(青海专版)中考数学复习 第1编 教材知识梳理篇 第2章 方程(组)与不等式(组)第3节 分式方程及

第三节分式方程及应用
,某某五年中考命题规律)
年份题型题号考查点考查内容分值总分
2017解答22
分式方程的
解法左边分母含
有互为相反
数的因式，
右边是1个
常数项
5 5
2016选择18
分式方程的
应用以乘坐高铁
列车与乘坐
普通快车为
背景，列分
式方程
3 3
2015选择16
分式方程的
应用以加工零件
为背景列分
式方程
3 3
2014填空 4
分式方程的
解法分式方程两
边分别为一
个分式，异
分母，且分
子为常数
2 2
2013
填空 2
分式方程的
解法等号两边分
别为一个分
式，同分
母，且左边
还含常数
项，左边的
分子含未知
数，右边分
2
,某某五年中考真题)
分式方程的解法
1．(2013某某中考)分式方程x －3x －2＋1＝3
2－x 的解是__x ＝1__.
2．(2014某某中考)方程2x ＋3＝1
x －1的解是__x ＝5__．
3．(2017某某中考)解分式方程：2x 2－4－x
2－x ＝1.
解：去分母，得2＋x(x ＋2)＝(x ＋2)(x －2)， 去括号，得2＋x 2
＋2x ＝x 2
－4， 移项、合并同类项，得2x ＝－6， 系数化为1，得x ＝－3，
检验：将x ＝－3代入(x －2)(x ＋2)，得 (－3－2)×(－3＋2)＝5≠0， 所以x ＝3是原方程的解．
分式方程的应用
4．(2016某某中考)穿越某某境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿线甲、乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4 h 到达．已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160
km /h .设普通列车的平均行驶速度为x km /h ，依题意，下面所列方程正确的是(B )
A .480x ＋160－480x ＝4
B .480x －480
x ＋160＝4 C .
480x －480x －160＝4 D .480x －160－480x
＝4 5．(2015某某中考)甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个，设甲每天完成x 个零件，依题意，下面所列方程正确的是(A )
A .
120x ＝100x －4B .120x ＝100x ＋4
C.120
x－4
＝
100
x
D.
120
x＋4
＝
100
x
6．(2013某某中考)几名同学准备参加“大美某某”旅游活动，包租一辆面包车从某某前往某某湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学，结果每个同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x人，则可列方程为(A)
A.240
x
－
240
x＋4
＝10 B.
240
x＋4
－
240
x
＝10
C.240
x
－
240
x－4
＝10 D.
240
x－4
－
240
x
＝10
,中考考点清单) 分式方程的概念
1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．
【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．
分式方程的解法
2．解法步骤
(1)去分母：给方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)__检验__．
【温馨提示】找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
3．检验方法
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__．
【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
分式方程的应用
4．列分式方程解应用题的六个步骤
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)检：双检验．A.检验是否是分式方程的解；B.检验是否符合实际问题；
(6)答：写出答案．
5．常见关系
分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．
如：工作时间＝__工作量
工作效率__，时间＝__
路程
速度
__．
【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．
,中考重难点突破)
分式方程的概念及解法
【例1】(2017眉山中考)解方程：1x －2＋2＝1－x
2－x
.
【解析】方程两边都乘以x －2得出1＋2(x －2)＝x －1，求出方程的解，再进行检验即可．
【答案】解：方程两边都乘以x －2得：1＋2(x －2)＝x －1，解得x ＝2，检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以x ＝2不是原方程的解，即原方程无解．
1．(2017滨州中考)分式方程x x －1－1＝3
（x －1）（x ＋2）
的解为(C )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．无解
D ．x ＝－2
2．(2017某某中考)已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1
x
＝2的解，那么实数k 的值为(D )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
3．解方程：1x －2－4
x 2－4
＝1.
解：去分母，得x ＋2－4＝x 2
－4，解得x 1＝2，x 2＝－1.经检验：x 1＝2是增根，舍去，x 2＝－1是原方程的根，∴原方程的根为x ＝－1.
4．解分式方程：x x －1＋2
1－x
＝4.
解：去分母，得x －2＝4(x －1)，解得x ＝2
3.
经检验：x ＝2
3是原方程的根．
含参数的分式方程
【例2】(2018原创)若分式方程x x －1－m
1－x
＝2有增根，则这个增根是________．
【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，由分母x －1＝0，得x ＝1，这就是方程的增根．
【答案】x ＝1
5．若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m
3－x
＝3的解为正数，则m 的取值X 围是(B )
A ．m ＜92
B ．m ＜92且m≠32
C ．m ＞－94
D ．m ＞－94
且m≠－14
6．(龙东中考)关于x 的分式方程m x 2－4－1
x ＋2
＝0无解，则m ＝__0或－4__．
分式方程的应用
【例3】(2018原创)某某市某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300 kg .如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 kg 按售价的八折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元； (2)超市销售这种干果共盈利多少元？
【解析】(1)根据第二次购进的干果数量是第一次的2倍还多300 kg 列出方程，并求解即可；(2)分别计算出按9元出售的销售额和按八折部分出售的销售额，从而求出总销售额，再减去两次购进的总成本即为所求．
【答案】解：(1)设该种干果的第一次进价是每千克x 元，则第二次进价是每千克(1＋20%)x 元． 由题意，得9 000（1＋20%）x ＝2×3 000
x ＋300，解得x ＝5，
经检验，x ＝5是方程的解，
即该种干果的第一次进价是每千克5元； (2)⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3 0005＋9 0005（1＋20%）－600×9＋600×9×80%－(3 000＋9 000)＝5 820(元)．
故超市销售这种干果共盈利5 820元．
7．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬多少千克货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为(B )
A .
5 000x －600＝8 000x B .5 000x ＝8 000
x ＋600
C .
5 000x ＋600＝8 000x D .5 000x ＝8 000
x －600
8．(2017某某中考)某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一家商店买同一样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是(D )
A .240x －20－120x ＝4
B .240x ＋20－120
x ＝4 C .
120x －240x －20＝4 D .120x －240x ＋20
＝4 9．(2017日照中考)某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米，自2013年初开始实施后，，这样可提前4年完成任务．
(1)实际每年绿化面积是多少万平方米？
(2)为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
解：(1)设原计划每年绿化面积为x 万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x 万平方米． 根据题意，得360x －3601.6x ＝4，，
经检验，x ，
则1.6x ＝1.6×33.75＝54(万平方米)． 答：实际每年绿化面积为54万平方米； (2)设平均每年绿化面积增加a 万平方米． 根据题意，得54×3＋2(54＋a)≥360，解得a≥45. 答：至少每年平均增加45万平方米．
10．某工程队修建一条长1 200 m 的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务． (1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米；
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x m . 则
1 200x ＝ 1 200
（1＋50%）x
＋4，解得x ＝100， 经检验，x ＝100是原方程的解；
答：这个工程队原计划每天修建道路100 m ； (2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加n. 则
1 200100－ 1 200100（1＋n ）
＝2， 解得n ＝1
5＝20%.经检验，n ＝20%是原方程的解．
答：实际工效比原计划增加百分之二十．
11．(2017某某中考)某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．
(1)排球和足球的单价各是多少元？
(2)若恰好用去1 200元，有哪几种购买方案？
解：(1)设排球的单价为x 元，则足球的单价为(x ＋30)元． 由题意，得500x ＝800
x ＋30
，解得x ＝50，
经检验，x ＝50是原分式方程的解，则x ＋30＝80. 答：排球的单价是50元，则足球的单价是80元；
(2)设恰好用完1 200元，可购买排球m 个和购买足球n 个． 由题意，得50m ＋80n ＝1 200，整理，得m ＝24－8
5n ，
∵m ，n 都是正整数，
∴①n ＝5时，m ＝16；②n＝10时，m ＝8； ∴有两种方案：①购买排球5个，购买足球16个； ②购买排球10个，购买足球8个．。