8.1椭圆
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3 2 25 4 3 3 25
高考第一轮复习用书·数学文科
第8章 8.1
第1题 考查椭圆的标准方程和简单几何性质,注意椭圆的焦点落在哪 个轴上,否则很容易出现错误.是教材习题的改编. 第2题 考查椭圆的标准方程与简单源自何性质,是教材例题、习题的简单 改编.
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第8章 8.1
C2:x2+y2=b2,若在椭圆 C1
上存在点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是(
1 A.[2,1)
).
2 ,1) 2
B.[
2 3 , ] 2 2
C.[
D.[
3 ,1) 2
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第8章 8.1
(3)(甘肃省张掖市 2015 届高考数学(4 月份)模拟试卷理科)已知
x2 y2 心率的椭圆可设为 2 + 2 =k1 a b
(k1>0,焦点在 x
y2 x2 轴上)或 2 + 2 =k2 a b
(k2>0,焦点在 y 轴上).
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第8章 8.1
三、椭圆的简单几何性质
焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 a2 b2
焦点在 y 轴上
y2 x2 a2 b2
第三,找关系:根据已知条件建立 a,b,c 或 m,n 的方程组. 第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求椭圆的标准 方程.
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第8章 8.1
根据下列条件,分别求椭圆的标准方程. (1)离心率为 ,长轴长为 8; (2)经过点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2); (3)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴两个端点所在直线的夹角为 直角,且这个焦点到长轴上两端点较近点的距离是 10- 5.
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第8章 8.1
������ 2 ������ 2 第二,设方程:根据上述判断,设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0)、 ������ ������ ������ 2 ������ 2 + =1(a>b>0)或 ������ 2 ������ 2
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
������ 2 ������ 2 (3)设椭圆方程为������ 2 +������ 2 =1(a>b>0),由题意有
������ = 9 ,
1
b=c,a-c= 10- 5,又
a2=b2+c2,解得
a= 10,b=
������ 2 ������ 2 5,∴所求椭圆的标准方程为10 + 5 =1.
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第8章 8.1
2.(2015 年全国Ⅰ卷改编)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为2,E 的右焦点是(2,0),则椭圆 E 的标准方程是 .
1
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第8章 8.1
【解析】∵椭圆 E 的右焦点为(2,0), ∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上.
x2 y2 设方程为 2 + 2 =1(a>b>0),c=2, a b c 1 ∵e= = ,∴a=4,∴b2=a2-c2=12, a 2 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为16 +12 =1. x2 y2 【答案】16 +12 =1
长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0) (0,±c) 2c
长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b e= ∈(0,1) a2=b2+c2
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第8章 8.1
【温馨提示】椭圆上的点到焦点的距离的范围: F1,F2 为椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,则 a-c≤|PF1|≤a+c,a-c ≤|PF2|≤a+c.
取得
最大值 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a+c).
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第8章 8.1
二、椭圆的标准方程 1.焦点在 x
x2 y2 轴上的椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),其中 a b
a2=b2+c2,焦点坐标为(±c,0); 2.焦点在 y
y2 x2 轴上的椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),其中 a b
1 2
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【解析】(1)∵������ =2,2a=8,∴a=4,c=2,b=2 3.
������ 2 ������ 2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 16 12 ������ 2 ������ 2 或 + =1. 16 12
������ 1
(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过点 P1、P2,∴点 P1、P2 坐标满足椭圆方程, 6������ + ������ = 1, ������ 2 ������ 2 则 解得 1 ∴所求椭圆的标准方程为 9 + 3 =1. 3������ + 2������ = 1, ������ = 3 ,
3
B.(0, 2 ] D.[
3 2 , ] 3 2
2
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【解析】(1)∵|F1F2|=2c,∴|BF1|=c,|BF2|= 3c, ∴c+ 3c=2a,∴e= = 3-1. (2)如图,连接 OA,OB,OP.
������ ������
∵∠APB=90°,∴∠APO=∠BPO=45°,∴sin ∠APO=������������ = 2 ,∴OP= 2b. ∵点 P 在椭圆 C1 上,∴OP≤a,即 2b≤a. 又 b2=a2-c2,∴a2≤2c2,∴e2≥
第8章 8.1
求离心率及其取值范围 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点. 这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一 类是根据一定的条件求椭圆离心率的取值范围.无论是哪类问题,其 难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把其 中的 b 用 a,c 替换,转化成关于离心率的关系式(等式或不等式),这是 解决有关椭圆离心率问题的难点的根本方法.
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如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)当 P 为短轴端点时,θ最大. (2)S =b2·
△PF 1 F 2
=2|PF1||PF2|·sin θ
θ
1
sin θ
1+cos θ
=b2tan
2
=c|y0|,当|y0|=b,即当 P 为短轴端点时,S
△PF 1 F 2
第8章 8.1
待定系数法求椭圆的标准方程 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点 的位置)和两个大小条件(即确定 a,b 的大小),主要有定义法、待定系 数法,有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求椭圆标准方程的 一般步骤: 第一,作判断:根据条件判断椭圆焦点在 x 轴上、 在 y 轴上或不确 定在哪个坐标轴上.
第3题 考查椭圆的顶点,先分析圆经过哪三个顶点,设出圆心坐标后,再 列出方程解答即可.本题源于教材,是教材习题的改编.
一、椭圆的定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 2a (大于|F1F2|) 的点的集合叫作 椭圆 ,这两个定点 F1,F2 叫作椭圆的 焦点 ,焦 点 F1,F2 间的距离叫作椭圆的 焦距 .
������ 2 ������ 2 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)的左,右两个焦点,P
为椭圆上 ).
的一点,且������������1 ·������������2 =c2,则椭圆的离心率的取值范围为(
A.(0, 3 ]
1 2 C.[ , ] 3 2
a2=b2+c2,焦点坐标为(0,±c). 【温馨提示】特殊的椭圆系方程: (1)已知椭圆上两点求椭圆方程时,常设方程 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B).
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x2 y2 (2)与椭圆 2 + 2 =1 共焦点的椭圆可设为 m n x2 y2 2,k>-n2). + =1(k>-m 2 2 m +k n +k x2 y2 (3)与椭圆a 2 +b 2 =1(a>b>0)有相同离
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第8章 8.1
2.椭圆有“两条线”(对称轴)、“六个点”(焦点、顶点),要注意它们 之间的位置关系和距离,焦点到相应顶点的距离为 a-c.讨论椭圆的几 何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种:(1)求 得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求解;(2)先列出关于 a,b,c 的齐次方程 (或不等式),再根据 b2=a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式) 求解.
1.椭圆有两种标准方程,在求解时,要先判断焦点的位置,再确定 椭圆标准方程的类型. 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程的类型时,可
������ 2 ������ 2 设为 ������ + ������ =1(m>0,n>0
且 m≠n),这样可避免讨论和繁杂的计算,也可
设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中较为方便.
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第8章 8.1
3.(2015
x2 y2 年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆16 + 4 =1
的三个顶点,且圆心在 x .
轴的正半轴上,则该圆的标准方程为
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第8章 8.1
【解析】 设圆心为(a,0)(a>0),则半径为 4-a,则(4-a)2=a2+22,解得 a=2,故圆的方程为(x-2)2+y2= 4 . 【答案】(x- )2+y2=
2 1 2 ,即 e≥ 2 . 2 2 e∈[ 2 ,1).
������������
2
又∵0<e<1,∴ 2 ≤e<1,即
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第8章 8.1
(3)设
2 ������ 2 2 ������ 0 ������ 0 0 2 P(x0,y0),则 2 + 2 =1,∴������0 =b2(1- 2 ). ������ ������ ������
������ 2 ������ 2 3.注意椭圆的范围,在设椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)上点的坐标为 ������ ������
P(x,y)时,此时应注意|x|≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中特 别有用,容易被忽略而导致求最值出现错误.
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+ =1(a>b>0)
+ =1(a>b>0)
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
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第8章 8.1
对称性
关于 x 轴、y 轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b) (±c,0) |F1F2|=
c a
顶点 焦点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关 系式
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第8章 8.1
������ 2 ������ 2 (1)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的两焦点分别为 ������ ������
F1 、F2 ,
以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的 离心率 e= (2)已知椭圆 .
������ 2 ������ 2 C1:������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)与圆
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第8章 8.1
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第8章 8.1
§8.1 椭
圆
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用,了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.
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1.(2015 m=( A.2
x2 y2 年广东卷)已知椭圆 + 2 =1(m>0)的左焦点为 25 m
F1(-4,0),则
). B.3 C.4 D.9
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第8章 8.1
【解析】由题意得 m2=25-42=9,因为 m>0,所以 m=3,故选 B. 【答案】B
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第8章 8.1
1.数学表达式为|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); 2.在椭圆的定义中,特别要注意条件 2a>|F1F2|,否则轨迹不是椭 圆.当 2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,动点的轨 迹是不存在的. 【温馨提示】椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作 焦点三角形.
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第8章 8.1
第1题 考查椭圆的标准方程和简单几何性质,注意椭圆的焦点落在哪 个轴上,否则很容易出现错误.是教材习题的改编. 第2题 考查椭圆的标准方程与简单源自何性质,是教材例题、习题的简单 改编.
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第8章 8.1
C2:x2+y2=b2,若在椭圆 C1
上存在点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是(
1 A.[2,1)
).
2 ,1) 2
B.[
2 3 , ] 2 2
C.[
D.[
3 ,1) 2
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第8章 8.1
(3)(甘肃省张掖市 2015 届高考数学(4 月份)模拟试卷理科)已知
x2 y2 心率的椭圆可设为 2 + 2 =k1 a b
(k1>0,焦点在 x
y2 x2 轴上)或 2 + 2 =k2 a b
(k2>0,焦点在 y 轴上).
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第8章 8.1
三、椭圆的简单几何性质
焦点在 x 轴上 标准方程
x2 y2 a2 b2
焦点在 y 轴上
y2 x2 a2 b2
第三,找关系:根据已知条件建立 a,b,c 或 m,n 的方程组. 第四,得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求椭圆的标准 方程.
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第8章 8.1
根据下列条件,分别求椭圆的标准方程. (1)离心率为 ,长轴长为 8; (2)经过点 P1( 6,1)、P2(- 3,- 2); (3)焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴两个端点所在直线的夹角为 直角,且这个焦点到长轴上两端点较近点的距离是 10- 5.
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第8章 8.1
������ 2 ������ 2 第二,设方程:根据上述判断,设椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0)、 ������ ������ ������ 2 ������ 2 + =1(a>b>0)或 ������ 2 ������ 2
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
������ 2 ������ 2 (3)设椭圆方程为������ 2 +������ 2 =1(a>b>0),由题意有
������ = 9 ,
1
b=c,a-c= 10- 5,又
a2=b2+c2,解得
a= 10,b=
������ 2 ������ 2 5,∴所求椭圆的标准方程为10 + 5 =1.
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第8章 8.1
2.(2015 年全国Ⅰ卷改编)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为2,E 的右焦点是(2,0),则椭圆 E 的标准方程是 .
1
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第8章 8.1
【解析】∵椭圆 E 的右焦点为(2,0), ∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上.
x2 y2 设方程为 2 + 2 =1(a>b>0),c=2, a b c 1 ∵e= = ,∴a=4,∴b2=a2-c2=12, a 2 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为16 +12 =1. x2 y2 【答案】16 +12 =1
长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0) (0,±c) 2c
长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b e= ∈(0,1) a2=b2+c2
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第8章 8.1
【温馨提示】椭圆上的点到焦点的距离的范围: F1,F2 为椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,则 a-c≤|PF1|≤a+c,a-c ≤|PF2|≤a+c.
取得
最大值 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a+c).
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第8章 8.1
二、椭圆的标准方程 1.焦点在 x
x2 y2 轴上的椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),其中 a b
a2=b2+c2,焦点坐标为(±c,0); 2.焦点在 y
y2 x2 轴上的椭圆的标准方程为 2 + 2 =1(a>b>0),其中 a b
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第8章 8.1
【解析】(1)∵������ =2,2a=8,∴a=4,c=2,b=2 3.
������ 2 ������ 2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 16 12 ������ 2 ������ 2 或 + =1. 16 12
������ 1
(2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n). ∵椭圆经过点 P1、P2,∴点 P1、P2 坐标满足椭圆方程, 6������ + ������ = 1, ������ 2 ������ 2 则 解得 1 ∴所求椭圆的标准方程为 9 + 3 =1. 3������ + 2������ = 1, ������ = 3 ,
3
B.(0, 2 ] D.[
3 2 , ] 3 2
2
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【解析】(1)∵|F1F2|=2c,∴|BF1|=c,|BF2|= 3c, ∴c+ 3c=2a,∴e= = 3-1. (2)如图,连接 OA,OB,OP.
������ ������
∵∠APB=90°,∴∠APO=∠BPO=45°,∴sin ∠APO=������������ = 2 ,∴OP= 2b. ∵点 P 在椭圆 C1 上,∴OP≤a,即 2b≤a. 又 b2=a2-c2,∴a2≤2c2,∴e2≥
第8章 8.1
求离心率及其取值范围 离心率是椭圆的重要几何性质,是高考重点考查的一个知识点. 这类问题一般有两类:一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一 类是根据一定的条件求椭圆离心率的取值范围.无论是哪类问题,其 难点都是建立关于 a,b,c 的关系式(等式或不等式),并且最后要把其 中的 b 用 a,c 替换,转化成关于离心率的关系式(等式或不等式),这是 解决有关椭圆离心率问题的难点的根本方法.
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如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)当 P 为短轴端点时,θ最大. (2)S =b2·
△PF 1 F 2
=2|PF1||PF2|·sin θ
θ
1
sin θ
1+cos θ
=b2tan
2
=c|y0|,当|y0|=b,即当 P 为短轴端点时,S
△PF 1 F 2
第8章 8.1
待定系数法求椭圆的标准方程 确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点 的位置)和两个大小条件(即确定 a,b 的大小),主要有定义法、待定系 数法,有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求椭圆标准方程的 一般步骤: 第一,作判断:根据条件判断椭圆焦点在 x 轴上、 在 y 轴上或不确 定在哪个坐标轴上.
第3题 考查椭圆的顶点,先分析圆经过哪三个顶点,设出圆心坐标后,再 列出方程解答即可.本题源于教材,是教材习题的改编.
一、椭圆的定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 2a (大于|F1F2|) 的点的集合叫作 椭圆 ,这两个定点 F1,F2 叫作椭圆的 焦点 ,焦 点 F1,F2 间的距离叫作椭圆的 焦距 .
������ 2 ������ 2 F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)的左,右两个焦点,P
为椭圆上 ).
的一点,且������������1 ·������������2 =c2,则椭圆的离心率的取值范围为(
A.(0, 3 ]
1 2 C.[ , ] 3 2
a2=b2+c2,焦点坐标为(0,±c). 【温馨提示】特殊的椭圆系方程: (1)已知椭圆上两点求椭圆方程时,常设方程 Ax2+By2=1(A>0,B>0,且 A≠B).
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x2 y2 (2)与椭圆 2 + 2 =1 共焦点的椭圆可设为 m n x2 y2 2,k>-n2). + =1(k>-m 2 2 m +k n +k x2 y2 (3)与椭圆a 2 +b 2 =1(a>b>0)有相同离
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第8章 8.1
2.椭圆有“两条线”(对称轴)、“六个点”(焦点、顶点),要注意它们 之间的位置关系和距离,焦点到相应顶点的距离为 a-c.讨论椭圆的几 何性质时,离心率问题是重点,求离心率的常用方法有以下两种:(1)求 得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求解;(2)先列出关于 a,b,c 的齐次方程 (或不等式),再根据 b2=a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式) 求解.
1.椭圆有两种标准方程,在求解时,要先判断焦点的位置,再确定 椭圆标准方程的类型. 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程的类型时,可
������ 2 ������ 2 设为 ������ + ������ =1(m>0,n>0
且 m≠n),这样可避免讨论和繁杂的计算,也可
设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中较为方便.
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3.(2015
x2 y2 年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆16 + 4 =1
的三个顶点,且圆心在 x .
轴的正半轴上,则该圆的标准方程为
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【解析】 设圆心为(a,0)(a>0),则半径为 4-a,则(4-a)2=a2+22,解得 a=2,故圆的方程为(x-2)2+y2= 4 . 【答案】(x- )2+y2=
2 1 2 ,即 e≥ 2 . 2 2 e∈[ 2 ,1).
������������
2
又∵0<e<1,∴ 2 ≤e<1,即
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第8章 8.1
(3)设
2 ������ 2 2 ������ 0 ������ 0 0 2 P(x0,y0),则 2 + 2 =1,∴������0 =b2(1- 2 ). ������ ������ ������
������ 2 ������ 2 3.注意椭圆的范围,在设椭圆������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)上点的坐标为 ������ ������
P(x,y)时,此时应注意|x|≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中特 别有用,容易被忽略而导致求最值出现错误.
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+ =1(a>b>0)
+ =1(a>b>0)
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
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对称性
关于 x 轴、y 轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b) (±c,0) |F1F2|=
c a
顶点 焦点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关 系式
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������ 2 ������ 2 (1)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的两焦点分别为 ������ ������
F1 、F2 ,
以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的 离心率 e= (2)已知椭圆 .
������ 2 ������ 2 C1:������ 2 +������ 2 =1(a>b>0)与圆
高考第一轮复习用书·数学文科
第8章 8.1
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第8章 8.1
§8.1 椭
圆
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用,了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用.
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1.(2015 m=( A.2
x2 y2 年广东卷)已知椭圆 + 2 =1(m>0)的左焦点为 25 m
F1(-4,0),则
). B.3 C.4 D.9
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【解析】由题意得 m2=25-42=9,因为 m>0,所以 m=3,故选 B. 【答案】B
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1.数学表达式为|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); 2.在椭圆的定义中,特别要注意条件 2a>|F1F2|,否则轨迹不是椭 圆.当 2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,动点的轨 迹是不存在的. 【温馨提示】椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作 焦点三角形.