第一章 有理数知识点

第一章有理数
一、正数和负数
1、负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2、具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，
比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3、 0表示的意义
⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

二、有理数的概念及分类
1、整数和分数统称为有理数。

通常有两种分类：
⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分
正整数整数 0 正有理数
正分数
有理数有理数 0 （0不能忽视）
负整数
分数负有理数
负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
2、数轴
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；
③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。

2.数轴的画法：
①画一条水平的直线；
②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；
③确定向右为正方向，用箭头表示出来；
④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。

如图1所示。

3.数轴上点的移动规律 左减右加
4.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

简记为：奇负偶正
3、相反数
只有符号不同的两个数互为相反数。

规定零的相反数是零。

若a 、b 互为相反数，则a+b=0；
相反数是本身的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

4、绝对值
绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数a 的绝对值，记作|a |。

绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；
②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭
示了绝对值的重要性质—非负性。

也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，
即 |a ≥|0， (0)|0 (0) (0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
|。

绝对值最小的数是0；绝对值是本身的数是非负数。

任何数的绝对值是非负数。

5、非负数
若数a ≥0，则称a 为非负数。

非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。

6、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。

倒数的求法：①求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；③求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；④求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。

只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。

正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。

7、有理数大小的比较：
1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。

2．任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。

3. 做差法：a-b>0 ⇔a>b;
4. 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.
本身之迷
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）
③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0
⑦相反数是它本身的数是0
三、基本运算
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值
减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。

2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；
任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由
负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负
因数的个数为偶数个时，积为正。

4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；
零除以任何一个不为零的数，都得零；
除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。

四、有理数的运算顺序
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

五、有理数运算律
①加法的交换律a+b=b+a；
②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律ab=ba；
⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；
⑦分配律a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。

六、乘方
1、乘方的定义：求几个相同因数积的运算。

乘方的结果叫做幂。

在a n中a叫做底数，n 叫做指数。

读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。

根据乘方的意义转化为乘方，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。

2、正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数；
3、一个数的平方为它本身,这个数是0和1；
一个数的立方为它本身,这个数是0、1和-1。

七、科学计数法与近似数、有效数字
科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤ a ≤10，n为整数。

）
近似数：接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

有效数字：对于一个近似数，从左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。