号.得分评阅人一、(本题15分)设有空间中五点:A (1,0,1),B (1,1,2),C (1,−1,−2),D (3,1,0),E (3,1,2).试求过点E 且与A,B,C 所在平面Σ平行而与直线AD 垂直的直线方程.得分评阅人二、(本题15分)设f(x)在[a,b]上有两阶导数,且f′′(x)在[a,b]上黎曼可积,证明f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+∫xa(x−t)f′′(t)dt,∀x∈[a,b].姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人三、(本题10分)设k 0<k 1<...<k n 为给定的正整数,A 1,A 2,...,A n 为实参数.指出函数f (x )=sin k 0x +A 1sin k 1x +...+A n sin k n x 在[0,2π)上零点个数的(当A 1,A 2,...,A n 变化时的)最小可能值并加以证明.得分评阅人四、(本题10分)设正数列a n满足limn→+∞a n=1,limn→+∞a n<+∞,limn→+∞n√a1a2...a n=1.求证:limn→+∞a1+a2+...a nn=1.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人五、(本题15分)设A,B 分别是3×2和2×3实矩阵,若AB = 80−4−329−6−201.求BA .得分评阅人六、(本题20分)设{A i}i∈I,{B i}i∈I是数域F上两个矩阵集合,称它们在F上相似:如果存在F上与i∈I无关的可逆矩阵P使得P−1A i P=B i,∀i∈I.证明:有理数域Q上两个矩阵集合{A i}i∈I,{B i}i∈I,如果它们在实数域R上相似,则它们在有理数域Q上也相似.姓名:准考证号:所在院校:专业:----------------------------密---封---线-----------------------------------得分评阅人七、(本题15分)设F (x ),G (x )是[0,+∞)上的两个非负单调递减函数,lim x →+∞x (F (x )+G (x ))=0.(i)证明:∀ε>0,lim x →+∞∫+∞εxF (xt )cos t dt =0.(ii)若进一步有lim n →+∞∫+∞0(F (t )−G (t ))cos tn dt =0.证明:lim x →0∫+∞(F (t )−G (t ))cos(xt )dt =0.。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

第三届全国大学生数学竞赛(数学类)

第 3 页 ( 共 13页 )
四、 (本题 10 分) 对于 ∆ABC , 求 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 的最大值. 解答: 三角形三个角 A, B, C 的取值范围为 (A, B, C ) ∈ D ≡ {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α > 0, β > 0, γ > 0} . 我们首先考虑 3 sin A + 4 sin B + 18 sin C 在 D 的闭包 E = {(α, β, γ )|α + β + γ = π, α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0} 上的最大值. 我们有 max (3 sin A + 4 sin B + 18 sin C ) ....................................................... (1 分)
..................................................................... 可以有很多种方法选取只取值 ±1 的数列 {an }n≥1 使得
n ∑ ak √ = α. lim n→+∞ 2 n k=1
(5 分)
此时就成立
n→+∞
n (∑ ) √ 3 lim n + ak − n 2 = α. k=1
0
ak
/
1 ∑ fk (x) dx = 1. n k=1 ak
n
.................................................................... 由此立即可得存在 ξ ∈ [0, 1] 使得

第三届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析

第三届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）1. 220(1)(1ln(1))lim xx x e x x →+--+。

【解析】：因为22ln(1)22(1)(1ln(1))(1ln(1))x xxx e x ee x xx++--+--+=22022ln(1)ln(1)22220002222000ln(1)lim ,2ln(1)21lim lim lim 11ln(1)1lim 2lim 2lim 2x x x xx x x x x x x e x e xx e e e x e e x x xx x x e e ex x →++-→→→→→→+=+---==-+-+===- 所以220(1)(1ln(1))lim0xx x e x x→+--+= 【注】可以考虑洛必达法则、带皮亚诺余项的麦克劳力公式，具体参见视频解析！2. 设2coscoscos222n na θθθ=⋅⋅⋅，求lim n n a →∞。

【解析】：若0θ=，则lim 1n n a →∞=。

若0θ≠，则当n 充分大，使得022nθπ<<时，2222221cos cos coscos cos cossin2222222sin 211sin cos cos cos sin 22222sin 2sin 22n n nn nn n n n n a θθθθθθθθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=从而有，sin sin lim lim 2sin 2n n n n na θθθθ→∞→∞==。

3. 求sgn(1)Dxy dxdy -⎰⎰，其中{}(,)|02,02D x y x y =≤≤≤≤。

【解析】：设11(,)|0,022D x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，1233122321211(,)|2,0,211(,)|2,2,2112ln 2,32ln 2,sgn(1)24ln 2.D D D DD D D D x y x y x D x y x y x dxdxdy dxdy x xy dxdy dxdy dxdy ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=+=+=--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【注】由积分的几何意义，积分等于2倍3D 矩形的面积减去矩形的面积，具体分析参见解析视频。