北师大版高中数学选修3-1实数集的基数练习

实数集的基数练习
1．集合论的创始人是( )
A．美国人B．英国人C．俄国人D．德国人
2．康托指出了有理数和无理数的一个重要区别是( )
A．无理数集是有理数集的补集
B．有理数集和无理数集都是无穷集合
C．有理数集是可数的，无理数集是不可数的
D．有理数集的基数大于无理数集的基数
3．康托在用反证法证明实数集合是不可数的时，构造了一个不在序列中的数b，这种构造方法是( )
A．康托归谬法B．康托区间套法
C．康托斜线法D．康托对角线法
4．如果集合A与集合B的某个子集是对等的，而不与B对等，则( )
A．集合A的数量有可能等于集合B的数量
B．集合A的数量有可能多于集合B的数量
C．集合A的数量一定少于集合B的数量
D．集合A的数量与集合B的数量无法比较大小
5．1873年11月29日到12月7日这短短的几天里，康托给数学家________写了两封信，奠定了无限理论的基础．
6．如果一个集合的整体可以与它的一部分建立一一对应关系，则该集合一定是________集合．
7．若A1，A2是可数集，证明：A1∪A2也是可数的．
8．证明：实数集上的任何开区间(a，b)(a＜b)都不可数．
9．0与1之间满足下述条件的实数：它们的十进制小数表示中只有1,2,3,4,5,6,7，而不含其他数字，例如：0.314265743…，0.1467321754…，0.4567733215…，等等．证明：所有这样实数的集合是不可数的．
10．上网搜集并整理数学家戴德金的生平资料．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：D
4．答案：C
5．答案：戴德金
6．答案：无限
7．证明：设A1＝{a11，a12，a13，…}，
A2＝{a21，a22，a23，…}，
按a11→a21→a12→a22→a13→a23→…排序后，分别对应1,2,3,4,5,6，…也可用下图表示：如果A1与A2中的元素有重复，则去掉重复的元素再按照上述规则数下去，则可得到A1∪A2和Z＋的一个一一对应关系，所以A1∪A2也是可数的．
8．证明：首先建立(0,1)到(a，b)的一一对应．令对应法则f：x→y＝(b－a)x＋a，按照对应法则f，对于(0,1)内的任一元素x，在(a，b)中都有唯一的一个元素y＝(b－a)x＋a 与之对应，反之，对于(a，b)内的任一元素y，按照对应法则f，在(0,1)内存在唯一的元素x与之对应．
故(0,1)与(a，b)对等，因为(0,1)是不可数的，所以(a，b)也是不可数的．
9．证明：假设满足条件的实数是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，
b＝0.b1b2b3…，其中b i＝
3,3, 4, 3.
ii
ii
a
a
≠⎧
⎨
=⎩
显然这样构造的实数满足上述已知条件．但是，
由于b1≠a11，所以b不同于序列中的第一个数0.a11a12a13…；
由于b2≠a22，所以b不同于序列中的第二个数0.a21a22a23…；
同样的方法，数b不同于序列中的任何一个数，这与假设该集合可数矛盾．所以满足条件实数的集合是不可数的．
10．答：参考材料如下：
戴德金(Dedekind，JuliusWilhelmRichard,1831—1916，德国数学家),1831年10月6日生于不伦瑞克，1916年2月12日卒于同地.1850年入格丁根大学，成为C.F.高斯的学生，1852年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识.1854年起在格丁根大学任讲师．在格丁根他与任教的P.G.L.狄利克雷和B.黎曼结为好友．后来狄利克雷和黎曼的全集都是由戴德金编辑的.1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教.1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书．
戴德金在数学上有很多新发现．不少概念和定理以他的名字命名．他的主要贡献有以下两个方面：在实数和连续性理论方面，他提出戴德金分割，给出了无理数及连续性的纯算术的定义.1872年，他的《连续性与无理数》出版，使他与G.康托、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人．在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论，将E.E.库默尔的理想数加以推广，引出了现代的理想概念，并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理．今天把满足理想唯一分解条件的整环称为戴德金整环．他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响．。