【3-代数】2.导数的几个重要定理及应用【学生版】

自招竞赛秋季数学讲义
导数的几个重要定理及应用
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导数是中学数学的主要内容，是除个别地区外大部分省市高考的重点。

作为高中数学和大学数学的重要衔接点，导数也是自主招生考试中的热点。

在往届各大联盟考试中导数和微积分初步固定占有一到两题的位置，难度要求以基本的应用为主。

竞赛中，导数作为高等数学中最基本的方法，也做了较高的难度要求。

本节课介绍导数的一些基本定理及应用，包括罗尔定理、柯西定理、拉格朗日定理和最为重要也是考试中应用最广的洛必达法则。

希望通过这些基本的介绍可以帮助学生更好地理解求导的一些常用技巧。

罗尔定理
1.
费马定理：设f (x )在U (x 0)内有定义，且在x 0处可导，若∀x 0∈U (x 0)，有
f (x )≤f (x 0)[或f (x )≥f (x 0)]， 则 f ′(x 0)=0。

证明：不妨设x ∈U (x 0)时，有f (x )≤f (x 0)。

则对x 0+∆x ∈U (x 0)，有
f (x 0+∆x )≤f (x 0) 即 当∆x >0时，
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00≤0；
当∆x <0时，
x
x f x x f ∆-∆+)
()(00≥0；
从而： f ′(x 0)= f ′+(x 0)=+→∆0lim x x x f x x f ∆-∆+)
()(00≤0；
f ′(x 0)= f ′-(x 0)=+-→∆0lim x x
x f x x f ∆-∆+)
()(00≥0；
于是 f ′(x 0)= 0
定义：称满足f ′(x )=0的点为驻点(或稳定点，或临界点)。

2. 罗尔定理：如果函数y =f (x )满足：
1) f (x )∈C [a ，b ]（表示f (x )在[a ，b ]上连续，下同） 2) f (x )∈D(a ，b )（表示f (x )在(a ，b )上可导）
3) f (a )=f (b )
那么在(a ，b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b )，使得： f ′(ξ)=0。

证明：因为f (x )∈C [a ，b ]，所以f (x )在[a ，b ]内存在最大值M 和最小值m 。

以下分两种情形讨论： 1) M =m 。

此时f (x )在[a ，b ]上必然取得相同的值f (x )=M 。

此时有f ′(x )=0，即 对∀ξ∈(a ，b )，有f ′(ξ)=0。

2) M >m 。

由于f (a )=f (b )，所以M 和m 中至少有一个不等于f (x )在[a ，b ]上的函数
值。

不妨设：M ≠f (a )。

则在(a ，b )内必有ξ使得f (ξ)=M 。

即∀x ∈[a ，b]，有f (x )≤f (ξ)。

由费马定理得： f ′(ξ)=0。

柯西定理
柯西中值定理：如果函数f (x )和F (x )满足f (x )，F (x )∈C[a ，b ]且f (x )，F (x )∈D(a ，b )，且F ′(x )≠0，∀x ∈(a ，b )
则在(a ，b )内至少存在一点ξ，成立等式：
)()()()(a F b F a f b f --=)
()
(ξξF f ''。

分析：在参数方程：⎩⎨
⎧==)
()
(x f Y x F X (a ≤x ≤b )表示的曲线上，
弦AB 的斜率为：
)
()()
()(a F b F a f b f --。

曲线上点(X ，Y )处的切线的斜率为：
dX dY =)
()(x F x f ''。

当x =ξ时，则点C 处的切线平行于弦AB 。

证明：因为F (b )-F (a )=F ′(η)(b -a ) (a <η<b )，
由假设：F ′(η)≠0，所以F (b )-F (a )≠0。

所以AB 的方程为：Y -f (a )=
)
()()
()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )]。

于是：N 点的纵坐标为：Y =f (a )+
)
()()
()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )]，
M 的纵坐标为f (x )。

于是：NM 的方程为：φ(x )=f (x )-f (a )-
)
()()
()(a F b F a f b f --[F (x )-F (a )]
此函数满足罗尔定理的条件，即：存在ξ∈(a ，b )，使得：
f ′(ξ)-
)
()()
()(a F b F a f b f --F ′(ξ)=0。

即：
)()()()(a F b F a f b f --=)
()
(ξξF f ''。

当F (x )=x 时，即为拉格朗日中值定理。

拉格朗日定理
拉格朗日定理： 如果函数y =f (x )满足f (x )∈C [a ，b ]且f (x )∈D(a ，b ) 那么在(a ，b )内至少存在一点ξ (a <ξ<b )，成立等式：
f (b )-f (a )=f ′(ξ)(b -a )
此公式称为拉格朗日中值公式。

此公式称为拉格朗日中值公式。

定理的几何解释：
a
b a f b f --)
()(为弦AB 的斜率。

f ′(ξ)为曲线点C 处的斜率。

几何意义：如果曲线y =f (x )在弧AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么在这弧上至少存在一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB 。

辅助函数的建立：
有向线段NM 的值是x 的函数，记为φ(x )，则显然有φ(a )=φ(b )=0。

由于直线AB 的方程为：L (x )=f (a )+
a
b a f b f --)
()((x -a )
又点N 、M 的纵坐标分别为L (x )、f (x )，因此有向线段NM 的值的函数为：φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-
a
b a f b f --)
()((x -a )
此函数满足罗尔定理的全部条件。

证明：作辅助函数： φ(x )=f (x )-L (x )=f (x )-f (a )-
a
b a f b f --)
()((x -a )
则该函数在[a ，b ]内满足罗尔定理的条件，从而在(a ，b )内存在一点ξ，使得φ′(ξ)=0。

又
φ′(x )=f ′(x ) -
a
b a f b f --)
()(
所以：f ′(ξ)=
a
b a f b f --)
()(。

注：拉格朗日公式对a >b 也成立。

洛必达法则
当x →a (或x →∞)时，f (x )，g (x )→0（或f (x )，g (x )→∞），称极限)
()
(lim
)
(x g x f x a
x →∞→为未定式，记为：00或∞
∞。

应用洛必达法则求未定式
00或∞
∞ 如果同时满足下列三个条件：
（1） 当a x →时，函数)(x f 、)(x g 都趋于零
（2） 在a 的某去心邻域内两者都可导，且0)('≠x g
（3） 极限)
()
(lim '
'x g x f a x →存在或为无穷大 则)
()
(lim
x g x f a x →存在，且)()(lim )()(lim ''x g x f x g x f a x a x →→=
证明 补充定义()f a ＝()g a ＝0，则当x ∈(,)a a δ+时，用柯西中值定理
()()f x g x ＝()()()()f x f a g x g a --＝()
()f g ξξ''，a x ξ<<.
当+→a x 时，a ξ+→，故
()
lim ()x a
f x A
g x +
→=
证毕。

注1 极限A 可以是有限数，也可以是∞或∞±，结论仍成立。

注2 对a x →，-→a x ，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。

注3 对∞→x ，±∞→x ，定理条件作相应的改变后，结论仍成立。

内容及技巧小结
【试题来源】
【题目】验证罗尔定理对函数
ln sin
y x
=在区间
5
66
π
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上的正确性。

【试题来源】
【题目】求函数
()()()()()
1234
f x x x x x
=----
的导数，说明方程
()
'0
f x=
的根的个
数，并指出根所在的区间。

【试题来源】
【题目】证明等式：arcsinx arccosx
2
π
+=
【题目】验证拉格朗日定理对函数32
452y x x x =-+-在区间
[]0,1上的正确性。

【试题来源】
【题目】证明：当0x >时，x x x
x
<+<+)1ln(1。

【试题来源】
【题目】求下列极限：1）0lim →x bx ax
sin sin (b ≠0) 2）1lim →x 1
23233+--+-x x x x x 3） 0
lim
→x 3sin x x x - 4）+∞→x lim
x (x arctan 2
-π
) 5） +∞→x lim n x x
ln (n >0) 6） 6）+∞→x lim x n e x λ(n 为正整数，λ>0)
7） 2
lim π→
x 2)2(sin ln x x -π 8）0lim →x x x x cos sec )1ln(2-+ 9）1lim →x 1
3)1()1()1)(1(-----n n x x x x
【题目】求下列极限：
i. 0
lim +→x x n ln x (n >0)
ii. 2
lim π
→
x (sec x -t a n x )； iii. 0
lim +→x x x ；
iv.
lim
→x x
x x
x sin tan 2
- v.
0lim →x 2
1
arctan x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
【试题来源】
【题目】求下列极限： 1）∞
→n lim
n
n
2）∞→n lim n
n n n c b a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++3 (a ，b ，c 均为正数)
【题目】求下列极限：
1） 0
lim
→x x x x sin 1sin
2
2）+∞→x lim x
x
x cos -
【试题来源】
【题目】证明无论C 为何实数值，方程330x x C -+=在
[]0,1上至多有一个实数根。

【试题来源】
【题目】设0a b >>，证明：a b a -< b a ln <b
b
a -。

【题目】讨论函数f (x )=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>+-0
,0,])1([21
1
1
x e x e
x x x 在x =0处的连续性。

【试题来源】
【题目】设)(''0x f 存在，证明)('')
(2)()(lim 02
0000
x f h
x f h x f h x f h =--++→。

【试题来源】2012清华保送生
【题目】 已知函数
x e x f x 1
ln
)(-=，数列{}n a 满足)(,111n n a f a a ==+ （1） 求证：
01≥+-x
x e xe 恒成立 （2） 试求函数)(x f 的单调区间 （3） 求证：{}n a 为递减数列，且恒成立
0>n
a。