八年级数学上学期期中模拟卷(湖北武汉专用,人教版八上第11~13章：三角形+全等三角形+轴对称)解析

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷
（湖北武汉专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版八上第11~13章（三角形+全等三角形+轴对称）。

5．难度系数：0.61。

第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义可知，B 、C 、D 均为轴对称图形，A 不是轴对称图形故选A.
2．如图，直线12//l l ，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点A 在直线2l 上，直角顶点C 在直线1l 上，已知么130Ð=°，则2Ð的度数为（ ）
A．45°B．60°C．65°D．75°
【答案】D
【解析】∵l1∥l2，
∴∠DCA=∠1=30°，
∵∠DCA +∠DCB=90°，
∴∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠2=180°-∠B-∠DCB=180°-45°-60°=75°，
故选D．
．
3．若点A关于x轴的对称点为（－2，3），则点A关于y轴的对称点为（）A．（－2，－3）B．（2，－3）C．（－2，3）D．（2，3）【答案】B
【解析】∵点A关于x轴的对称点为（-2，3），
∴A（-2，-3），
∴点A关于y轴的对称点为（2，-3）．
故选B．
4．如图．花瓣图案中的正六边形ABCDEF 的内角和是（ ）
A ．720°
B ．900°
C ．1080°
D ．360°
【答案】A 【解析】正六边形ABCDEF 的内角和()62180720=-´°=°，
故选A ．
5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于点E ，下列结论错误的是（ ）
A ．BD 平分∠ABC
B ．点D 是线段A
C 的中点C ．A
D ＝BD ＝BC
D ．△BCD 的周长等于AB ＋BC
【答案】B 【解析】∵在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，∴18036722
ABC C °-°Ð=Ð==°，∵AB 的垂直平分线是DE ，
∴AD BD =，
∴36ABD A Ð=Ð=°，
∴723636DBC ABC ABD ABD Ð=Ð-Ð=°-°=°=Ð，
∴BD 平分ABC Ð，故A 正确；
∴BCD △的周长为：BC CD BD BC CD AD BC AC BC AB ++=++=+=+，故D 正确；
∵36DBC Ð=°，72C Ð=°，
∴18072BDC DBC C =°--=°∠∠∠，
∴BDC C Ð=Ð，
∴BD BC =，
∴AD BD BC ==，故C 正确；
∵BD CD >，
∴AD CD >，
∴点D 不是线段AC 的中点，故B 错误．
故选B ．
6．下列条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是( )
A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠E
B ．∠A=∠E ，AB=EF ，∠B=∠D
C ．∠A=∠
D ，∠B=∠
E ，∠C=∠F
D ．∠A=∠D ，∠B=∠
E ，AC=DF
【答案】D
【解析】A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠E ，SSA 不能确定全等；
B ．∠A=∠E ，AB=EF ，∠B=∠D ，AB 和EF 不是对应边，不能确定全等；
C ．∠A=∠
D ，∠B=∠
E ，∠C=∠
F ，AAA 不能确定全等；
D ．∠A=∠D ，∠B=∠
E ，AC=D
F ，根据AAS ，能判断△ABC ≌△DEF ．
故选D ．
7．如图，在ABC V 中，已知点D ，分别为,BC AD 的中点2EF FC =，且ABC V 的面积为12，则BEF △的面积为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．4
【答案】D 【解析】∵点D 是BC 的中点，
∴△ABD 的面积=△ACD 的面积=
12
△ABC =6，∵E 是AD 的中点，
∴△ABE 的面积=△DBE 的面积=14△ABC 的面积=3，
△ACE 的面积=△DCE 的面积=14△ABC 的面积=3，
∴△BCE 的面积=
12△ABC 的面积=6，∵EF =2FC ，
∴△BEF 的面积=
23
×6=4，故答案为：4．
8．如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°．按照如下步骤作图：
①分别以点A ，B 为圆心，大于12
AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ；②作直线MN ，交AC 点D ；
③以D 为圆心，BC 长为半径作弧，交AC 的延长线于点E ；
④连接BD ，BE ．
则下列结论中错误的是（ ）
A ．MN BE
∥B ．AD BD BC ==C ．3AEB CBE Ð=ÐD ．2AB CE BE
+=【答案】D
【解析】AB AC =Q ，36A Ð=°，1180722
ABC ACB A \Ð=Ð=°-Ð=°（），由题意得：BC DE =，MN 是AB 的垂直平分线，
DA DB \=，DN AB ^，
36A DBA \Ð=Ð=°，
36DBC ABC DBA \Ð=Ð-Ð=°，
72CDB A DBA \Ð=Ð+Ð=°，
72CDB ACB \Ð=Ð=°，
BD BC \=，
AD DB BC DE \===，
故选项B 正确；
BD DE =Q ，
1180542
DBE DEB CDB \Ð=Ð=°-Ð=°（），\365490EBA DBA DBE Ð=Ð+Ð=°+°=°，
即EB AB ^，
又DN AB ^Q ，
MN BE \∥，
故选项A 正确；
36DBC Ð=°Q ，54DBE Ð=°，
543618CBE DBE DBC \Ð=Ð-Ð=°-°=°，
54AEB Ð=°Q ，
3AEB CBE \Ð=Ð，
故选项C 正确；
Q 36A Ð=°，90ABE Ð=°，
2AE BE \¹，
AB CE AC CE AE +=+=Q ，
2AB CE BE \+¹，
故选项D 错误．
故选D ．
9．如图，已知ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，EPF Ð的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交
AB 、AC 于点E 、F （点E 不与A 、B 重合），90EPF Ð=°，过点F 作FH BC ^于点H ，给出以下四个结论：①AE CF =；②EPF V 是等腰直角三角形；③12
ABC AEPF S S =四边形△；④当BP BE =时，
2FA CF FH -=．上述结论中始终正确的个数有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】A
【解析】如图，
AB AC =Q ，90BAC Ð=°，
ABC \V 是等腰直角三角形，
90BAC Ð=°Q ，P 是BC 中点，
AP CP \=，
APE ÐQ 、CPF Ð都是APF Ð的余角，
12\Ð=Ð，
在APE V 与V CPF 中，3412AP CP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî
，
()ASA APE CPF \V V ≌，
①由APE CPF V V ≌得到AE CF =，故①正确；
②由APE CPF V V ≌得到PE PF =，
EPF ÐQ 是直角，
EPF \△是等腰直角三角形，故②正确；
③由APE CPF V V ≌得到APE CPF S S =△△，
则AEP APF CPF APF AEPF S S S S S =+=+=
V V V V 四边形12ABC S V ，∴12
ABC AEPF S S =四边形△，故③正确；④延长EF 交BC 的延长线于点G ，
∵BP BE =，
∴BP BE PC AP AF ====，
∴67.5BPE BEP Ð=Ð=°，67.5APF AFP Ð=Ð=°，
∴67.54522.5GFC AFE Ð=Ð=°-°=°，
∴22.522.5G FCH Ð=Ð-°=°，18067.59022.5FPC Ð=°-°-°=°，
∴PF FG =，CF CG =，
∵FH BC ^，
∴PH GH =，FH CH =，
∵FA FH PC CH PH -=-=，CF FH CG CH GH +=+=，
∴FA FH CF FH -=+，
∴2FA CF FH -=，∴④正确；
∴正确结论为①②③④．
故选A ．
10．如图，已知ABC V 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，
60AFD Ð=°．FG 为AFC V 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG CD =，连接HA 、HC ．①BD CE =；②60AHC Ð=°；③FC CG =；④CBD CGH S S =△△；其中说法正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】①∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠ACE ＝60°，BC ＝AC ，
∵∠AFD ＝∠CAE +∠ACD ＝60°，∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝60°，
∴∠BCD ＝∠CAE ，
在△BCD 和△CAE 中，B ACE BC AC BCD CAE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî
，
∴△BCD ≌△CAE （ASA ），
∴BD ＝CE ，故①正确；
②作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，如图：
∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°
∴∠AFC ＝120°，
∵FG 为△AFC 的角平分线，
∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°，
∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°，
∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ，
∴CM ＝CN ，
∵∠CEM ＝∠ACE +∠CAE ＝60°+∠CAE ，∠CGN ＝∠AFH +∠CAE ＝60°+∠CAE ，
∴∠CEM ＝∠CGN ，
在△ECM 和△GCN 中，90CEM CGN CME CNG CM CN Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î
，
∴△ECM ≌△GCN （AAS ），
∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ，
∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°，
由①知△CAE ≌△BCD ，
∴AE ＝CD
，
∵HG ＝CD ，
∴AE ＝HG ，
∴AE +EM ＝HG +GN ，即AM ＝HN ，
在△AMC 和△HNC 中，90AM HN AMC HNC CM CN =ìïÐ=Ð=°íï=î
，
∴△AMC ≌△HNC （SAS ），
∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，
∴∠ACM ﹣∠ECM ＝∠HCN ﹣∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°，
∴△ACH 是等边三角形，
∴∠AHC ＝60°，故②正确；
③由②知∠CFH ＝∠AFH ＝60°，若FC ＝CG ，则∠CGF ＝60°，从而∠FCG ＝60°，这与∠ACB ＝60°矛盾，故③不正确；
④∵△ECM ≌△GCN ，△AMC ≌△HNC ，
∴S △AMC ﹣S △ECM ＝S △HNC ﹣S △GCN ，即S △ACE ＝S △CGH ，
∵△CAE ≌△BCD ，
∴S △BCD ＝S △ACE ＝S △CGH ，故④正确，
∴正确的有：①②④，
故选C ．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边为x ，则x 的取值范围是 ．【答案】410
x <<【解析】根据三角形的三边关系,得第三边的取值范围：7373x -<<+，
解得410x <<，
故答案为：410x <<．
12．如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝10，AD 为中线，则△ABD 与△ACD 的周长之差＝ ．
【答案】3
【解析】∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，
∴BD ＝DC ＝12
BC ，∴△ABD 与△ACD 的周长之差
＝（AB +BD +AD ）﹣（AC +DC +AD ）
＝AB ﹣AC
＝13﹣10
＝3．
则△ABD 与△ACD 的周长之差＝3．
故答案为3．
13．如图，在△ABC 中，BD 平分ABC Ð，CD 平分ACB Ð，连接AD ，作DE AB ^，2DE =，6AC =，
则ADC △的面积为 ．
【答案】6
【解析】如图，过点D 作DF BC ^于点F ，DG AC ^于点G ，
∵BD 平分ABC Ð，DE AB ^，DF BC ^，
∴DE=DF=2，
∵CD 平分ACB Ð，DF BC ^，DG AC ^，
∴DG=DF=2，∴1162622
ADC S AC DG =×=´´=V ．故答案是：6．
14．如图，长方形纸带ABCD 中，AB CD ∥，将纸带沿EF 折叠，A ，D 两点分别落在A ¢，D ¢处，若
162Ð=°，则2Ð的大小是 ．
【答案】56°/56度
【解析】∵AB CD ∥，
∴162AEF Ð=Ð=°，
由折叠知62A EF AEF ¢Ð=Ð=°，
∴218056AEF A EF ¢Ð=°-Ð-Ð=°．
故答案为：56°．
15．如图，ACB 90Ð=°，AC 2=，AB 4=，点P 为AB 上一点，连接PC ，则12PC PB +的最小值为 ．
【答案】3
【解析】过P 点作PM ⊥BC 于点M ，将△ACB 沿AB 向上翻折得到△ADB ，且△ACB ≌△ADB ，过P 点作PN ⊥BD 于点N ，如图，
∵在Rt △ACB 中，AC =2，AB =4，
∴∠ABC =30°，
∴BC =∵PM ⊥BC ，
∴在Rt △PMB 中，有PM =12
PB ，∴PC +12
PB =PC +PM ，∵△ACB ≌△ADB ，
∴∠ABD =∠ABC =30°，
∵PN ⊥BD ，PB =PB ，
∴∠PMB =∠PNB =90°，
∴Rt △PNB ≌Rt △PMB ，
∴PN =PM ，
∴PC +12
PB =PC +PM =PC +PN ，∵要求PN +PC 的最小值，
∴可知当P 、N 、C 三点共线，根据垂线段最短可知，当CN ⊥BD 时，CN 最小，
如图，
∵CN ⊥BD ，∠CBD =∠ABC +∠ABD =60°，BC =
∴在Rt △ABN 中，CN =3，则PC +12
PB =PC +PM =PC +PN 的最小值是3，即PC +12
PB 最小为3，故答案为：3．
16．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和
正方形ACMN ，过点B 作BI EH ^于点I ，延长IB 交AC 于点J ，给出下列结论：①AB MG =．②BEH AFN S S =△△．③过点B 作BI EH ^于点I ，延长IB 交AC 于点J ，则AJ CJ =．④若J 是AC 中点，则2BJ EH =．其中正确的结论有 （只填写序号）.
【答案】①②③④
【解析】∵在Rt ABC △中，90Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，
∴AC MC =，BC GC =，90MCA GCB Ð=Ð=°
∵90ACB Ð=°
∴90MCG ACB Ð=Ð=°
∴()
SAS ACB MCG V V ≌∴AB MG =，故①正确；
如图所示，过点F 作FO NA ^交NA 延长线于点O ，
∵90FAO BAO CAB BAO Ð+Ð=Ð+Ð=°
∴FAO CAB
Ð=Ð又∵90O ACB Ð=Ð=°，AF AB
=∴()
AAS AFO ABC V V ≌∴OF BC
=∵AN AC
=∵12ANB S AN OF =×V ，12
ACB S AC BC =×V ∴ABC AFN S S =△△，
同理可得：ABC BEH S S =V △，
∴BEH AFN S S =△△，故②正确；
如图所示，过点A 作AP BJ ^BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ BJ ^.
∵90ABP BEI Ð+Ð=°，90EBI BEI Ð+Ð=°
∴ABP BEI
Ð=Ð又∵90P BIE Ð=Ð=°，AB BE
=∴()
AAS ABP BEI V V ≌
∴AP BI
=同理可证，()
AAS BCQ HBI V V ≌∴CQ BI
=∴CQ AP
=∵90P CQJ Ð=Ð=°，AJP CJQ
Ð=Ð∴()
AAS AJP CJQ V V ≌∴AJ CJ =，故③正确；
延长BJ 交AN 于T ，过T 作TK BA ^于K ，过H 作HL EB ^于L ，
∵J 为AC 中点；
同理可得：BCJ TAJ V V ≌，
∴ABC BEH ABT S S S ==V V V ，BJ =，∴1122
AB TK BE HL ×=×，而AB BE =，∴TK HL =，
∵AN BM ∥，90CBH ABE Ð=Ð=°，
∴180TAB ABC ABC EBH Ð+Ð=°=Ð+Ð，
∴TAB HBE Ð=Ð，
∴TAK HBL Ð=Ð，
∴TAK HBL V V ≌，
∴TA HB =，
∴TAB HBE V V ≌，
∴HE BT =，而TJ BJ =，
∴2EH BJ =；故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）如图，已知AB DC =，ABC DCB Ð=Ð，求证：A D Ð=Ð．
【解析】证明:：在△ABC 和 DCB △中，
AB DC ABC DCB BC CB =ìïÐ=Ðíï=î
，（4分）
∴()SAS ABC DCB △≌△，（6分）
A D \Ð=Ð．（8分）
18．（8分）已知，如图，PD OA ^，PE OB ^，垂足分别为D ，E ，且PD PE =，试证明点P 在AOB Ð的
平分线上．
【解析】证明：连接OP ，如图，
（2分）
在Rt OPD V 和Rt OPE △中，
PD PE OP OP
=ìí=î∴()Rt Rt HL OPD OPE V V ≌（6
分）
∴Ð=ÐPOD POE ，
∴OP 是AOB Ð的平分线，
∴点P 在AOB Ð的平分线上．（8分）
19．（8分）已知△ABC ．
（1）如图（1），C B Ð>Ð，若 AD BC ^于点D ，AE 平分BAC Ð，你能找出EAD Ð与B C ÐÐ，之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分BAC Ð，F 为AE 上一点，FM BC ^于点M ，EFM Ð与B C ÐÐ，之间有何数量关系？并说明理由．
【解析】（1）解：∵AE 平分BAC Ð，∴1118022
EAC BAC B C Ð=Ð=°-Ð-Ð（），又∵AD BC ^，
∴90DAC C Ð=°-Ð，
∴1902
EAD EAC DAC B C C C B Ð=Ð-а-Ð-Ð-°-Ð=Ð-Ð）（）（），∴12
EAD C B Ð=Ð-Ð（）．（4分）（2）解：如图，过点 A 作AD BC ^于D ，
∵FM BC ^，
∴A D F M ∥，∴12
EFM EAD C B Ð=Ð=Ð-Ð（） ．（8分）20．（8分）如图是44´的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）
（1）画出线段PM ，使PM AB ∥，且点M 为格点；
（2）在线段AB 上画出点Q ，使PQ AB ^；
（3）请直接写出PM 与PQ 的位置关系________．
【解析】（1）解：如图，点M 即为所求；
；（3分）
（2）解：如图，点Q 即为所求；（6分）
（3）解：∵PM AB ∥，PQ AB ^，
∴PM PQ ∥，
故答案为：垂直．（8分）
21．（8分）如图，在等边△ABC D ，E 分别在边,BC AC 上，且,AE CD BE = 与AD 相交于点P ，
BQ AD ^于点Q .
（1）求证：AD BE =；
（2）求PBQ Ð的度数；
（3）若6,2PQ PE ==，求AD 的长．
【解析】（1）证明：∵ABC V 为等边三角形，
∴,60AB CA BAE C =Ð=Ð=°，
在AEB V 与CDA V 中，
∵AB CA BAE C AE CD =ìïÐ=Ðíï=î
，
∴()SAS AEB CDA ≌V V ，
∴AD BE =．（3分）
（2）解：由（1）得：AEB CDA △△≌，
∴ABE CAD Ð=Ð，
∴60BAD ABE BAD CAD BAC Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，
∴60BPQ BAD ABE Ð=Ð+Ð=°，
∵BQ AD ^，
∴90BQP Ð=°，
∴90906030PBQ BPQ Ð=°-Ð=°-°=°．（6分）
（3）解：∵30PBQ Ð=°，90BQP Ð=°，6PQ =，
∴212==BP PQ ，
∵2PE =，
∴14BE BP PE =+=，
∵AD BE =，
∴14AD =．（8分）
22．（10分）如图所示，已知B （﹣2，0），C （2，0），A 为y 轴正半轴上的一点，点D 为第二象限一动
点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于点F ，且∠BDC ＝∠BAC ．
（1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；
（2）求证：AD 平分∠CDE ；
（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC ＝DA +DB ，在此过程中，∠BAC
的度数是否发生变化？如果
变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【解析】（1）证明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；（3分）
（2）证明：过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如下图所示：
则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
由（1）可知：∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN (AAS)
∴AM=AN．
∴DA平分∠CDE．(角的两边距离相等的点在角的平分线上)；（6分）（3）解：∠BAC的度数为
在CD上截取CP=BD，连接AP，如下图所示：
∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP (SAS) ，（8分）
∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP =60°．
∴∠BAC =∠BAP +∠CAP =∠BAP +∠BAD =60°．（10分）
23．（10分）数学活动课上，王老师提出这样一个问题：
在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若7AB =，4AC =，你能判断AD 的取值范围吗？
如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造一对全等三角形，然后在ABE D 中就可以判断AE 的取值范围，从而求出AD 的取值范围．
（1）按照上述思路，请完成小明的证明过程；
（2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在ABC V 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF AB ∥交ED 的延长线于点F ，若AD BC ^，1AE =，2CF =，求AC 的长．
（3）如图③，王老师在原△外部，以A 为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为ABM V 与ACN △，连接MN ，猜想MN 与中线AD 的数量关系，并证明你的结论．
【解析】（1）AD Q 是BC 边上的中线，
BD CD \=．
在ADC △和EDB △中，
CD BD ADC BDE AD ED =ìïÐ=Ðíï=î
，
(SAS)ADC EDB \△≌△，
AC BE \=，
AB BE AE AB BE -<<+Q ，
2AB AC AD AB AC \-<<+，
7AB =Q ，4AC =
，
3211AD \<<，
1.5 5.5AD \<<．（3分）
（2）CF AB Q ∥，
B FCD \Ð=Ð，BED F Ð=Ð，
AD Q 是BC 边上的中线，
BD CD \=，
(AAS)BDE CDF \△≌△，
2BE CF \==，
123AB AE BE \=+=+=，
AD BC ^Q ，BD CD =，
3AC AB \==．（6分）
（3）2MN AD =．
理由：延长AD 至E ，使DE AD =，连接CE ，如图所示：
由（1）得：BAD CED ≌△△，
BAD E \Ð=Ð，AB CE =，
90BAM NAC Ð=Ð=°Q ，
180BAC MAN \Ð+Ð=°，
即180BAD CAD MAN Ð+Ð+Ð=°，
180E CAD ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，
ACE MAN \Ð=Ð，（9分）
BAM QV 和ACN △是等腰直角三角形，
AB MA \=，AC AN =，
CE MA \=，
在ACE △和NAM △中，
CE AM ACE MAN AC NA =ìïÐ=Ðíï=î
，
(SAS)ACE NAM \V V ≌，
AE MN \=，
2AD MN \=．（10分）
24．（12分）阅读理解：如图1，在V ABC 中，D 是BC 边上一点，且
BD m DC n =，试说明ABD ACD S m S n =△△．解：过点A 作BC 边上的高AH ，∵12ABD S BD AH =×△，12
ACD S DC AH =×△，∴1212
ABD
ACD BD AH S BD S CD DC AH ×==×△△，又∵
BD m DC n
=，∴ABD ACD S m S n =△△．根据以上结论解决下列问题：如图2，在V ABC 中，D 是AB 边上一点，且CD ⊥AB ，将V ACD 沿直线AC 翻折得到V ACE ，点D 的对应点为E ，AE ，BC 的延长线交于点F ，AB ＝12，AF ＝10．（1）若CD ＝4，求V ACF 的面积；
（2）设△ABF 的面积为m ，点P ，M 分别在线段AC ，AF 上．
①求PF +PM 的最小值（用含m 的代数式表示）；②已知23
AM MF =，当PF +PM 取得最小值时，求四边形PCFM 的面积（用含m
的代数式表示）．
【解析】（1）∵CD ⊥AB ，
∴∠ADC ＝90°，
由翻折得，CE ＝CD ＝4，∠AEC ＝∠ADC ＝90°，
∴CE ⊥AF ，
∵AF ＝10，
∴S △ACF ＝1
2AF •CE ＝1
2×10×4＝20．（3分）
（2）①如图2，作MN ⊥AC 于点O ，交AB 于点N ，连接FN 、PN ，，
由翻折得，∠OAM ＝∠OAN ，
∵AO ＝AO ，∠AOM ＝∠AON ＝90°，
∴△AOM ≌△AON （ASA ），
∴OM ＝ON ，AM ＝AN ，
∴AC 垂直平分MN ，
∴PM ＝PN ，
∴PF +PM ＝PF +PN ≥FN ，
∴当点P 落在FN 上且FN ⊥AB 时，PF +PM 的值最小，为此时FN 的长；（5分）
如图3，FN ⊥AB 于点N ，交AC 于点P ，PM ⊥AF ，
由S △ABF ＝1
2AB •FN ＝m ，得1
2×12FN ＝m ，
解得，FN ＝16
m ，此时PF +PM ＝FN ＝16
m ，∴PF +PM 的最小值为
16m ．（8分）②如图4，当PF +PM 取最小值时，FN ⊥AB 于点N ，交AC 于点P ，PM ⊥AF ，设CD ＝CE ＝a ，PM ＝PN ＝x ，
∵AB ＝12，AF ＝10，∴1126215
102
ABC
AFC a S S a ´==´V V ，∴S △AFC ＝
511S △ABF ＝511m ；∵23
AM MF =，∴AM ＝
25AF ＝25×10＝4，∴AN ＝AM ＝4，
∴BN ＝12＝4＝8，（10分）∴4182
AFN BFN S S ==V V ，∴S △AFN ＝13S △ABF ＝13
m ，由S △APM ＝12×4x ，S △APN ＝12
×4x ，得S △APM ＝S △APN ，设S △APM ＝S △APN ＝2n ，∵23
APM FPM S AM S MF ==V V ，∴S △FPM ＝3n
，
由S △APN +S △APM +S △FPM ＝S △AFN ＝13
m ，得2n +2n +3n ＝13
m ，∴n ＝121
m ，∴S △APM ＝2n ＝
221m ，∴S 四边形PCFM ＝511m -221m ＝83231m ．（12分）。