福建南安一中高三上学期期末考试数学理

福建省南安一中2010届高三上学期期末考试
数学（理科）试卷
班级 姓名 座号
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设全集}4,3,2,1{=U 两个集合}2{=A ，}4,3,2{=B ，则 等于( ) A ．{1} B ．{1，3，4} C ．{2} D ．{3，4}
2．在ABC ∆中,c AB b AC a BC ===,,,如果4,3==b a ,那么“5=c ”是“ABC ∆为直角三角形”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不是充分又不是必要条件 3．若()4
21x
+的展开式的第3项为12，则x 等于( )
A. 3log 3
12 B.
2
1
C. 6log 4
D. 2 4．抛物线x y 42
=上点)2,(a P 到焦点F 的距离为( )
A. 1
B. 2 C .4 D .8
5．已知数列}{n a 的通项公式为*
∈-=N n n a n ,32，其前n 项和为n S ，则使48>n S 成立的n 的最小值
为( )
A .7 B. 8 C. 9 D. 10
6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
7．已知函数),(cos sin 2
ππ-∈+=x x x y 则下列正确的是( )
A. 是偶函数，有最大值为
4
5
B. 是偶函数，有最小值为45
C. 是偶函数，有最大值为2
D. 是奇函数，没有最小值
8．右图中,阴影部分的面积是 ( ) A. 20 B. 24 C. 883 D. 403
错误!未
错误!未找
侧视图
正视图
俯视图
b b
a
a
a a
9. 如果x 、y 满足⎩⎨
⎧>+>-0
y x y x ，则有( )
A. 022
2
>++x y x B. 022
2<++x y x
C. 022
2>-+x y x D. 022
2<-+x y x
10．现要给四棱锥ABCD P -的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4
种，则不同的涂色方案的种数共有( )
A ．36
B ．48
C ．72
D ．96
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分共20分 11．复数
(2)
12i i i
+-等于 . 12．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 13．如图，是一程序框图，则输出结果为 ．
14．设12,F F 是双曲线
11692
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，
且0
1260F PF ∠=，
那么△12F PF 的面积是 .
15．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；
②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为直角三角形，
有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. ( 本小题满分13分)
设函数f(x)=q p ρ
ρ⋅，其中向量)sin cos ,cos 2()sin cos ,(sin x x x q x x x p -=+=ρρ，,R x ∈. (1)求f(
3
π
)的值及f(x)的最大值。

(2)求函数f(x)的单调递增区间
17．（本小题满分13分）：
如图：PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA=AB=1，PD 与平面ABCD 所成角是30°，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.
（Ⅰ）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ； （Ⅲ）当BE 等于何值时，二面角P-DE-A 的大小为45°.
18. ( 本小题满分13分)
已知正数数列{}n a 中，21=a .若关于x 的方程04
1
2)(12
=++
-+n n a x a x )(+∈N n 有相等的实根. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证
3
2
11111111321<++++++++n a a a a Λ )(+∈N n .
19. ( 本小题满分13分)
已知双曲线1C 的方程为18
2
2
=-y x ，椭圆2C 长轴的两个端点恰好为双曲线1C 的两个焦点. （Ⅰ）如果椭圆2C 的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆2C 的方程;
（Ⅱ）如果椭圆2C 的方程为192
2=+b
y x ，且椭圆2C 上存在两点A ，B 关于直线1-=x y 对称，求b 取值范围.
20.( 本小题满分14分)
已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y .又0)1(=-'f . (Ⅰ)
求a 的值；
(Ⅱ)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y =f （x ）的切线，又是y =g (x ) 的切线；如果存在，求出k 的值；
如果不存在,说明理由.
(Ⅲ)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围. 21（本题有三个小题，每小题7分，请任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
（1）、在直角坐标系中，△O A B 的顶点坐标O (0 , 0)，A (2，0)，B (1， 2 )，求
△O A B 在矩阵M N 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M = ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
–1 ， N = ⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1220
22
． （2）、过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
为参数相交于A 、B 两点．求线段AB
的长．
（3）证明不等式：1111
2
112123123n +
+++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L
福建省南安一中2010届高三上学期期末考试
P
A
F
B E
C
G
数学（理科）试卷参考答案
一．1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9. A 10. C
二．11.-1 12. 10 13.
5
11
15.①③④⑤ 三．16解：（I ）Θ()sin ,cos sin x x x =+p ，()2cos ,cos sin x x x =-q ，
∴=)(x f ⋅p q =()sin ,cos sin x x x + ·()2cos ,cos sin x x x -
x x x x 22sin cos cos sin 2-+= x x 2cos 2sin += .∴)3
(π
f = 213-.
又()f x =sin 2cos2x x +=)4
2sin(2π
+x ∴函数)(x f 的最大值为2.
当且仅当8π
x k π=+（∈k Z ）时，函数)(x f 取得最大值为2.…………7分
（II ）由222 242πππk πx k π-++≤≤（∈k Z ），得388
ππ
k πx k π-
+≤≤ （∈k Z ） ∴函数)(x f 的单调递增区间为[8
,83π
k ππk π+-](∈k Z). ……………………13分
17．解: 解法一:（Ⅰ）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行.
∵在PBC ∆中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC 又EF ⊄平面PAC 而PC ⊂平面PAC ∴EF ∥平面PAC . ………4分
（Ⅱ）证明:ABCD BE ABCD PA 平面，平面⊂⊥Θ,
PA EB ⊥∴.又，
平面PAB AP AB A AP AB AB EB ⊂=⊥,,,I PAB EB 平面⊥∴, 又PAB AF 平面⊂，∴BE AF ⊥.
又1PA AB ==,点F 是PB 的中点,,PB AF ⊥∴ ……4分
PBE BE PB B BE PB 平面又⊂=⋂,,Θ,PBE AF 平面⊥∴.
PE AF PBE PE ⊥∴⊂，平面Θ. ………8分
(Ⅲ)过A 作AG DE ⊥于G ，连PG ，又∵PA DE ⊥，
则⊥DE 平面PAG ,
则PGA ∠是二面角P DE A --的平面角， ∴ο
45=∠PGA ，………10分
∵PD 与平面ABCD 所成角是ο
30，∴ο
30=∠PDA ，
∴AD =1PA AB ==. ∴1AG =
，DG =
BE x =，则GE x =，CE x =，
在Rt DCE ∆中，
)
)
2
2
21x
x
=+，BE x ==. ………13分
解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分 （Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则()0,0,1P ， (
)0,1,0B ，110,,
22F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，)
D .
设BE x =，则(),1,0E x
0)2
1
,21,0()1,1,(=⋅-=⋅→
→
x AF PE ∴AF PE ⊥ ………8分
（Ⅲ）设平面PDE 的法向量为(),,1m p q =u r ，由
⎝
⎛=⋅
=⋅→→→→00PE m PD m ，得：m ⎫=⎪⎭u r ，而平面ADE 的法向量为)1,0,0(=→
AP ,∵二面角P DE A --的大小是ο
45,所以ο
45cos =
|
||||
|
22→→→
→
⋅=AP m AP m ，∴
=
， 得BE x ==
或 23+==x BE （舍）. ………………13分
18．解：(Ⅰ)由题意得0121=--=∆+n n a a 得121+=+n n a a 得112(1)n n a a ++=+ ∴数列{}1n a +是以3为首项以2为公比的等比数列，
∴1231-⋅=+n n a ∴1321n n a -=⋅- ……………… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
n a a a a ++++++++11111111321Λ=)2
1
212121(31120-+++n Λ =
2
11)21
(131--n =))21(1(32n -32< 所以3211111111321<++++++++n a a a a Λ ……13分 19．解（Ⅰ）在双曲线1C 的方程18
2
2
=-y x 中3,1==c a ，则椭圆2C 方程为1892
2=+y x …………… 3分 （Ⅱ）椭圆2C 方程为)90(192
2<<=+b b
y x ，A 、B 点所在直线方程设为m x y +-=，
代入椭圆2C 方程得0)(918)9(2
2=-+-+b m mx x b …………………5分 由0))(9(36)18(2
2
>-+-=∆b m b m 得92+<b m …………… 6分 设),(),,(2211y x B y x A 那么9
1821+=
+b m
x x ，99221+=+b m x x ，所以b bm y y +=+9221 将
99221+=+b m x x ，b bm y y +=+9221代入直线1-=x y 得b
b m -+=99
…………… 9分 再将b b m -+=
99
代入92+<b m 得072192>+-b b ， ……………11分 解得27319+>b （舍去）或27319-<b ，Θ90<<b ∴ 2
73
190-<<b …13分
20．解：（Ⅰ）a x ax x f 663)(2-+=',因为0)1(=-'f 所以a =－2. …………2分 (Ⅱ)因为直线m 恒过点（0，9）.
先求直线m 是y =g (x ) 的切线.设切点为)1263,(02
0++x x x ,因为66)(00+='x x g . 所以切线方程为))(66()1263(0002
x x x x x y -+=++-,将点（0，9）代入得10±=x . 当10-=x 时，切线方程为y =9, 当10=x 时，切线方程为y =12x +9.
由0)(/
=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x
当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y
∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ，
当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ， ∴912+=x y ，不是公切线， 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线 ……7分
(Ⅲ).（1）)(9x g kx ≤+得3632++≤x x kx ，当0=x ，不等式恒成立，R k ∈. 当02<≤-x 时，不等式为6)1
(3++≥x
x k ， 而6])
(1)[(36)1(3+-+--=++
x x x x 0623=+⋅-≤0≥∴k 当0>x 时，不等式为6)1(3++≤x x k ，Θ126)1
(3≥++x
x ∴12≤k
∴当2-≥x 时,)(9x g kx ≤+恒成立，则120≤≤k …………10分
（2）由9)(+≤kx x f 得11123292
3-++-≥+x x x kx
当0=x 时，119-≥恒成立，R k ∈，当02<≤-x 时有x
x x k 2012322-++-≤ 设x x x x h 201232)(2-
++-==x x 208105)43(22-+--， 当02<≤-x 时8105)43(22+--x 为增函数，x 20
-也为增函数∴8)2()(=-≥h x h
∴要使9)(+≤kx x f 在02<≤-x 上恒成立，则8≤k …………12分
由上述过程只要考虑80≤≤k ，则当0>x 时12166)(2
/++-=x x x f =)2)(1(6-+-x x
∴在]2,0(∈x 时0)(/>x f ，在),2(+∞时0)(/<x f ∴)(x f 在2=x 时有极大值即)(x f 在),0(+∞上的
最大值，又9)2(=f ，即9)(≤x f 而当0>x ,0≥k 时99>+kx ，∴9)(+≤kx x f 一定成立，综上所述80≤≤k . …………14分
21．（1）解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=222201MN ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
-00222201
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00……………3分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-020*******…………4分．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1221222201……5分 可知B A O ,,三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为)1,2(),0,2(),0,0(-'''B A O ． 可得B A O '''∆的面积为1． ………………………………7分． （2
）解：直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，……………………… 2分
曲线1,()1x t t t y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
为参数可以化为22
4x y -=．………………………………… 4分
将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=．
设A 、B 对应的参数分别为12s s ，
，∴121210s s s s +==．……………… 6分
AB 12s s =-
………………………………………7分
（3）证明：1111
112123123n +
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L ＜21111
1222n -++++L ……………………2分
=
11()2112n
-- ……………………… 4分 =2－112n -
……………………… 6分
＜2 ……………………… 7分。