【吉林省长春市】2017届普通高中高三下学期第二次模拟考试数学(文)试卷

吉林省长春市2017届普通高中高三下学期第二次模拟考试
数学（文）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1．已知集合{}{}
0,1,2,|2,x
A B y y x A ===∈，则A B =I （ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}1,2,4
D ．{}1,4
2．已知复数1i z =+，则下列命题中正确的是（ ）
①z =1i z =-；③z 的虚部为i ；④z 在复平面上对应的点位于第一象限 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．下列函数中，既是奇函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ） A ．x
x
y e e -=+
B ．()ln 1y x =+
C ．sin y x
=
D ．1y x x
=-
4．圆()2
224x y -+=
关于直线3
y x =
对称的圆的方程是（ ） A
．(()2
2
14x y -+-=
B
．(
(
2
2
4x y -+=
C ．()2
2
24x y +-=
D ．(
)(2
2
14x y -+=
5．堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示．《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是（ ）
A ．25 500立方尺
B ．34 300立方尺
C ．46 500立方尺
D ．48 100立方尺
6．某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为（ ） A ．
1
4
B ．1
3
C ．
27
D ．38
7．在ABC △中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BCD
ABD
S S =△△（ ）
A ．
16 B ．1
3
C ．12
D ．
23
8．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
A ．1 008
B ．1 009
C ．2 016
D ．2 017
9．关于函数π2sin 314y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，下列叙述有误的是（ ）
A ．其图像关于直线4
x π
=-
对称
B ．其图像可由π2sin 14y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭图像上所有点横坐标变为原来的13倍得到
C ．其图像关于点11π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．其值域为[]1,3-
10．右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B ．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D ．平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
11．双曲线C 的渐近线方程为y x =，一个焦点为(0,F ，点)
A ，点P 为双曲线第一象
限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF △周长的最小值为（ ）
A ．8
B ．10 C
．4+ D
．3+12．已知定义域为R 的函数()f x 的图像经过点()1,1，且对任意实数12x x <，都有
()()2
1212f x f x x x ->--，
则不等式(
)
log 231331x
x
f ⎡⎤⎤-<--⎣⎦⎦的解集为（ ）
A ．()(),00,1-∞U
B ．()0,+∞
C ．(1,0)(0,3)-U
D ．(),1-∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．21
cos 152
-
=o _________． 14．已知实数,x y 满足10380,0
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪⎩
，则2y
z x =+的最大值为_________．
15．将1，2，3，4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为_________．
16．已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E
，
1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为_________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程．
17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()
113
,312
n n a a a n N *+==-∈．
（1）若数列{}n b 满足1
2
n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的前项和.n S
18．（本题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．
（1）完成列22⨯联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？
（()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++）
19．（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC △是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面,1BCD AD =
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离．
20．（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切．
（1）求该抛物线的方程；
（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，使得
2
2
11AM
BM
+
为定值．如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）已知函数()()2
11ln ,.2
f x x a x a x a R =
+--∈ （1）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （2）若()f x 存在两个不同的零点，求证：e
2
a >
（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．
22．【选修4—4：极坐标与参数方程】（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为
()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数），π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为,A B ，()1,0P ，当7
2
PA PB +=时，求cos α的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本题满分10分）
（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a b a b ≥．。