2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题03三角形有关的角(含答案)

的度数为（ ）
A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
【答案】D
【提示】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可
求得∠B=75°．
【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
②若底角的度数为 50°时，
则等腰三角形的顶角为：180°－50°－50°=80°
综上所述：它的顶角的度数是 50°或 80°
故选 D．
【名师点拨】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和分类讨论的数学思想是
解决此题的关键．
变式 1-4．（2019·益阳市期中）如图，在△ABC 中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）
A．360º
B．250º
C．180º
D．140º
【答案】B
【提示】【提示】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】∵△ABC 中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C =110°，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选 B．
【名师点拨】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B 的度数是解题关键. 考查题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 典例 2．（2019·渭南市期末）如图，AB∥CD，点 E 在线段 BC 上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D 为（ ）
所以∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
所以∠ABO+∠ACO=∠CBO+∠BCO=180°﹣120°=60°，
所以∠ABC+∠ACB=60°×2=120°，
于是∠A=180°﹣120°=60°．
故选 A．
变式 3-2．（2018·赣州市期中）如图，△ABC 中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，那么
的度数为（ ）
A．115 B．110 C．105 D．100
【答案】D 【提示】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】∵∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°， ∵AD、AE 分别为△ABC 的角平分线、高线，
名师点拨：本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键． 考查题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 典例 3．（2019·大石桥市期末）如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CD 相交于点 F，∠ABC＝42°，
∠A＝60°，则∠BFC 的度数为( )
考查题型一 三角形内角和定理 典例 1．（2020·毕节市期末）在三角形中，最大的内角不小于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【解析】解：∵三角形的内角和等于 180°，180°÷3=60°，∴最大的角不小于 60°．故选 C．
变式 1-1．（2020·阳新县陶港镇陶港中学初一期中）三角形的三个内角( )
∴∠ABC=60°，
∵BD 为∠ABC 平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°， ∵∠BDC 为△ABD 外角， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°， 故选 A 【名师点拨】此题主要考查了三角形的内角和外角的性质，解题关键是构造合适的角的和差关系，然后根据角平 分线的性质求解即可. 变式 3-3．（2018·达州市期末）已知 AD、AE 分别为△ABC 的角平分线、高线，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADB
A．75°
B．60°
C．45°
D．40°
【答案】C
【提示】利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】因为三角形内角和为 180°，且∠A = 60°，∠B = 75°，所以∠C=180°–60°–75°=45°.
【名师点拨】三角形内角和定理是常考的知识点.
变式 4-1．（2019·淄博市期中）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处， 它以每小时 40 海里的速度
A．118°
B．119°
C．120°
D．121°
【答案】C
【解析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的
内角和定理得结果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD 是∠B、∠C 的平分线，
1
1
∴∠CBE=2∠ABC，∠BCD=2∠BCA，
【提示】根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据平行线的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵AB⊥l3，
∴∠ABC=90°，
∵∠1＜30°
∴∠ACB=90°-∠1＞60°，
∴∠2＜120°，
∵直线 l1∥l2，
∴∠3=∠ABC＞60°，
∴∠4-∠3=180°-∠3-∠3=180°-2∠3＜60°，
2∠3＞∠4， 故选 D．
向正北方向航行，2 小时后到 达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的 距离为
A．40 海里 【答案】D
B．60 海里
C．70 海里
D．80 海里
【解析】提示：依题意，知 MN＝40 海里/小时×2 小时＝80 海里， ∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°， ∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°． ∴NP＝NM＝80 海里．故选 D． 变式 4-2．（2020·玉林市期末）如图所示，一个 60o 角的三角形纸片，剪去这个 600 角后，得到 一个四边形，则么
故选 A．
变式 2-4．（2020·吕梁市期中）如图，直线 l1, l2 被直线 l3 所截，且 l1 l2 ，过 l1 上的点 A 作 AB⊥ l3 交 l3 于点 B，其
中∠1＜30°，则下列一定正确的是(
)
A．∠2＞120°
B．∠3＜60°
C．∠4－∠3＞90° D．2∠3＞∠4
【答案】D
故选 D．
【名师点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是
解题的关键．
变式 2-2．（2018 定西市期末）如图，直线 a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2 的
度数为( )
A． 20
【答案】B
B． 25
C． 30
∠BDC 的度数是（ ）
A．76°
B．81°
C．92°
D．104°
【答案】A
【提示】根据三角形的内角和为 180°，可得∠A+∠C+∠ABC=180°，然后根据△ABC 中，∠A＝46°，∠C＝74°，
求得∠ABC=60°，然后根据角平分线的性质，可得∠ABD=30°，再根据三角形的外角性质，可得
∠BDC=∠A+∠ABD=76°. 【详解】∵△ABC 中，∠A=46°，∠C=74°，
2020-2021 学年人教版初二数学上册期中考点专题 03 三角形有关的角
重点突破 知识点一 三角形的内角 内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 【备注】 1.在同一个三角形中：等角对等边； 2.等边对等角；大角对大边； 3.大边对大角。 4.等角的补角相等，等角的余角相等。 三角形的内角构成：
故选 A．
【名师点拨】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是 180°．
变式 1-2．（2020·毕节市期末）如图，点 D 在△ABC 内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A 的度数为（ ）
A．50°
B．60°
C．65°
D．75°
【答案】C
【提示】根据三角形的内角和即可求出.
【详解】在△BCD 中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，
∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，
∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.
故选 C.
【名师点拨】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的140°
D．无法确定
【答案】C
【提示】根据三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据
∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB 的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC 的度 数． 【详解】解：在△ABC 中， ∵∠A＝120°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°， 又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，
2 ∴∠DBC+∠DCB＝ 3 ×60°＝40°，
∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°. 故选 C． 【名师点拨】此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是 180°． 考查题型四 三角形内角和定理的应用 典例 4．（2020·怀集县期末）一个缺角的三角形 ABC 残片如图所示，量得∠A＝60°，∠B＝75°，则这个三角形残 缺前的∠C 的度数为（ ）
1 ∴∠BAD= 2 ∠BAC=40°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-40°=100°， 故选 D． 【名师点拨】考查了三角形内角和定理的应用，能求出∠BAD 的度数是解此题的关键． 变式 3-4．（2019·重庆市期中）如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3 和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】A
【详解】试题提示：利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到
∠1=∠A=35°．
解：如图，∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°．
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠B=55°，
∴∠A=35°． 又 CD∥AB，
∴∠1=∠A=35°．
A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
【答案】B
【解析】详解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°． 故选 B．
变式 2-1．（2020·沈阳市期末）如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B
变式 1-3．（2020·黄冈市期末）等腰三角形的一个内角为 50°，它的顶角的度数是（ ）
A．40°
B．50°
C．50°或 40°
D．50°或 80°
【答案】D
【提示】根据 50°是顶角的度数或底角的度数分类讨论，然后结合三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】解：①若顶角的度数为 50°时，此时符合题意；
1
∴∠CBE+∠BCD=2（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选 C．
变式 3-1．（2019·河东区期中）如图，BO、CO 是∠ABC、∠ACB 的平分线，∠BOC=120°，则∠A=(
)
A．60°
B．120°
C．110°
D．40°
【答案】A
【解析】试题解析：因为 OB、OC 是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
知识点二 三角形的外角 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 三角形的外角与内角的关系： 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 考查题型
D． 35
【提示】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角 互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图，
由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°． 故选：B． 【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并 准确识图是解题的关键． 变式 2-3．（2020·金昌市期中）如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1 等于（ ）
A．至少有两个锐角
B．至少有一个直角
C．至多有两个钝角
D．至少有一个钝角
【答案】A
【提示】根据三角形的内角和是 180°判断即可．
【详解】解：根据三角形的内角和是 180°，知：三个内角可以都是 60°，排除 B；
三个内角可以都是锐角，排除 C 和 D；
三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角．