2024届邯郸第三次调研数学试卷含答案

邯郸市2024届高三年级第三次调研考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1
已知集合
}2
M
=≤，{}23N x x −<<，则M N ∩=
（ ）
A. {}
04x x ≤≤ B. {}
24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}
04x x ≤<
2. 若复数(1)i
2i
a a z +−=
+纯虚数，则实数=a （ ）
A. 2−
B. 1
3− C. 13 D. 2
3. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线，则3a b −=
（ ）
A. (1,10)
B. (5,10)
C. (5,2)
D. (1,2)
4. 在6
32x x −
的展开式中，21x 的系数为（ ）
A. 192−
B. 6−
C. 6
D. 192
5. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等，且14a ，31
2a ，23a 成等差数列，则
2021202320202022
a a a a −=−（ ） A 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，(,)P x y 为抛物线上一动点，点(6,3)A ，则PAF △周长的最小值为（ ） A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
.为.
7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)()f x f x +=
，且()f x 在[1,0]−上单调递减，若()3log 45a f =，()5log 8b f =
−，43c f
=
，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c<a<b
D. b<c<a
8. 已知在四面体ABCD 中，AB BC CD DA BD ====，二面角A BD C −−的大小为
π
3
，且点A ，B ，C ，D 都在球O 的球面上，M 为棱AC 上一点，N 为棱BD 的中点．若MO CN λ=
，则λ=（ ） A
1
3
B.
49
C.
59
D.
23
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线22
:163x y C λλ
−=+−，则（ ）
A. λ的取值范围是(6,3)−
B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上
C. C 的焦距为6
D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)
10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCD F −−的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶点
B. 共有36条棱
C.
表面积为6+
D.
体积为11. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c
)22
2a c b +−，则下列说法正确的是（ ）
.
A. cos cos A C 的取值范围是11,24
−
B. 若D 为边AC 中点，且1BD =，则ABC
C. 若ABC 是锐角三角形，则
a c 的取值范围是1,22
D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E
，且BE =，则4a c +的最小值为10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个(0)ωω>，使得函数
π()sin 23f x x ω
=+
的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为__________．
13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X ，则()E X =__________．
14. 记min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中最小的数．设0a >，0b >，则11min ,,3a b b a
+
的最大值为
__________．
四、解答题：本题共577分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知217S =，57n S n +
是公差为1
2的等差数列．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y /千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； （2）求y 关于x 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
的
参考数据：
5
1
24.5i i
i x y
==∑，()5
2
1 1.26i i y y =−=
∑
3.55≈． 参考公式：相关系数
r =
ˆy bx a =
+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==−−=−∑∑，ˆˆa y bx
=−． 17. 在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，
224AB BC CD ===，5PC =，E 为棱AB 的中点，且CE PE ⊥．
（1）求四棱锥P ABCD −的高； （2）求二面角B PC E −−的正弦值．
18. 已知椭圆22
22:1(0,0)
x y E a b a
b +=>>经过P
，31,2Q − 两点． （1）求E 的方程；
（2）若圆221x y +=的两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．
19. 已知函数(
)2
()e x f x x ax =
−，a ∈R ．
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．
（2）已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ，其中1>0x ，20x >． （i ）求
a 的取值范围； （ii ）求证：124x x +>．
邯郸市2024届高三年级第三次调研考试
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．回答非选择题时，将写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的．
1.
已知集合
}2
M
=≤，{}23N x x −<<，则M N ∩=
（ ）
A. {}
04x x ≤≤ B. {}
24x x −<≤ C. {}03x x ≤< D. {}
04x x ≤<
【答案】C 【解析】
【分析】化简集合M .
详解】}{}204M
x x =≤=
≤≤，{}23N x x −<<，所以{}03M N x x ∩=≤<．
故选：C. 2. 若复数(1)i
2i
a a z +−=+为纯虚数，则实数=a （ ）
A. 2−
B. 1
3− C. 13
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】利用复数的四则运算化简z ，再利用复数的分类即可得解. 【详解】因为(1)i [(1)i](2i)312i 2i (2i)(2i)55a a a a a a z
+−+−−−−==+++−， 又z 为纯虚数，所以31020
a a −= −≠ ，解得1
3a =.
故选：C.
【
3. 已知向量(,2)a m = 与(2,4)b =−− 共线，则3a b −=
（ ）
A. (1,10)
B. (5,10)
C. (5,2)
D. (1,2)
【答案】B 【解析】
【分析】根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.
【详解】因为//a b
，所以(4)2(2)m −×=×−，解得1m =，
所以33(1,2)(2,4)(5,10)a b −=−−−=
． 故选：B.
4. 在6
32x x −
的展开式中，21x 的系数为（ ）
A. 192−
B. 6−
C. 6
D. 192
【答案】A 【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】6
32x x −
的展开式的通项为()()()36184166
C 22C r r r r r r r
r T x x x −−−+=−=−， 令1842r −=−，得=5r ， 所以
2
1
x 的系数为326192−×=−． 故选：A .
5. 已知等比数列{}n a 的各项互不相等，且14a ，31
2a ，23a 成等差数列，则
2021202320202022
a a a a −=−（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D 【解析】
【分析】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±，根据等差中项的性质及等比数列通项公式得到方程求出q ，即可得解.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为(1)q q ≠±，
因为14a ，31
2
a ，23a 成等差数列，所以12343a a a +=
，即211143a a q a q +=，
所以2340q q −−=，解得4q =或1q =−（舍去）
， 所以
20212023202020222020202220202022
4a a a a q q
q a a a a −−===−⋅⋅−．
故选：D
6. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，(,)P x y 为抛物线上一动点，点(6,3)A ，则PAF △周长的最小值为（ ） A. 13 B. 14
C. 15
D. 16
【答案】A 【解析】
【分析】过P 及A 作准线垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为PQ PA AF ++的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.
【详解】由题知(2,0)F ，准线方程为2x =−.如图，过P 作准线的垂线，垂足为Q ， 过A 作准线的垂线，垂足为B ，
所以PAF △的周长||||||||||||||||8513PF PA AF PQ PA AF AB AF =
++=++≥+=+=， 当P 为AB 与抛物线的交点P ′时等号成立，即PAF △周长的最小值为13.
故选：A
7. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)()f x f x +=
，且()f x 在[1,0]−上单调递减，若()3log 45a f =，()5log 8b f =−，43c f =
，则（ ）
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c<a<b
D. b<c<a
【答案】B
的
【解析】
【分析】首先得()f x 在[1,2]上单调递减，进一步通过偶函数性质以及(2)()f x f x +=
将自变量都转换到区间[1,2]内，然后比较分数指数幂以及对数的大小，结合函数单调性即可得解.
【详解】因为()f x 是偶函数，(2)()f x f x +=
，()f x 在[1,0]−上单调递减， 所以()f x 在[1,2]上单调递减．()()()333log 452log 5log 5a f f f =
=+=，()()55log 8log 8b f f =−=，
因为345125381>，3485125625<，所以4
353>，4
385<， 所以534
1log 8log 523
<<
<<， 所以()()534log 8log 53f f f
>>
，故a c b <<． 故选：B.
8. 已知在四面体ABCD 中，AB BC CD DA BD ====，二面角A BD C −−的大小为
π
3
，且点A ，B ，C ，D 都在球O 的球面上，M 为棱AC 上一点，N 为棱BD 的中点．若MO CN λ=
，则λ=（ ） A.
1
3
B.
49
C.
59
D.
23
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意和几何关系，并在ACN △所在平面内建立平面直角坐标系，确定点,O M 的位置和坐标，即可求解.
【详解】由题意知ABD △与BCD △均为等边三角形，连接AN ，CN ，则AN BD ⊥，CN
BD ⊥，
ANC ∠是二面角A BD C −−的平面角，
所以π
3
ANC ∠=，又易知AN CN =，所以ACN △是等边三角形．
设P 为BCD △的外心，Q 为CN 的中点，连接,,OP ON AQ ，则点O ，P ，Q 都在平面ACN 内，建立平面直角坐标系如图．
设2AN NC AC ===，则23NP =，π6ONP ∠=，所以OP =
又AQ =29
OP AQ =
，因为//MO CN ，易知2
9CM CA =，
则23O ，169M ，从而109MO =，5
9OM CN λ==．
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得60分． 9. 已知双曲线22
:163x y C λλ
−=+−，则（ ）
A. λ的取值范围是(6,3)−
B. C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上
C. C 的焦距为6
D. C 的离心率e 的取值范围为(1,3)
【答案】AC 【解析】
【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得63λ−<<，判断方程中分母的符号即可判断A,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.
【详解】对于A ，22
163x y λλ
−=+− 表示双曲线，(6)(3)0λλ∴+−>，解得63λ−<<，故A 正确；
对于B ，由A 项可得63λ−<<，故60,30λλ+>−>，C ∴的焦点只能在x 轴上，故B 错误； 对于C ，设C 的半焦距为(0)c c >，则2639c λλ=++−=，3c ∴=，即焦距为26c =，故C 正确；
对于D
，离心率e =，63λ−<<
，03∴<<，e ∴的取值范围是(1,)+∞，故D 错误． 故选：AC .
10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体E ABCD F −−的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶点
B. 共有36条棱
C.
表面积为6+ D.
体积为【答案】BD 【解析】
式，可得答案.
详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A 错误，B 正确； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
故该多面体的表面积为1
618611sin 6062
×+××
×××=+ ，故C 错误； 正八面体E ABCD F −−可分为两个全等的正四面体，其棱长为3， 过E 作EO ⊥平面ABCD 于O ，连接AO ，如下图：
因为EO ⊥平面ABCD ，且OA ⊂平面ABCD ，所以OE OA ⊥，
【
正方形ABCD 中，由边长为3，则对角线长为，则OA =
在Rt AOE △中，EO ，则2EF OE ==，
正八面体E ABCD F −−的体积为2
133
××，
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为21
613××
所以该阿基米德多面体的体积为，故D 正确． 故选：BD.
11. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c )22
2a c b +−，则下列说法正确的是（ ）
A. cos cos A C 的取值范围是11,24
−
B. 若D 为边AC 的中点，且1BD =，则ABC
C. 若ABC 是锐角三角形，则
a c 的取值范围是1,22
D. 若角B 的平分线BE 与边AC 相交于点E ，且BE =，则4a c +的最小值为10 【答案】ABC 【解析】
【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得π
3
B =
，对A ：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B ：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C ：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D ：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知)
22
21
sin 2
S
ac B a c b ==+−，整理得222sin a c b B +−，
由余弦定理知2222cos a c b ac B =+−，tan B ∴，()0,πB ∈ ，π3
B ∴=．
对A ，22π1
cos cos cos cos cos cos 32
A C A A A A A =−=−
1cos 21π12sin 24264
A A A +
−=−− ，
2π0,3A ∈ ，ππ7π2,666A ∴−∈− ，π1sin 2,162A
∴−∈− ，
cos cos A C ∴的取值范围为11,24
−
，故A 正确；
对B ，D 为边AC 的中点，2BD BC BA ∴=+
， 则2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥
，
4
3
ac ∴≤
，当且仅当a c =时，等号成立，
1
4sin 23ABC S ac B ∴=
=≤=△B 正确； 对于C
，2πsin sin 13sin sin 2
C a A c C C
−
==
=，
ABC 是锐角三角形，ππ
62
C ∴
<<，
tan C ∞ ∴∈+
，1,22a c ∴∈ ，故C 正确； 对于D ，由题意得ABE BCE ABC S S S +=
△△△， 即
1π1π1π
sin sin sin 262623
c BE a BE c a ××+××=××， 整理得a c ac +=
，即11
1a c
+=，
1144(4)559c a a c a c a c a c
∴+=++=++≥+=
，
当且仅当2a c =时，等号成立，故D 错误． 故选：ABC .
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 写出一个(0)ωω>，使得函数
π()sin 23f x x ω
=+
的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为__________． 【答案】π
3
（答案不唯一） 【解析】
【分析】利用正弦函数的对称性与周期性得到关于ω的方程，解之即可得解.
【详解】因为
π()sin 23f x x ω
=+
的图象关于点(1,0)对称， 所以πsin 203ω +
=
，则π
2π(Z)3k k ω+=∈，故ππ(Z)26
k k ω=−∈， 又0ω>，所以π3
ω=
，5π6，4π
3，…．.
故答案为：
π
3
（答案不唯一）. 13. 从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X ，则()E X =__________． 【答案】8 【解析】
【分析】由题意分析离散型随机变量X 的所有取值，求出概率分布列计算期望即可． 【详解】从分别写有数字1,2,3,5,9的5张卡片中任取2张卡片的所有10种结果中，
()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,5,1,9,2,3,2,5,2,9,3,5,3,9,5,9，
2张卡片上的数字之和分别为：3,4,5,6,7,8,10,11,12,14，
(3)(4)(5)(6)(7)(8)
1
(10)(11)(12)(14)
10
P X P X P X P X P X P X P X P X P X P X =================== 所以1
()(34567810111214)810
E X ×+++++++++． 故答案为：8
14. 记min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中最小的数．设0a >，0b >，则11min ,,3a b b a
+
的最大值为
__________．
【答案】2 【解析】
【分析】分a 是否大于
1b 进行讨论，由此即可简化表达式，若1a b ≤，则可以得到1min ,32a b a
+≤
，
并且存在2a =，12b =
，使得1min ,32a b a +=
，，同理1
a b >时，我们可以证明
11min ,,32a b b a
+<
，由此即可得解.
【详解】若1a b ≤
，则1ab ≤，此时111min ,,3min ,3a b a b b a a
+=
+
， 因为13134a b ab a
+=
+≤
，所以a 和13b a +中至少有一个小于等于2， 所以1min ,
32a b a
+≤
，又当2a =，12b =时，1132a b b a ==+=，
所以11min ,,
3a b b a
+
的最大值为2．
若1a b >
，则1ab >，此时111min 3min ,3b b a b a
+=
+
， 因为111
334b b a ab
+=+<
，所以1b 和13b a +中至少有一个小于2， 所以11min ,,
32a b b a
+<
．
综上，11min ,,3a b b a
+
的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分a 是否大于
1
b
进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知217S =，57n S n +
是公差为1
2的等差数列．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）51n
a n =+ （2）n T 6(56)
n
n =+
【解析】
【分析】（1）由题意首先得
21527S =×+结合57n S n +
是公差为1
2的等差数列可求得(57)2n n S n =+，根
据,n n a S 之间的关系即可进一步求解；
（2）首先得
11155156n b n n
=− ++
，由裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为217S =，所以
2
1527
S =×+，
所以
11(2)5722n
S n n n =+−×=+，即(57)2
n n S n =+． 当2n ≥时，11
(57)(52)5122
n n n n n a S S n n n −−=−=+−+=+， 又111
(57)62
a S ==
+=适合上式， 所以51n
a n =+． 【小问2详解】
1111(51)(56)55156n
b n n n n
==− ++++ ，
故1111111561111165156n
T n n
=−+−++− ++
1115656n
−
+ 6(56)
n n =+． 16. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y /千人
0.8 1 1.3 1.7 2.2
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； （2）求y 关于x 的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：
51
24.5
i i i x y ==∑，()5
2
1 1.26i i y y =−=
∑ 3.55≈． 参考公式：相关系数r =
ˆy bx a =
+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==−−=−∑∑，ˆˆa y bx
=−． 【答案】（1）证明见解析
（2）ˆ0.350.35y
x +，2.8千人．
【解析】
【分析】（1）求出,x y ，代入求出相关系数即可；
（2）根据公式求出ˆb
，再求出ˆa ，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可. 【小问1详解】 由题意知1(12345)35
x =
++++=，1
(0.81 1.3 1.7 2.2)
1.4
5y =++
++=，
()
5
2
1
4101410i
i x x =−=++++=∑，
所以5
5 3.5
0.9863.55x y
r =
≈≈， 因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． 【小问2详解】
()
5
1
5
2
1
5 3.5ˆ0.3510
i i
i i
i x y x y
b
x x ==−==
=−∑∑，ˆˆ 1.40.3530.35a y bx =−=−×=， 所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.350.35y x +．
当7x =时，ˆ0.3570.35 2.8y
=×+=， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．
17. 在四棱锥P ABCD −中，平面PCD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，
224AB BC CD ===，5PC =，E 为棱AB 的中点，且CE PE ⊥．
（1）求四棱锥P ABCD −的高； （2）求二面角B PC E −−的正弦值． 【答案】（1）3 （2
【解析】
【分析】（1）过A 作BC 的平行线，与CD 的延长线交于点O ，连接PO ，EO ，通过证明BC PO ⊥，
CE PO ⊥来证明PO 为四棱锥P ABCD −的高，从而求解；
（2）建立空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】
如图，过A 作BC 的平行线，与CD 的延长线交于点O ，连接PO ，EO ．
//AB CD ，AB BC ⊥，∴BC CD ⊥，
平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD
CD =，BC ⊂平面ABCD ，
∴BC ⊥平面PCD ，
PO ⊂平面PCD ，∴BC PO ⊥，
//AB CD ，∴//AB CO ， //AO BC ，AB BC ⊥，
∴四边形ABCD 为矩形，∴4CO AB =
=，
E 为棱AB 的中点，
∴CE OE ==，从而CE OE ⊥，
又因为CE PE ⊥，PE OE E = ，OE ⊂平面PEO ，PE ⊂平面PEO ，
∴CE ⊥平面PEO ， PO ⊂平面PEO ，∴CE PO ⊥，
BC CE C = ，BC ⊂平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，
∴PO ⊥平面ABCD ．
∴PO 为四棱锥P ABCD −
的高，即3PO ，
∴四棱锥P ABCD −的高为3；
【小问2详解】
由（1）知，OA ，OC ，OP 两两垂直，
∴以O 为坐标原点，OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则(0,0,3)P ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(2,2,0)E ，
所以(2,0,0)CB = ，(0,4,3)PC =− ，(2,2,0)CE
=− ， 设(,,)m x y z =
是平面PBC 的法向量，
则430,20,
m PC y z m CB x ⋅=−= ⋅== 可取(0,3,4)m = ， 设(,,)n p q r =
是平面PCE 的法向量，
则430,
220,
n PC q r n CE p q ⋅=−= ⋅=−= 可取(3,3,4)n = ，
所以cos ,||||
m n m n m n ⋅〈
〉==
， 所以二面角B PC E −−
.
18. 已知椭圆22
22:1(0,0)x y E a b a b +=>>
经过P
，31,2Q − 两点． （1）求E 的方程；
（2）若圆221x y +=两条相互垂直的切线12,l l 均不与坐标轴垂直，且直线12,l l 分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．
【答案】（1）22
143
x y +=．
（2）
24049
． 【解析】
【分析】（1）依据椭圆经过两点，将点的坐标代入椭圆方程，待定系数法解方程即可；
（2）设其中一条的斜截式方程，首先由直线与圆相切，得出直线的斜率与截距关系；再设而不求，用韦达定理表示出两条直线与椭圆相交的弦长，再利用条件知两弦垂直，故四边形ABCD 的面积
1
||||2
S
AC BD ⋅，利用弦长将面积表示成其中一条直线斜率的函数，利用函数求最值. 【小问1详解】
因为E
过点P ，31,2Q
− ， 所以22
222
31,2191,4a b a b += += 解得22
4,3.a b = = 故E 的方程为22
143
x y +=．
【小问2详解】
由题知12,l l 的斜率存在且不为0．
设1:(0)l y kx m k =
+≠． 因为1l 与圆221x y +=
1=，得221m k =+．
联立1l 与E 的方程，可得(
)2
2
23484120k
x
kmx m +++−=，
的
设()11,A x y ，()22,C x y ，则122834km x x k −+=+，2122
412
34m x x k
−=+．
所以
2
AC x =−==
将22
1m k =+
代入，可得AC =
．
用1k
−替换k
，可得BD =
四边形ABCD 的面积
1
2S AC BD =⋅=． 令21t k =
+，则(1,)t ∈+∞
，可得S
， 再令u
=(1,)
t ∈+∞，则52u ∈ ，可得2242424240
652649625
u S u u u ==≥=+++×，
即四边形ABCD 面积的最小值为240
49．
19. 已知函数(
)2
()e x f x x ax =
−，a ∈R ．
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程．
（2）已知关于x 的方程2()e x f x ax =−恰有4个不同的实数根1234,,,x x x x ，其中1>0x ，20x >． （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证：124x x +>． 【答案】（1）y x =
（2）（i ）2e ,4∞
+
；（ii ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出导数，继而可得切线斜率为在0x =的导数值，由(0)0f =，结合直线的点斜式，可求出切线方程；
（2）（i ）将问题转化为y a =与2(e )x g x x =有三个不同交点的问题，利用导数可求得2(e )x g x x
=的单调性和最值，从而得到2(e )x
g x x
=的图象，采用数形结合的方式可确定的范围； （ii ）设210x x >>，根据：121e x ax =，222e x ax =，采用取对数、两式作差整理的方式可得121
2
2ln x x x x −=，通过分析法可知只需证()112211212
2212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++即可，令12x t x =，(0,1)t ∈，构造函数2(1)()ln 1
t h t t t −=−+，利用导数可求得()h t 单调性，从而得到()(1)0h t h <=，由此可证得结论. 【小问1详解】
()
22()e e 2(1)e 3x x x f x ax x ax x ax =−+−=+−′， 所以()0101f =′−=
， 又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =．
【小问2详解】
（i ）由2()e x f x ax =−，得()2(1)e 0x x ax
+−=，该方程有一根为1−，且0x ≠， 所以2e 0x ax −=即2e x
a x
=有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为1−． 令2(e )x
g x x =，则32())(e x x x x
g −′=， 所以当(,0)x ∈−∞时，()0g x ′>，当(0,2)x ∈时，()0g x ′<，当(2,)x ∈+∞时，()0g x ′>，
所以()g x 在(,0)−∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．
又2
e (2)4
g =，且当x 无限趋近于−∞时，()0g x >且趋近于0， 当x 从0的左侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞，当x 从0的右侧无限趋近于0时，()g x 趋近于+∞， 当x 无限趋近于+∞时，e x 的增速远大于2x 的增速，所以()g x 趋近于+∞．
故()g x 的大致图象如图所示：
又2
1e (1)e 4g −=<，所以当2e 4
a >时，直线y a =与曲线()y g x =有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为1−，所以a 的取值范围为2e ,4∞ +
．
（ii ）由（i ）知121e x ax =，222e x ax =，所以11ln 2ln x a x =
+，22ln 2ln x a x =+， 所以1121222ln 2ln 2ln x x x x x x −=−=，则1212
2ln x x x x −=， 要证124x x +>，只需证()12121
2
2ln x x x x x x −+>， 不妨设210x x >>，所以1201x x <<，所以12ln 0x x <，则只需证()
1122112122
212ln 1x x x x x x x x x x − − <=++． 令12x t x =，则(0,1)t ∈，令2(1)()ln 1
t h t t t −=−+， 则当01t <<时，22
222
12(1)2(1)(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t t t h t t t t t t t +−−+−−′=−==>+++， 所以()h t (0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=
， 所以当(0,1)t ∈时，2(1)ln 1
t t t −<+恒成立，所以原不等式124x x +>得证. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数在某点处切线方程、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量12x t x =
，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于t
的不等式恒成立. 在。