麦盖提县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

麦盖提县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
2． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知函数()sin f x a x x =关于直线6
x π
=-对称 , 且12()()4f x f x ⋅=-,则12x x +的最小值为
A 、
6π B 、
3
π
C 、
56π D 、23π 4． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111] A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(
5． 若椭圆+
=1的离心率e=
，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．
或
C ．
D ．3或
6． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 11
7． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．
14 B ．1
2
C ．1
D ．2 8． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0
B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0
C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0
D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0
9． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，则下列结论
中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．已知点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线
方程为（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
12．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，则实数a的取值范围为．
14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
15．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有种．
16．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．
17．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则
=．
18．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）=．
三、解答题
19．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设a＞，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．20．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．
（1）求证：AD＝1
22b
2＋2c2－a2；
（2）若A＝120°，AD＝19
2，sin B
sin C
＝3
5
，求△ABC的面积．
21．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
22．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，
求出的长,若不存在，请说明理由．
23．（本题满分15分）
已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
24．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；
（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．
麦盖提县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
2． 【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x 是奇函数，故是偶函数。

故答案为：B 3． 【答案】D
【解析】
：()sin )(tan f x a x x x ϕϕ==-=
12(),
()()46
3
f x x k f x f x π
π
ϕπ=-
∴=+
⋅=-对称轴为
112212min
522,2,6
6
3
x k x k x x π
π
πππ∴=-
+=
+∴+=
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()
1f f =R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R []3,2∈x 时，()181222
-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与(g ()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f ()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<2
3log 10a a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
5． 【答案】D
【解析】解：当椭圆+
=1的焦点在x 轴上时，a=，b=
，c=
由e=，得=
，即m=3
当椭圆+
=1的焦点在y 轴上时，a=
，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x 轴和y 轴进行分类讨论．
6． 【答案】C
【解析】解：∵a n =29﹣n
，
∴T n =a 1•a 2•…•a n =2
8+7+…+9﹣n
=
∴T 1=28，T 19=2﹣19
，故A 不正确
T 3=221，T 17=20，故B 不正确 T 5=230，T 12=230，故C 正确 T 8=236，T 11=233，故D 不正确 故选C
7． 【答案】B
【解析】
试题分析：因为(1,2)a =，(1,0)b =，所以()()1,2a b λλ+=+，又因为()//a b c λ+，所以
()1
4160,2
λλ+-==
，故选B. 考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 8． 【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x ∈R ，使x 2
+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x ∈R ，都有x 2
+1≥0．
故选D ．
9． 【答案】 D
【解析】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确； ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确；
∵EF=
，∴△BEF 的面积为定值×EF ×1=
，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A ﹣BEF 的高，∴三棱
锥A ﹣BEF 的体积为定值，故C 正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sin α=，α=30°；当F 与B 1重合时tan α=，∴异面
直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误； 故选D ．
10．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，
∴，①
又∵双曲线C的焦距为12，
∴12=2，即a2+b2=36，②
联立①、②，可得a2=16，b2=20，
∴渐近线方程为：y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．
再由1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，
即点P的极坐标为（2，），
故选C．
【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
14．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
15．【答案】75
【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
16．【答案】（1，2）．
【解析】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
17．【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
18．【答案】1．
【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，
f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．
故答案为：1．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2ax﹣=由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．
经检验，a=符合题意．
（Ⅱ）
1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，
①若＜e，即，则f（x）在（0，）上是减函数，在（，e]上是增函数；
②若≥e，即0＜a≤，则f（x）在[0，e]上是减函数．
综上所述，当a≤时，f（x）的减区间是（0，e]，
当a＞时，f（x）的减区间是，增区间是．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f （x ）的最小值是f （）=1+lna ；
易知g （x ）在（0，e]上的最大值是g （e ）=﹣4﹣lna ； 注意到（1+lna ）﹣（﹣4﹣lna ）=5+2lna ＞0，
故由题设知，
解得
＜a ＜e 2
．
故a 的取值范围是（，e 2）
20．【答案】 【解析】解：
（1）证明：∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝a
2
.
法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2
＝AD 2
＋a 2
4
－2AD ·
a
2
cos ∠ADB ，① b 2＝AD 2＋a 2
4－2AD ·a 2
·cos ∠ADC ，②
①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋a 2
2
，
即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
法二：在△ABD 中，由余弦定理得
AD 2＝c 2
＋a 24－2c ·a 2
cos B
＝c 2＋a
24－ac ·a 2＋c 2－b 22ac
＝2b 2＋2c 2－a 2
4，
∴AD ＝1
2
2b 2＋2c 2－a 2.
（2）∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝3
5，
由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a 2＝b 2＋c 2＋bc ，① 2b 2＋2c 2－a 2＝19，②
b c ＝3
5
，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，
∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝153
4.
即△ABC 的面积为15
4 3.
21．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）2=sin
2
+2sin cos
+cos 2
=1+sin α=，
∴sin α=，
∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=
+
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．
22．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面
平面
，
是交线，
平面
平面
．
（Ⅱ）取的中点
，
底面
是正方形，
，
两两垂直．
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，，
设平面的法向量为，，
，
，
平面
的法向量即为平面
的法向量
．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与
所在平面成
角，
平面
的法向量为
，
，
，解得
，适合 在线段
上存在点
，当线段时，与
所在平面成角．
23．【答案】（1）2
4y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，2
2212p p =⨯⇒=，…………2分 即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
24．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．。