结合全变差和分数阶全变差模型的图像去模糊

结合全变差和分数阶全变差模型的图像去模糊
罗广利;杨晓梅
【摘要】为从模糊图像中恢复出更多细节和纹理信息，提出一种基于结合全变差(TV)和分数阶全变差(FOTV)模型的数字图像去模糊方法。

用全局梯度提取法将模
糊图像分解成平滑区域、凸边和纹理3部分，用全变差模型约束平滑区域和凸边，用分数阶全变差模型约束细节部分，建立去模糊的凸优化模型，用变量分裂和交替方向法快速求解该模型。

实验结果验证了该模型和求解算法的有效性和快速性，给出了每组实验的PSNR和 SSIM值。

%To recover more details and textures from blurred image,an image deblurring method based on combining
total varia-tion and fractional-order variation models was presented.The blurred image was decomposed into constant regions,salient edges and details using a global gradient extraction scheme (GGES).The total variation model was applied to the constant regions and salient edges,and the fractional-order total variation model was applied to the details.A convex optimization model of image de-blurring was established.A variable split and alternative direction method was employed to solve the optimization model quickly. The results of experiments demonstrate the validity and efficiency of the proposed model and the algorithm,and the PSNR and SSIM of each group experiment are provided simultaneously.【期刊名称】《计算机工程与设计》
【年(卷),期】2016(037)007
【总页数】6页(P1857-1861,1866)
【关键词】去模糊;全变差;分数阶全变差;凸优化;交替方向法
【作者】罗广利;杨晓梅
【作者单位】四川大学电气信息学院，四川成都 610065;四川大学电气信息学院，四川成都 610065
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
数字图像去模糊是一种典型的数字图像复原技术。

本文中模糊核是已知的，所以针对的是非盲去模糊。

模糊图像可看作是模糊核和原始图像卷积运算后的结果
式中：*——卷积运算，f——观测图像，h——模糊核，u——待恢复的原始图像，n——高斯噪声，式(1)是第一类弗雷德霍姆方程[1]。

已知f，h，求u，这是典型
的逆问题求解问题。

由于噪声的存在，使得方程变得严重的病态，因此难以直接求解。

逆问题可利用图像的先验信息，借助正则化技术求解。

众多正则化技术中，L.Rudin等提出了全变差(TV)去噪模型，即著名的ROF模型，后来又成功地应用
到去模糊[2]上。

TV去模糊模型虽然能恢复图像边缘，纹理细节恢复不够理想[3]。

为复原更多细节，文献[4]提出了非局部全变差(NLTV)正则化约束模型，该模型利
用了全变差以及图像的非局部相似性约束，能很好地恢复细节，抗噪能力强，但是该模型运算量大，技术相对复杂。

文献[3]将TV和NLTV模型分别约束图像的平
滑区域和细节部分，取得了很好的效果，但同时有着NLTV模型求解的劣势。

分
数阶全变分(FOTV)模型能很好地刻画纹理信息[5]，所以很自然地应用到恢复图像
细节和纹理上。

受文献[3]的启发，本文提出了一种同时利用TV和FOTV模型的
优势的去模糊方法，即结合全变差和分数阶全变差正则化的方法，不仅能很好地恢复细节，而且求解算法简单，运算量小，收敛比较快。

1.1 基于全变差(TV)的去模糊模型
基于TV去模糊模型利用了有界变差函数空间的特征，即不要求函数光滑和连续，允许函数存在跳跃和间断，所以能很好地描绘图像中存在的不连续和跳跃的特性，因此取得了极大的成功。

针对该模型开发出了很多可行的求解算法，比如投影梯度算法，GPSR算法等，其中比较流行的是SpiltBregman[2,6]算法，以及ADM[7]算法等。

基于TV去模糊模型有两种，一种是各项同性的，另一种是各项异性的，这里只讨论各项同性的模型，其定义如下[2]
式中1是正则项，是u的全变差，ux，uy是u在x，y方向上的一阶偏导数，λ
是正的正则项系数，是保真项，2表示l2范数，表示l2范数的平方。

1.2 基于分数阶全变差(FOTV)的去模糊模型
分数阶微积分近年来开始得到大量的研究和应用，越来越多地应用到数字图像处理方面[5,8,9]。

因为图像的纹理具有弱导数特性[5]，通常的整数阶导数不能有效地
刻画，而分数阶导数却能极好地胜任，此外自然图像中往往有很多分形存在，所以很自然地将分数阶微积分应用于数字图像处理。

分数阶微积分有多种定义，在此用Grünwald—Letnikov定义[8]，取前K项近似，其一维差分定义如下
式中：α为正的求导阶次，可取任意正实数，为广义二项式系数，Γ(α)为伽马函数，它们的定义为
将一维的分数阶导数推广到二维有
基于分数阶全变差的去模糊模型为
式中，μ是正则化系数，分别表示x，y方向上u的α阶偏导数。

1.3 本文提出的模型
TV模型能很好地恢复图像边缘，而FOTV模型能很好地恢复图像细节和纹理，为了同时利用TV和FOTV模型的优势，首先用GGES[10]将图像u分解成平滑，边缘和细节3部分。

其中，平滑和边缘部分加起来为us，细节部分为ud。

分解实验
如图1所示。

用TV模型约束us，FOTV模型约束ud。

综上所述，本文提出的图
像去模糊模型如下
式(9)中两个正则项都是不可微的，因此不能用传统的梯度下降法求解，但式中的
三项都是凸函数，所以它们之和也是凸函数，因此可用凸优化的方法求解。

在此综合利用分裂Bregman方法[2,3]和交替方向法(ADM)[7,11]求解。

在每一次迭代时：(1)首先固定，得到求解us的子问题，令us，得
对式(10)用Bregman方法进行迭代求解[2,3]，从而将有约束的优化问题转化成无约束的优化问题，得
式中：t1是辅助变量，其值用Bregman迭代更新[3]。

同样采用交替方向法的策略，求取。

1)首先固定d1，得到求解子问题
由于式(12)中都是二次项，可以通过对us求导，并使导数为0，得到求解的方程。

对该方程进行傅里叶变换，从而可求得傅里叶变换后的解)，最后对该解进行傅里
叶反变换[3]得到空域形式的
2)固定，得到求解的子问题，用软阈值的方法[2,3]可求得，最后求出
(2)求解式(9)中的时固定，得到求的子问题
类似地，设αud,t2为辅助变量，得到
类似于的求法，首先固定d2，然后得到求解的子问题，可得
类似地用软阈值的方法求出，最后求出
最后求出um+1
本文的算法框架为：
1 初始化；
2 用GGES将um分解成和；
3 固定，用式(13)～式(15)求；
4 固定，用式(20)～式(22)求；
5 计算；
如果，返回2，否则进入6；
6 输出复原后的图像um+1。

3.1 参数设置
本文的参数有α，K，λ，μ，σ，φ，tol，α取1.5，K取21，tol设置成0.001。

令σ=0.05λ，φ=0.1μ，实验时只需调整λ，μ。

当噪声水平为40 dB，λ=0.0005，μ=0.0008，当噪声水平等于30 dB时，λ=0.005，μ=0.008；当噪声水平等于
20 dB时，λ=μ=0.05。

实验图像选择5幅512×512像素的图像：sailboat、lena、cameraman、baboon、dollar。

它们都包含了平滑区域、边缘、细节和
纹理，如图2所示。

选择了4种模糊核，分别是距离为17，角度为133的运动模糊核(motion blur kernel)；大小为21x21，标准差为2的高斯模糊核(Gaussian blur kernel)；半径为5的圆盘模糊核(disk blur kernel)；半径为9的均值模糊核(average blur kernel)。

实验所加噪声为加性高斯噪声。

本文实验环境是Matlab R2009a 7.8.0，计算机的CPU为Intel I3(2.13 Ghz)，RAM为2 GB。

3.2 实验验证本文算法的有效性
为验证本文算法的有效性，选择sailboat图像，参数都按照噪声水平为40 dB的
情况设置，加方差为0.01的高斯噪声，模糊类型为运动模糊(距离为17，角度为133)，运动模糊是现实中常见的一种模糊类型，比如拍照时相机抖动就会造成运
动模糊现象，因此特别有现实意义。

实验时先对原始图像进行预处理即：首先进行模糊处理，然后对模糊后的图像添加高斯噪声。

之后的比较实验也做同样预处理。

实验结果如图3所示。

通过图3中两幅图片的对比可知，对于所选择的模糊核，本文算法收敛且能有效
去模糊，另外SSIM达到0.905，PSNR为34.50 dB，收敛时间为47秒。

3.3 与其它算法对比
接下来选择了几种算法与本文算法一起做了3组对比实验，分别是实验1，实验2和实验3。

本文采用的对比算法有文献[6]提出的SALSA算法，文献[4]提出的NLTV-pbos算法，以下简称NLTV算法，文献[7]提出的FTVd算法。

SALSA和NLTV算法中耗时环节都是用C语言写的代码，FTVd和本文算法是纯MATLAB
语言写的，各对比算法的参数为各文献所提供。

3.3.1 实验1
实验1的目的是比较客观指标PSNR和SSIM。

所选择的模糊核仍是运动模糊核。

噪声水平分别是30 dB和40 dB。

实验结果见表1。

3.3.2 实验2
实验2的目的是比较噪声水平在20 dB、原始图像为baboon、模糊类型为圆盘(disk)模糊(半径=5)；噪声水平在30 dB、原始图像为lena、模糊类型为均值(average)模糊(半径=9)；噪声水平在40 dB、原始图像为cameraman、模糊类
型为高斯(Gaussian)模糊(21×21,2)时不同算法的去模糊后的视觉效果。

实验结果
如图4、图5、图6和表2所示。

3.3.3 实验3
实验3的目的是比较收敛时间。

在实验中我们发现在各种噪声水平下，各算法收
敛时间规律基本与模糊类型为高斯模糊，噪声水平为40 dB，原图为cameraman 时各算法的收敛时间规律一致，具体见表3。

从表3中数据可以看出，NLTV算法最耗时，FTVd算法收敛速度最快，其余两种算法收敛速度介于两者之间，但远远快于NLTV算法。

本文算法在去运动模糊时SSIM指标要明显优于所采用的对比算法，而PSNR值
要比其它算法得到的稍好或差别微小(见表1)；对于实验中所选择的其它模糊类型，
本文算法得到的SSIM和PSNR与其它算法得到的最好结果差别也是微小的，甚
至更好(见表2)。

在实验中我们发现，SALSA算法在20 dB噪声时，复原图中有明显大的斑块，NLTV的平滑效果最佳，鲁棒性也最好，但对于运动模糊恢复效果不好，有严重的人工痕迹，而且对于cameraman在噪声水平为30 dB时发现有明显振铃效应，
而且耗时最长，FTVd算法收敛最快，但是在高水平噪声时，但复原效果过于平滑，复原的细节效果没有本文的提出的算法好。

通过对比，本文算法的优势在于收敛较快，而且对于各种模糊类型都能求解，克服了振铃效应，复原图像的对比度最高(如图4所示)，复原的细节比其它算法复原的更多，尤其在高噪声水平下，这也是本文算法的实验结果SSIM通常最高的原因。

综上所述，本文方法的结果同时在主观视觉和客观指标上普遍好于其它对比算法。

本文算法适用于恢复细节和纹理丰富的图像，而现实中这样的图像很普遍。

在本文中只应用到自然图像处理上，也可以应用到医学图像上，此外还可以应用到彩色图像去模糊上，本文的模型也可以应用到图像超分辨率(super-resolution)重建上。

本文算法在每次迭代时，在用GGES处理图像时占用了一部分时间，这是本文算
法比FTVd算法计算慢的主要原因。

此外本文算法的不足之处是参数对噪声敏感。

这些缺点和不足有待后续的研究和改进。

【相关文献】
[1]Gonzalez R,Woods R.Digital image processing[M].Ruan Qiuqi,Ruan Yuzhi,transl.3rd
ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2011:217(in Chinese).[Gonzalez
R,Woods R.数字图像处理[M].阮秋琦,阮宇智,译.3版.北京:电子工业出版社,2011:217.]
[2]Goldstein T,Osher S.The split bregman method for L1-regularized problems[J].Siam Journal on Imaging Sciences,2009,2(2):323-343.
[3]Shu Tang,Gong Weiguo,Li Weihong,et al.Non-blind image deblurring method by local and nonlocal total variation models[J].Signal Processing,2014,94:339-349.
[4]Zhang Xiaoqun,Burger M,Osher S.Bregmanized nonlocal regularization for deconvolution and sparse reconstruction[J].Siam Journal on Imaging
Sciences,2010,3(3):253-276.
[5]ZHANG Jun,WEI Zhihui.Fractional variational model and projection algorithm for image denoise[J].Computer Engineering and Applications,2009,45(5):1-6(in Chinese).[张军,韦志辉.分数阶图像去噪变分模型及投影算法[J].计算机工程与应用,2009,45(5):1-6.]
[6]Afonso MV,Bioucas-Dias JM,Figueiredo MAT.Fast image recovery using variable splitting and constrained optimization[J].Transactions on Image
Processing,2010,19(9):2345-2356.
[7]Yang Junfeng,Zhang Yin,Yin Wotao.A fast alternating direction method for TVL1-L2 signal reconstruction from partial Fourier data[J].Journal of Selected Topics in Signal Processing,2010,4(2):288-296.
[8]HUANG Guo,XU Li,CHEN Qingli,et al.Research on image denoising based on space fractional partial differential equations[J].Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition),2012,44(2):91-98(in Chinese).[黄果,许黎,陈庆利,等.基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型研究[J].四川大学学报(工程科学版),2012:44(2):91-98.]
[9]Ren Zemin,Hen Chuanjiang,Zhang Qifeng.Fractional order total variation regularization for image super-resolution[J].Signal Processing,2013,93(9):2408-2421.
[10]Xu Li,Lu Cewu,Xu Yi,et al.Image smoothing via L0 gradient minimization[J].ACM Transactions on Graphics,2011,30(6):174:1-174:12.
[11]Wang Yilun,Yang Junfeng,Yin Wutao,et al.A new alternating minimization algorithm for total variation image reconstruction[J].Siam Journal on Imaging
Sciences,2008,1(3):248-272.
[12]Rudin L,Osher S,Fatemi E.Nonlinear total variation based noise removal
algorithms[J].Physica D-nonlinear Phenomena,1992,60(1-4):259-268.。