一文搞定最值系列之“瓜豆原理”(重磅精编)
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瓜豆原理
原理概述
俗语云“种瓜得瓜,种豆得豆”,数学上有“种线得线,种圆得圆”:平面内,动点Q 随着动 点P 的运动而运动,我们把点P 叫做主动点,点Q 叫做从动点;当这两个动点与某个定点连 线的夹角一定,且与该定点距离之比一定时(简记为“定角、定比”),易判断两个动点与定 点构成的三角形形状一定,大小可能变,此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是 旋转、相似(包含全等)变换,往往与共点旋转(手拉手)模型相结合,考查类型有: (1)确定动点轨迹;(2)求运动路程;(3)求线段最值、面积最值等.
基本模型
一、种直线得直线(主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分) 1.
图1 图2
如图1,已知l 为定直线,O 为直线外一定点,P 为直线l 上一动点,连接OP ,若Q 为直线OP 上一点(一般在线段 OP 上),且Q 点到O 点的距离与P 点到O 点的距离之比为定值k (k >0且k ≠1),即k OP OQ
=,此时我们可认为Q 、 P 两点与定点O 连线的夹角一定(夹角为0°),符合瓜豆原理“定角、定比”的条件,因而Q 点的运动轨迹也是 直线;如图2,另取一组对应的点P ’、Q ’,则k OP
OQ
P O Q O ==
''
,因而△OQ ’Q ∽△OP ’P ,相似比为k ,可知从动点
Q 在平行于l 的直线m 上运动.易判断点O 到直线m 和l 的距离之比也等于k. 2.
图1 图2
如图1,已知l 为定直线,O 为直线外一定点,P 为直线l 上一动点,将射线OP 绕着点O 按确定的方向(如顺时针) 旋转一个确定的角度α(0<α<180°),得到射线OM ,在射线OM 上取一点Q ,使k OP OQ
=(k 为大于0的定值), 此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件,因而Q 点的运动轨迹也是直线;如图2,另取一组对应的点P ’、Q ’,
为直线QQ ’,∵∠POQ=∠P ’OQ ’=α,∴∠POP ’=∠QOQ ’,又∵k P O Q O OP OQ
==
'
',
∴△OPP ’∽△OQQ ’.特别的,当k=1时,△OPP ’≌△OQQ ’.k ≠1时,△OQQ ’可看做由 △OPP ’绕着O 点旋转并放缩(0<k <1时缩小,k >1时放大)而来.直线QQ ’可看做由直 线l 绕着点O 顺时针旋转α角而来,0<α<90°时,两直线的夹角即为α.
典型例题1-1
如图,在平面直角坐标系中,A (4,0),B 为y 轴正半轴上 一动点,以AB 为一边向下作等边△ABC ,连接OC ,则线段 OC 的最小值为_________.
【分析】B 为主动点,C 为从动点;
方法一:与从动点有关的线段最值,优先转化为与主动点有关的线段最值,将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°,得到线段O ’A ,构造全等三角形可实现线段的转化; 方法二:两动点与定点A 连线的夹角为定值(60°),到点A 的距离之比为定值1(即
CA:BA=1),符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,主动点B 的轨迹为射线,则从动点C 的轨迹也为射线,确定其轨迹后,依据“垂线段最短”求OC 得最小值.
【解答】方法一:如图1,将线段OA 绕着点A 顺时针旋转60°,得到线段O ’A ;连接O ’B ,易证△AO ’B ≌△AOC ,则OC=O ’B ,即求O ’B 的最小值;由于O ’为定点,点B 在y 轴正半轴上运动,如图2,由垂线段最短,知O ’B ⊥y 轴时,O ’B 最小,连接OO ’,则
△AOO ’为等边三角形,作O ’H ⊥OA 于H ,此时O ’B=OH=21OA=2,即OC 的最小值为2.
图1 图2 方法二:如图3,当点B 位于原点时,对应的点C 位于1C (2,-23) 处,当点B 位于2B (0,334)时,对应的点C 位于2C (0,-334) 处,则点C 的运动轨迹为射线21C C ,当OC ’⊥21C C 时,OC ’ 最小;易证△O AB 2≌△12C AC ,∴∠12C AC =∠O AB 2=60°, 则∠C OC '2=60°,∴OC ’=22
3
OC =2,即OC 的最小值为2.
【小结】1.动点引起的最值问题,经常需要确定动点轨迹; 图3
2.两种方法中,均有两个等边三角形构成“共点旋转(手拉手)”模型,会伴随产生一组全等三角形;
3.方法二中,由于从动点的轨迹为射线,因而先确定其端点,再找一组特殊位置的主动点和从动点(目的是便于计算),即可确定从动点的轨迹;
4.严格来说,y 轴的正半轴不包括原点,因此C 点的轨迹不包括点1C .
典型例题1-2
如图,正方形 ABCD 的边长为4,动点E 从A 点出发,沿着AB 边向终点B 作无折返运动,连接DE ,以DE 为边向右上方作正 方形DEFG ,则点E 在整个运动过程中,点F 经过的路径长为______.
【分析】E 为主动点,F 为从动点,依据正方形的性质,两动点与定点A 的连线夹角恒为45°,且始终有DF :DE=2,符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,故F 点的运动轨迹为线段,由临界情况确定该线段的两个端点,结合“共点旋转(手拉手)”相似模型,运用相似比计算该线段长.
【解答】如图1,连接BF 、BD 和DF ,由正方形的性质知DE
DF
DA DB =2, 图1
∠BDA=∠FDE=45°,则∠ADE=∠BDF ,∴△DAE ∽△DBF ,∴BF=2AE , 当E 点位于A 点处时,F 点位于B 点处,当E 点位于B 点处时,F 点的 位置如图2,则F 点的运动轨迹即为图2中的线段BF ,BF=2AB=42, 即点F 经过的路径长为42.
图2
【小结】1.图1中,△DAB 与△DEF 构成“共点旋转(手拉手)”模型,伴随产生一组相似三角形(△DAE 和△DBD ); 2.瓜豆题型的突破口在于找到从动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系.
变式训练1-1
如图,△ABC 为等边三角形,AB=4,AD 为高,E 为直线AD 上一动 点,连接CE 并以CE 为边向下作等边△CEF ,连接DF ;则点E 在运 动的过程中,线段DF 的最小值为_________.
变式训练1-2
动点D 从A 点出发,沿着AC 边向终点C 作无折返运动,以BD 为边向上作△BDE ,使∠BDE=∠A ,且∠E=45°,则点D 运动 的整个过程中,点E 运动的路径长为________;F 为直线CE 上一动点,连接BF ,则线段BF 的最小值为_______.
变式训练1-3
(多种方法)如图,已知AB=12,点C 在线段AB 上,且AC=4,以AC 为一边向上作等边△ACD ,再以CD 为直角边向右作Rt △DCE ,使∠DCE=90°,F 为斜边DE 的中点,连接DF ,随着CE 边长的变化,BF 长也在改变,则BF 长的最小值为_________.
二、种曲线得曲线(主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分) 其原理与模型一类似,不再赘述,直接看例题: 典型例题2-1
如图,点A 是双曲线x
y 4
=
在第一象限上的一动点,连接AO
并延长,交双曲线的另一支于点B ,以AB 为斜边作等腰Rt △ABC , 点C 落在第二象限内,随着点A 的运动,点C 的位置也在不断变化, 但始终在同一函数图像上,则该函数解析式为___________. 【分析】A 为主动点,C 为从动点;
方法一:根据点C 坐标判断,连接CO 过点C 向x 轴作垂线段,构建“三垂直”模型,设点A 坐标,表示出点C 坐标,观察其坐标符合的函数解析式; 方法二:根据反比例函数k 的几何意义判断;
方法三:动点A 、C 与定点O 符合瓜豆原理“定角、定比”的特征,因而点C 的轨迹是双曲线的一支,任意的点C 均可看做对应的点A 绕着点O 逆时针旋转90°而来,因而点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到.
【解答】方法一:连接OC ,作CD ⊥x 轴于点D ,AE ⊥x 轴于点E ,由双曲线的对称性知OA=OB ,又∵△ABC 为等腰直角三角形,∴CO ⊥OA ,CO=OA ,则易证△COD ≌△OAE ,
设A (a,a 4),则C (-a 4
,a ),易判断点C 在反比例函数y=-x 4(x <0)上,故答
案为:y=-x 4(x <0).
方法二:辅助线同方法一,由反比例函数k 的几何意义知COD AOE S S ∆∆==2,易判断点C 在反比例函数y=-x 4(x <0)上.
方法三:点C 的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O 逆时针旋转得到,因而新反比例函数的k 与原函数k 互为相反数,故点C 在反比例函数y=-x 4(x <0)上. 变式训练2-1
如图,Rt △ABO 中,∠AOB=90°,点A 在第一象限、点B 在第四象限, 且AO :BO=1:
,若点A (x 0,y 0)的坐标x 0,y 0满足y 0=
,则点
B (x ,y )的坐标x ,y 所满足的关系式为 .
三、种圆得圆(主动点与从动点的轨迹都是圆或圆弧) 1.
图1 图2
如图1,已知点P 为⊙M 上一动点,O 为定点(一般在圆外),Q 为直线OP 上一点(一般在线段OP 上),若OP OQ
=k (k >0且k ≠1),则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角(0°)、定比”特征,因而Q 点的轨迹也是圆,如
何确定该圆的圆心和半径呢?如图2,连接MP 、MO ,作QN ∥PM ,交MO 于点N ,则△OQN ∽△OPM ,从而有MP
NQ OP
OQ
OM
ON
=
==k,由于M 、O 为定点,k 为定值,∴N 为定点,设⊙M 半径为R ,⊙N 半径为r ,∵NQ=kMP=kR,∴NQ 长为定值,由圆的定义知,点Q 在以N 为圆心,kR 长为半径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心,kR 长为半径的圆. 2.
图1 图2
如图1,已知点P 为⊙M 上一动点,O 为定点(一般在圆外),将射线OP 绕着点O 按确定的方向(如顺时针)旋转一个确定的角度α(0<α<180°),得到射线OT ,在射线OT 上有一点Q ,满足OP OQ
=k (k 为大于0的常数),则主动点P 、从动点Q 与定点O 符合“定角、定比”的特征,因而Q 点的轨迹也是圆,如何确定该圆的圆心和半径呢?
如图2,连接MP 、MO ,将射线OM 绕点O 顺时针旋转α角,得到射线OS ,在射线OS 上取一点N ,使OM ON
=k,则N 为定
点,易证△OQN ∽OPM ,则OP
OQ
PM QN
=k ,∴QN=kPM=kR,则QN 为定值,由圆的定义知,点Q 在以N 为圆心,kR 长为半
径的圆上运动,即Q 点的轨迹是以N 为圆心,kR 长为半径的圆.特别的,当k=1时,△OQN ≌OPM ,⊙N 和⊙M 为等圆,⊙N 可看做由⊙M 绕着点O 顺时针旋转α角而来;当k ≠1时,⊙N 可看做由⊙M 绕点O 顺时针旋转α角,且半径放缩k 倍(0<k <1时缩小,k >1时放大)而来.
典型例题3-1
如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D 是以点A 为圆心4为半径的圆上一动点,连接BD ,点M 为BD 中点,线段CM 长度的最大值为________.
【分析】方法一:关联三角形法,取AB 的中点E ,连接EC 、EM 和AD ,放到△CEM 中求解CM 的范围,三点共线时取最大值;
方法二:辅助圆法,从动点相关的线段优先转化为主动点相关的线段,将线段BC 加倍延长,借助中位线构造出2CM ,即求2CM 的最大值;
方法三:符合瓜豆原理基本模型,确定从动点M 的轨迹圆,进而求CM 的最大值.
【解答】方法一:如图1,取AB 的中点E ,连接EC 、EM 和AD ,∵M 为BD 的中点,∴EM 为△BAD 的中位线,∴EM=21AD=2;∵∠ACB=90°,∴CE=21AB=5,CM ≤CE+EM ,即CM ≤7,当且仅当C 、E 、M 共线时(如图2),CM 取得最大值7.
图1 图2
方法二:如图3,延长BC 至点F ,使CF=BC ,则F 为定点,连接DF ,则CM 为△BDF 的中位线,∴FD=2CM ,当FD 最大时,CM 最大;如图4,连接FA 并延长,与⊙A 交于点D ,此时FD 最大,易知AF=AB=10,则此时FD=14,对应CM 的最大值即为7.
方法三:主动点D 、从动点M 与定点B 符合“定角(0°)、定比”特征,因而点M 的轨迹为圆;如图5,连接AD ,∵M 为BD 的中点,∴取AB 得中点E ,连接EM ,可知E 为定点且EM=21AD=2,根据圆的定义知,点M 的轨迹为以E 为圆心,2为半径的圆;如图6,∵C 为⊙E 外一定点,∴连接CE 并延长,与⊙E 交于点M ,此时CM 最大,此时CM=CE+EM=7.
图5 图6
【小结】以上方法中,辅助线均有一举多得之妙,我们可总结出一些常见的辅助线作法:
①出现直角三角形:常作斜边的中线;②出现直角三角形:常倍长直角边,构造等腰三角形;③出现线段中点:常取另一线段的中点,构造中位线;④出现线段中点:常倍长另一线段,构造中位线.
典型例题3-2
(改编)如图,△ABC 中,AB=3,AC=2,以BC 为斜边作等腰Rt △BCD (与△ABC 分布在直线BC 的两侧),连接AD ,则线段AD 的最大值为___________.
【分析】方法一:∵△BCD 为等腰直角三角形,∴以AB 为斜边向下作等腰直角三角形,与△BCD 构成“共点旋转(手拉手)”模型,伴随产生一组相似三角形,用“关联三角形”法求出AD 的最大值.
方法二:不妨固定AB 边,则主动点C 在以A 为圆心,2为半径的一段圆弧上运动,它与从动点D 、定点B 符合“定角、定比”特征,借助模型确定D 点的轨迹圆弧,求出AD 的最大值.
【解答】方法一:如图1,以AB 为斜边向下作等腰Rt △BAE ,连接DE ,则△BAE ∽△BCD ,从而易证△BAC ∽△BED ,∴2
1=
=
AB
BE AC DE
,∴DE=
2
AC =2,又AE=
2232
=AB ,∴AD ≤AE+DE ,即AD ≤225,
如图2,当且仅当A 、E 、D 三点共线时,AD 取得最大值,最大值为225.
图1 图2
方法二:如图3,假定AB 边固定,则主动点C 在半圆(不包括端点G 、H )上运动,从动点D 可看作由主动点C 绕着点B 顺时针旋转45°,且到点B 的距离缩至
2
2倍
而来,则将主动圆心A 按照相同的操作可得到从动圆心F ,从动圆的半径缩小至主动圆半径的
2(即构造△BDF ∽△BCA ,与构造“手拉手”模型本质相同),D 点在
线时,AD最大,最大值为AF+DF=
22
5. 图3
【小结】1.方法一与方法二实质相同,只是方法二多了确定主动点轨迹、从动点轨迹的过程;2.由图2可知,当AD 取得最大值时,∠BAC=∠BDE=90°,∠BAD=∠CAD=45°,因而可以变换多种问法,如当AD取得最大值时,求∠BAD、∠BAC的大小,求BC长、BD长等;
3.本题可稍稍加大难度,将“求AD得最大值”改为“求△ABD面积的最大值”(答案为
42
6
9 ,方法见视频讲解);
4.许多同学误将主动点和从动点的轨迹判断为完整的圆,虽不影响结论,但不够严谨.
5.共点旋转与瓜豆可谓形影相伴模型,很多题往往用两种方法均可解答;
变式训练3-1
如图,一次函数y=2x与反比例函数y=
x
k(k>0)的图象交于A,B两点,点P在以C(﹣
2,0)为圆心,1为半径的⊙C上,连接AP,Q是AP的中点,连接OQ,已知OQ长的最大
值为
2
3,则k的值为______;BQ的最大值为________.
变式训练3-2
(原创)如图,在平面直角坐标系中,圆心在x轴正半轴上的⊙M交x轴的
负半轴于点A(-1,0),交y轴正半轴于点B(0,3),交y轴负半轴于
点C,动点P从点B出发,沿着⊙M顺时针向终点C做无折返运动,D(-2,0),
在点P运动过程中,连接DP,Q为线段DP上一点且始终满足PQ=2DQ,则在
整个运动过程中,点Q经过的路径长为_______;线段DQ扫过的区域面积为
________.
变式训练3-3
(原创)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(-1,0),以OA为直
径的圆上有两个动点C、D,连接BC,并以BC为直角边向逆时针方向作Rt
△BCE,使∠CBE=90°,
∠BEC=30°,连接CD、ED和BD,则C、D两点的位置在变化的过程中,△
BCE面积的最大值与最小值之差为_______;线段DE的最小值为
_________;当∠EBD最大时,线段BE和CD的数量关系是_____________.
中考真题
6在第二象限分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰1.如图,点A是双曲线y=-
x
k上△ABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线y=
x
运动,则k的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,抛物线y=x2﹣4与x轴交于A、B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段
PA的中点,连结OQ.则线段OQ的最大值是()
A.3B.C.D.4
3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,∠DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作∠DFE
=30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是.
4.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值
是()
A.2 B.4 C.D.
5.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=22,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当点P沿着半圆从点A运动到点B时,点M运动的路径长为.
6.如图,在矩形ABCD中,AB=,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,
连接A1C,设A1C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,点Q的运动路径长为.
7.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧
作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.
8.如图,正方形ABCD中,AB=2,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D 逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若A,E,O三点共线,连接OF,求线段OF的长.
(3)求线段OF长的最小值.
参考答案
变式训练1-1
1.
变式训练1-2
262+;26
22+
.
变式训练1-3
6.
变式训练2-1
y=-x 2
.
变式训练3-1
2532,105
1452+.
变式训练3-2
98π;27839π
+.
变式训练3-3
43;3-3;BE=3CD.
中考真题
1.B
2.C
3.33
4
4.D
5.π
6.33
π
7.25
8.(1)证明:如图1,由题意知:∠EDF=90°,ED=DF ,
∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ADC=90°,AD=CD ,∴∠ADC=∠EDF ,
即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF ,∴∠ADE=∠CDF ,在△ADE 和△DCF 中,
∵,
∴△ADE ≌△DCF ,∴AE=CF ;
(2)如图2,过F 作OC 的垂线,交BC 的延长线于P ,
∵O 是BC 的中点,且AB=BC=2,∵A ,E ,O 三点共线,∴OB=,
由勾股定理得:AO=5,∵OE=2,∴AE=5﹣2=3,由(1)知△ADE ≌△DCF ,
∴∠DAE=∠DCF ,CF=AE=3,∵∠BAD=∠DCP ,∴∠OAB=∠PCF ,
∵∠ABO=∠P=90°,∴△ABO ∽△CPF ,∴==2,
∴CP=2PF ,设PF=x ,则CP=2x ,由勾股定理得:32=x 2+(2x )2,
x=或﹣(舍去),∴FP=,OP=
+=, 由勾股定理得:OF=
=, (3)方法一:如图3,由于OE=2,所以E 点可以看作是以O 为圆心,2为半径的半圆
上运动,延长BA 到P 点,使得AP=OC ,连接PE ,
∵AE=CF ,∠PAE=∠OCF ,∴△PAE ≌△OCF ,
∴PE=OF ,当PE 最小时,为O 、E 、P 三点共线,
OP===5,
∴PE=OF=OP ﹣OE=5﹣2,∴OF 的最小值是5
﹣2. 方法二:如图4,连接OD ,将△ODE 绕点D 逆时针旋转90°得到△IDF ,连接OI 、OF , 在Rt △OCD 中,OD=22CD OC +=5,
在Rt △ODI 中,OI=22ID OD +=52,∵OF ≥OI-FI ,而
FI=OE=2,∴OF ≥52-2,即OF 的最小值是5
﹣2.。