对数的概念(第一课时)

对数概念及其运算
定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 即 N a b
=，那么就称b 是以a 为
底 N 的对数，记作 b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

●对数式log a N 的理解
⑴是一种运算：已知底a 和幂N 求指数的运算，即求关于x 的方程x
a N =的解 ⑵是一个记号：用和幂N 表示对应的指数的记号，是指数式x
a N =的另一种等价表示形式log a N x =
●⑴底a 的要求大于零不为1。

⑵负数与零没有对数（∵在指数式中0N >） ⑶01log =a ，1log =a a 三、讲解范例：
例1．将下列指数式改写成对数式：
⑴4
216=； ⑵3
13
27
-=
； ⑶520a
=； ⑷1()0.452
b
=
例2．将下列对数式改写成指数式：
⑴5log 1253=； ⑵
log
32=-； ⑶10log 1.699a =-
●常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

简记作lg N b =。

自然对数：以无理数 2.71828e =……为底的对数叫自然对数，简记作ln N b =。

例3．求下列各式的值：
⑴2log 64； ⑵27log 9 例4．求下列各式中的x
⑴82log 3x =-
⑵3
log 274
x = ⑶23log (log )1x = ⑷5log (ln )0x =
●
对数的运算性质 （a>0,a=1，M>0,N>0）
()
()()
=+=-=∈a a a a a a n a a log (MN)log M log N 1M log log M log N 2N
log M nlog M(n R)3
N a N a =log （4） 如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log
例1 计算（1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （7
4×5
2）， （4）lg 5100
例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：3
2log )2(;
(1)log z
y
x z
xy a
a .
例3计算：(1)lg14－2lg 37+lg7－lg18 (2)9lg 243lg (3)2
.1lg 10lg 38lg 27lg -+ 对数的换底公式及其推论
a
N N m m a log log log =
1l o g l o g =⋅a b b a b m n b a n
a
m l o g l o g = 例1 已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 例2计算：①0.21log 3
5
- ② 4
2
1
9432log 2log 3log -⋅.
例3设),0(,,+∞∈z y x 且z
y x 643== 1︒ 求证
z
y x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小.
例4已知a log x=a log c+b ，求x. 练习：
①已知 18log 9 = a , b
18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 ②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5
对数运算练习
1．若0)](log [log log )](log [log log )](log [log log 324243432===z y x ，则=++z y x 。

2．计算下列各式： (1)=+-
)347(log )
32( (2)=-++)3232(log 6
3．(1)已知,8123==y x 则y
x 1
1-= , 4．化简下列各对数式：
(1)
c
c
b a a a log 1log log ++= (2)a
b a
c c c a
log log log -=
(3)23)2(lg 8000lg 5lg +⋅= (4)42938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++=
(5)12527
lg 81lg 6log 2+⋅= (6)15
log 45log )3(log 515215+=
(7)2
)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+= (8)x x x x
x x x lg lg 21
lg )lg(lg lg )lg(lg )lg(lg )(lg 2
222+⋅⋅= (9)=⋅++++n n n 32log )3log 27log 9log 3(log 92842 5．已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ，求3
3
3b a ab ++ 6．已知)1(log log log 2≠+=x x x x c a b ，求证：b a c b c
log 2
⋅=
7．已知)2lg(lg lg )2lg(33y x y x y x +++=+，求值
y
x y
x -+32 8．已知222222log log log log )(log )(log ay ax x a y x a a a x a a +=⋅++，求)(log xy a 9．已知m =35log 5，求4.1log 7 10．已知b a ==4log ,7log 36，求7log 12 11．已知,518,9log 18==b a 求45log 36 12．已知,15533515c b a ==求ac bc ab 35--
13．已知,0lg lg lg =++z y x 求y
x x
z z
y z
y x
lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1lg 1+++⋅⋅的值。

14．已知z
y
a a a
y a x log 11log 11,--==，求证：x
a a
z log 11-=
15.126
626log log =+x x
x
16.04
5
55log )5(log 2=+
+x x 17.13log log 29=+x x 18.)99(2
122log 925252
25log )1(log 2
log x
x x -=++ 19. 化简：
（1）222
lg5lg8lg5lg20(lg2)3
+++；（2）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
20. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++，求x
y
的值．
21. 2
5()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A ．－a
B ．a 2
C ．｜a ｜
D ．a
22. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则1
2
x =（ ）.
A. 3
B.
C.
D.
23. 已知35a b m ==，且11
2a b
+=，则m 之值为（ ）.
A ．15
B
C ．
D ．225
24. 若3a ＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 . 25.
3log 9log 28的值为（ ）。

A ．2 B ．12 C ．2
3
D ．32 26. 计算: （1） log 2.56.25＋lg 100
1＋ln e ＋3
log 122+ （2）lg25+lg2lg50+(lg2)2 27.
如果log 7［log 3（log 2x ）］＝0，那么2
1-x 等于（ ） A ．3
1
B ．
3
21 C ．
2
21 D ．
3
31。