数学分析Ch11隐函数习题

第十一章 隐函数
习题 11.1 无条件极值
1． 讨论下列函数的极值：
（1）61222),(2244+--+=y x y x y x f ； （2）22442),(y xy x y x y x f ---+=； （3）222),,(z y x z y x f -+=； （4）))((),(42x y x y y x f --=；
（5）y b x a xy y x f 3
3),(++=，其中常数0,0>>b a ；
（6）z
y z x y x z y x f 2
),,(+++= （0,,>z y x ）。

解 (1) 先求驻点。

由
3
3
4408240
x
y f x x f y y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩， 解得
0,1;0,x y =±=，
即函数有9个驻点。

再由24(31)xx f x =-，0xy f =，224(1)yy f y =-，可知
2296(31)(1)H x y =--。

应用定理12.6.2。

驻点)0,0(，
)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--满足0H >，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。

再根据xx f 的符号，可知函数在)0,0(点取极大值6；在)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--四点取极小值13-。

注 本题可使用配方法得到
2222(,)(1)2(3)13f x y x y =-+--，
由此易知)3,1(，)3,1(-，)3,1(-，)3,1(--四点为函数的最小值点，最小值为13-，函数无最大值，)0,0(点为函数的极大值点，
极大值为6。

（2）先求驻点。

由
3
3
4220
4220
x y f x x y f y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩， 两式相减，可解得0,1x y ==±，即驻点为)0,0(，)1,1(，)1,1(--三点。

再由2122xx f x =-，2xy f =-，2122yy f y =-，可知
224(61)(61)4H x y =---。

应用定理12.6.2。

驻点)1,1(，)1,1(--满足0H >，所以是极值点，再根据xx f 的符号，可知函数在)1,1(，)1,1(--两点取极小值2-。

在)0,0(点，有0H =，且(0,0)0f =。

由于22(,)2(2)f x x x x =-，
4(,)2f x x x -=，可知函数在)0,0(点附近变号，所以)0,0(不是极值点。

（3）先求驻点。

由
202020
x y z f x f y f z ⎧==⎪
==⎨⎪
=-=⎩， 解得(0,0,0)是唯一的驻点。

由(0,0,0)0f =，22(,,0)f x y x y =+，
2(0,0,)f z z =-，可知函数在(0,0,0)点附近变号，即(0,0,0)不是极值点，
所以函数无极值点。

注 对于二次多项式()f x ，n ∈R x ，它的Hesse 矩阵H 是常数矩阵，我们有如下结论：
设0x 为()f x 的驻点，则由000()()()()T f f H -=--x x x x x x 可知 （a ）0()f x 为最小值的充分必要条件是H 为半正定矩阵； （b ）0()f x 为最大值的充分必要条件是H 为半负定矩阵； （c ）0()f x 不是极值的充分必要条件是H 为不定矩阵。

本题由于函数(,,)f x y z 的Hesse 矩阵为不定矩阵，所以(0,0,0)不是
(,,)f x y z 的极值点。

（4）先求驻点。

由
42
24
2(32)0
20x y
f x x yx y f y x x ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩， 解得0x y ==;1,1x y =±=
;3
8x y ==，即驻点为)0,0(，(1,1)，(1,1)-，
)83,22(
和)8
3
,22(-五点。

再由4230122xx f x yx y =--，324xy f x x =--，2yy f =，可知
422(30122)H x yx y =--32(24)x x -+。

应用定理12.6.2。

驻点)83,22(
，)8
3
,22(-满足0H >，所以是极值点，再根据xx f 的符号，可知函数在)83,22(
，)83,22(-取极小值1
64
-。

在(1,1)，(1,1)-点0H <，所以(1,1)，(1,1)-不是极值点。

在)0,0(点0H =，且(0,0)0f =。

由于352(,)(1)f x x x x =--，易知函数在)0,0(点附近变号，所以)0,0(不是极值点。

（5）先求驻点。

由
3
23
2
00x y a f y x b f x y ⎧=-=⎪⎪
⎨⎪=-=⎪⎩
， 解得22,a b b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是唯一的驻点。

再由332xx a f x =，1xy f =，3
32yy b f y =，可知
33
3341a b H x y
=-。

应用定理12.6.2。

由于在驻点22,a b b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
有0H >，再根据xx f 的符号，可
知函数在),(2
2a
b b a 点取极小值3ab 。

（6）先求驻点。

由
2
221010120
x y z y f x z
f x y f y z ⎧=-=⎪⎪
⎪=-=⎨⎪⎪=-=⎪⎩
，
解得唯一的驻点1134242,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

由于函数在113
424
2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
点的Hesse 矩阵
3
142
11124
11
422022
2022-
----⎛⎫- ⎪
⎪
⎪-- ⎪ ⎪- ⎪
⎝
⎭
是正定的，所以函数在)2,2,2(432141取极小值1442⋅。

2．设xz xy z y x z y x f 2223),,(222+-++=，证明函数f 的最小值为0。

证 先求驻点。

由
2220620
420
x y z f x y z f y x f z x ⎧=-+=⎪
=-=⎨⎪
=+=⎩， 解得唯一驻点(0,0,0)，由于函数在(0,0,0)点的Hesse 矩阵222260204-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
是正定的，所以函数在(0,0,0)点取极小值(0,0,0)0f =。

注 本题可使用配方法得到
222111
(,,)(2)(2)222
f x y z x y x z y =-+++，
由此可知函数在(0,0,0)点取最小值(0,0,0)0f =。

3. 证明函数y y y x y x f e cos )e 1(),(-+=有无穷多个极大值点，但无极小值点。

证 由
(,)(1e )sin 0
(,)e cos (1)e 0
y
x y y
y f x y x f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，
解得x k π=,cos 1y k π=-，所以驻点为 (,cos 1)k k ππ-，0,1,2,k =±±L 。

由(1)cos y xx f e x =-+，sin y xy f e x =-，e cos (2)e y y yy f x y =-+，可知在驻点(,cos 1)k k ππ-处， cos (1)y y H k e e π=+，
所以当k 为奇数时0H <，(,cos 1)k k ππ-不是极值点；
当k 为偶数时0H >，再由0xx f <，可知(,cos 1)k k ππ-是极大值点。

所以函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。

4．求函数)sin(sin sin ),(y x y x y x f +-+=在闭区域
}2,0,0|),{(π≤+≥≥=y x y x y x D
上的最大值与最小值。

解 由
cos cos()0
cos cos()0x y
f x x y f y x y =-+=⎧⎪⎨
=-+=⎪⎩， 得到cos cos cos()x y x y ==+。

在{}(,)|0,2x y x y x y π=<<+<D o 上考虑，得
到2x y x y π==--，即2
2
,33
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
是函数在区域内部唯一的驻点。

由于在区域边界上，即当0x =或0y =或2x y π+=时，有(,)0f x y =，而在区
域内部唯一的驻点上取值为2
2(,)03
3
2
f ππ=>，根据闭区域上连续函数的性质，可知函数的最大值为2
3
3max =
f ，最小值为0m in =f 。

5．在]1,0[上用怎样的直线b ax +=ξ来代替曲线2x y =，才能使它在平方误差的积分
⎰-=1
02)(),(dx y b a J ξ
为极小意义下的最佳近似。

解 1
220(,)()J a b x ax b dx =--⎰221
1(2)523
a a
b ab b =-+-++
是,a b 的二次多项式，它的Hesse 矩阵21
312⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
是正定的，所以有最小
值（见第1题（3）的注）。

对参数,a b 求导，
21032
2203a b J a b J a b ⎧=-+=⎪⎪⎨
⎪=+-=⎪⎩
， 得到11,6
a b ==-，即1
1,6⎛⎫- ⎪⎝
⎭
是唯一的驻点，所以必定是最小值点。

因此最佳直线为6
1
-=x ξ。

6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。

解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为123,,ααα，则三角形的面积为
221231212[sin sin sin ][sin sin sin()]22
R R S ααααααα=++=+-+，
由第4题知12323
π
ααα===时面积最大，这时圆内接三角形为正三角形，2
max 4
33R S =。

7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。

问：在体积为定值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高h 满足什么关系时，所用的布料最省？
解 由帐幕的体积221
3
V R H R h ππ=+，得到21
3
V H h R π=-，于是帐幕的表面积为
2223
V Rh S RH R ππππ=+=
-+ 对R 与h 求偏导数，得到
2
22032203S R h S V h R R ππ∂⎧=-+=⎪∂⎪
⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩。

由第一个方程，
得到R =
，
再将R =与221
3
V R H R h ππ=+代入第
二个方程，得到12
H h =，所以当
2
15
h
H R ==
时，布料最省。

8．求由方程12222=++y xy x 所确定的隐函数)(x y y =的极值。

解 由
02'=++-
=y
x y
x y , 得到0=+y x , 再代入12222=++y xy x 得到12=y ，由此可知隐函数
)(x y y =的驻点为1x =±，且当1x =±时有1y =m 。

由于在驻点有
2
1'()1
''(12')2(2)y x y y y x y x y y
++=-
++=-++， 根据"(1)y ±的符号可知)(x y y =在1x =-取极大值1，在1x =取极小值1-。

注 本题也可由
222222()1x xy y x y y ++=++=，
得到11y -≤≤，由此可知)(x y y =在1x =-取极大值1，在1x =取极小值1-。

9．求由方程08822222=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。

解 由
401284(2)0128z x x z y z y z y z y
∂⎧==⎪∂--⎪
⎨
∂+⎪==⎪∂--⎩, 得到0=x 与02=+z y , 再代入08822222=+-+++z yz z y x ，得到
0872=-+z z 即8
1,7
z =-。

由此可知隐函数(,)z z x y =的驻点为(0,2)-与
16
(0,)7。

由
224128z x z y ∂=∂--，20z x y ∂=∂∂，224
128z y z y
∂=∂--， 可知在驻点(0,2)-与16
(0,)7
有0H >。

在(0,2)-点，1z =，因此 224
015z x ∂=>∂，所以(0,2)-为极小值点，
极小值为1z =；在16(0,)7点，87z =-，因此 224015z x ∂=-<∂，所以16
(0,)7
为
极大值点，极大值为87
z =-。

注1 原方程可以改写为
2222(2)(1)(78)x y z z z ++=-+，
由左边非负可得(1)(78)0z z -+≥，即87
z ≤-或者1z ≥。

注 2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连的部分组成。

其中之一开口向上，最小值1z =，另一个开口向下，最大值
87
z =-。

10．在O xy 平面上求一点，使它到三直线0=x ，0=y ，和0
162=-+y x 的距离的平方和最小。

解 平面上点(,)x y 到三直线的距离平方和为
222
(,)D x y x y =++。

对,x y 求偏导数，
22(216)0,5
42(216)0,5x y D x x y D y x y ⎧
=++-=⎪⎪⎨⎪=++-=⎪⎩，
得到8
16,5
5x y ==，所以函数只有一个驻点816
(,)55。

由于
|(,)|lim (,)x y D x y →∞
=+∞，
可知函数(,)D x y 在驻点816
(,
)55
有最小值。

11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。

证 设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为α2与β2，则三角形的面积为
cot cot cot()cot cot tan()2
S π
αβαβαβαβ=++--=+++。

由
22
22csc sec ()0,csc sec ()0,S S
ααβα
βαββ
∂⎧=-++=⎪∂⎪⎨∂⎪=-++=∂⎪⎩， 得到2
π
αβαβ==
--，所以
6
π
βα=
=，
即外切正三角形的面积为最小。

12．证明：圆的所有内接n 边形中，以正n 边形的面积为最大。

证 设圆半径为1，圆内接n 边形的各边所对的圆心角为k
α),,2,1(n k Λ=，则n 边形的面积为
)]sin(sin sin [sin 2
1
121121--+++-+++=n n S ααααααΛΛ。

由
11211
[cos cos()]02
n k S ααααα-∂=-+++=∂L ，)1,,2,1(-=n k Λ， 推出
1211212()n n αααπααα--====-+++L L ，
所以
2k n
π
α=
，(1,2,,)k n =L ，
即内接正n 边形的面积为最大。

13．证明：当+∞<<<<y x 0,10时，成立不等式 1e )1(-<-x yx y 。

证 令)1(),(x yx y x f y -=，对y 求偏导，
(1)(1ln )0y f
x x y x y
∂=-+=∂， 解得x y ln 1-=。

对固定的)1,0(∈x ，根据f
y ∂∂在x
y ln 1-=附近的符号变化，
可知(,)f x y （作为y 的函数）的极大值点为x
y ln 1
-=
，极大值为x e x x ln )
1()(--=
ϕ。

再对)(x ϕ求导，得到 21
'()(1ln )ln x x x x ex x
ϕ=-+。

记
()1ln ,(0,1)g x x x x x =-+∈，
则'()ln 0g x x =<，(0)1,(1)0g g +=-=，所以()0g x >，于是)(x ϕ严格单调
增加。

再由11lim ()x x e ϕ-→-
=，得到 1(,)()f x y x e ϕ-≤< (01,0)x y <<<<+∞。

14．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x （万尾），乙种鱼放养y （万尾），收获时两种鱼的收获量分别为
x y x )3(βα-- 和 y y x )24(αβ-- （0>>βα）。

求使产鱼总量最大的放养数。

解 鱼总产量为
22(3)(42)2234P x y x x y y x xy y x y αββααβα=--+--=---++。

对,x y 求偏导数，
， 解得
2230,
2440,x y
P x y P x y αββα=--+=⎧⎪⎨
=--+=⎪⎩
22223βαβα--=
x ，2
22434β
αβ
α--=y 。

因为222234P x xy y x y αβα=---++是二次多项式，由
222(2)(4)(2)4(2)0H ααβαβ=---=->，20xx P α=-<，
可知其Hesse 矩阵是负定的，所以函数有最大值，即当2
2223β
αβ
α--=
x ，2
22434β
αβ
α--=
y 时产鱼总量最大。

习题 11.2 条件极值问题与Lagrange 乘数法
1. 求下列函数的条件极值：
（1）xy y x f =),(，约束条件为1=+y x ；
（2）z y x z y x f 22),,(+-=，约束条件为1222=++z y x ；
（3）22
2222),,(c z b y a x z y x f ++=，约束条件为⎩
⎨⎧=++=++,0,1222Cz By Ax z y x 其中
0>>>c b a ，1222=++C B A 。

解 （1）令
(,,)(1)L x y xy x y λλ=-+-，
求偏导，得到
00(1)0,
x y L y L x x y λλλ⎧=-=⎪
=-=⎨⎪
=-+-=⎩，
，
L 解得12x y ==，即目标函数只有一个驻点11
,22⎛⎫
⎪⎝⎭。

由2
124x y xy +⎛⎫≤= ⎪
⎝⎭
，可知11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭是目标函数的条件极大值点，也是条件最大值点，条件最大值为max 11
1(,)224
f f ==。

（2）令
222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-+-++-，
求偏导，得到
222120220220(1)0,x y
z L x L y L z x y z λ
λλλ=-=⎧⎪=--=⎪⎨
=-=⎪⎪=-++-=⎩，，，
L 由前三式得到2y z x =-=-，代入约束条件1222=++z y x ，解得
(,,)x y z =122
(,,)333
±-。

因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。

由于目标函数的驻点为122(,,)3
33±-，对应的目标函数值为3±，所以max 1
22(,,)33
33
f f =-=，min 122
(,,)3333
f f =--=-。

（3）令
222
222222(,,,,)(1)()x y z L x y z x y z Ax By Cz a b c
λμλμ=++-++--++，
求偏导，得到
222222*********(1)0()0x y z x L x A a y L y B b z L z C c L x y z L Ax By Cz λμλμλμλμ⎧=--=⎪⎪
⎪=--=⎪⎪
⎪
=--=⎨⎪
⎪=-++-=⎪
=-++=⎪⎪⎪⎩
，，，，，
于是
()222
222102
x y z x y z xL yL zL a b c λ++=++-=。

因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。

由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关于λ的解中。

由
2222222()0x y z Ax By Cz AL BL CL A B C a
b c μ⎛⎫
++=++-++= ⎪⎝⎭，
得到
222222
2Ax By Cz A B C a b c μ⎛⎫=
++ ⎪++⎝⎭2222Ax By Cz a
b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 代入上面的方程组，得到
22222222
222210,210,2
102
x y
z L A AB AC x y z a b c L AB B BC x y z a b c L AC BC C x y z a b c λλλ⎧⎛⎫-=---=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪=-+--=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪=--+-= ⎪⎪⎝⎭⎩。

由约束条件可知驻点不在原点，即上面方程组有非零解，所以其系数行列式为零。

经计算得到
λ-2222222222222222111()()0A B C A B C a b c b c c a a b λλ⎡⎤
---++++++=⎢⎥⎣
⎦，
显然目标函数的最大值与最小值不为零，即0λ≠，所以f 的最大值与最小值分别为方程
0)()111(222
2222222222222
=+++-+-+-+b
a C a c B c
b A
c C b B a A λλ
的两个根。

2. 在周长为p 2的一切三角形中，找出面积最大的三角形。

解 记三角形的边长为,,a b c ，面积为S ，则2()()()S p p a p b p c =---。

令
(,,,)()()()(2)L a b c p p a p b p c a b c p λλ=----++-，
求偏导数，得到
()()0,()()0,()()0,a b c
L p p b p c L p p a p c L p p a p b λλλ=---+=⎧⎪
=---+=⎨⎪=---+=⎩ 于是
p a p b p c -=-=-，
再根据约束条件得到
2
3
a b c p ===
， 所以面积最大的三角形为正三角形，最大面积为
2
9
3p 。

3. 要做一个容积为1立方米的有盖铝圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？
解 假设圆桶的底面半径为r ，高为h ，则圆桶的容积为21r h π=，表面积为222S rh r ππ=+。

令
22(,,)22(1)L r h rh r r h λππλπ=+--，
求偏导，得到
2
242020r h L h r rh L r r πππλππλ=+-=⎧⎨=-=⎩，
，
解得2h r =，再代入约束条件21r h π=，得到
r =
h = 根据题意，目标函数必有最小值，所以可知当底面半径为3
21
π
，高为3
4
π
时用料最省。

4. 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长距离与最短距离。

解 设原点到椭圆上一点的距离为(,,)d x y z ，则2222d x y z =++。

令
22222(,,,,)()(1)L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++-+--++-，
求偏导数，得到
220,220,20,
x y z L x x L y y L z λμλμλμ⎧=--=⎪
=--=⎨⎪
=+-=⎩ 将前两式相减，得到(1)()0x y λ--=。

若1λ=，则有0μ=，12
z =-，显然不满足约束条件。

若1λ≠，则x y =，再联立约束条件22y x z +=与1=++z y x ，可解出x y
=1
(12
=
-
，222z x ==
29d =m 。

由于满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。

于是得到
359m ax +=d ，359m in -=d 。

5. 求椭圆12322=+y x 的内接等腰三角形，其底边平行于椭圆的长轴，而使面积最大。

解 设(,),0x y x ≥为三角形底边上的顶点，则三角形面积为(2)S x y =-，令
22(,,)(2)(312)L x y x y x y λλ=--+-，
求偏导数，得到
22,
6,x y
L y x L x y λλ=--⎧⎪⎨
=--⎪⎩ 消去λ，可得22630y y x -+=，再联立约束条件12322=+y x ，可得满足
0x ≥的驻点只有(0,2)和(3,1)-。

当(,)(0,2)x y =时0S =，当(,)(3,1)x y =-时9S =。

由题意三角形面积一定
存在最大值，于是得到
9max =S 。

6. 求空间一点),,(c b a 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离。

解 设(,,)x y z 为平面上的一点，它与点(,,)a b c 之间的距离为(,,)d x y z ，则2222()()()d x a y b z c =-+-+-，令
2(,,,)(,,)()L x y z d x y z Ax By Cz D λλ=-+++，
求偏导，得到
2()0,2()0,2()0,
x y z L x a A L y b B L z c C λλλ⎧=--=⎪
=--=⎨⎪
=--=⎩ 解得
12x a A λ=+，12
y b B λ=+，1
2z c C λ=+，
代入约束条件0=+++D Cz By Ax ，得到
222
2Aa Bb Cc D
A B C
λ
+++=-
++。

于是
2
2
2
2
222A B C d λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2222
()Aa Bb Cc D A B C +++=++， 所以),,(c b a 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离为
2
2
2
C
B A D c
C bB aA d +++++=。

7. 求平面0=++Cz By Ax 与柱面122
22=+b
y a x 相交所成的椭圆的面积
（C B A ,,都不为零；b a ,为正数）。

解 椭圆的中心在原点，原点到椭圆周上点(,,)x y z 的距离d 的最大值和最小值分别为椭圆的长半轴和短半轴。

令
22
2
2
2
22(,,,,)(1)()x y L x y z x y z Ax By Cz a b
λμλμ=++-+--++，
求偏导数，得到
2
222
22
220,220,20,
(1)0,
()0,x
y z x L x A a y L y B b L z C x y L a b L Ax By Cz λμλμλμμ⎧
=--=⎪⎪
⎪=--=⎪⎪
=-=⎨⎪⎪=-+-=⎪⎪=-++=⎪⎩
于是
()2221
02
x y z xL yL zL x y z λ++=++-=。

因为满足约束条件的点集是连通紧集，目标函数连续，所以必有最大值和最小值。

由上式可知最大值和最小值包含在上面的方程组关于λ的解中。

以2z C μ=
2
2Ax By
C
+=-代入前两个方程，可得 2222
2
22210,210,
2x y L A AB
x y a C C L AB B x y C b C λλ⎧⎛⎫=-++=⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎩
此方程组有非零解，所以系数行列式为0。

因此
2222
22224110A B A B a C b C C
λλ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝
⎛-
222211a B b A λλ011222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a b C λλ。

这个二次方程的两个根1λ与2λ就是椭圆的长半轴和短半轴的平方，因此椭圆面积为21λλπ=S ，利用多项式根与系数的关系可得
22
2
2
2
122()a b A B C C
λλ=++，
所以
S =
8. 求)(2
144y x z +=在条件a y x =+下的最小值，其中0≥x ，0≥y ，a 为常数。

并证明不等式
4
4422⎪⎭
⎫
⎝⎛+≥+y x y x 。

解 令
()4
41(,,)()2
L x y x y x y a λλ=
+-+-， 求偏导数，得到
33
20,
20,
()0,
x y L x L y L x y a λλλ⎧=-=⎪=-=⎨⎪
=-+-=⎩ 解得。

由于连续函数)(2
144y x z +=在线段{(,)|,0,0}x y x y a x y +=≥≥的两个端点(0,),(,0)a a 上的函数值有44
11(0,)(,0)(,)2
22
16
a a f a f a a f a ==>=
，所以4min 1
(,)2216
a a f f a ==。

因此
44
444121622x y a x y a ++⎛⎫⎛⎫
≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

9. 当0,0,0>>>z y x 时，求函数
z y x z y x f ln 3ln 2ln ),,(++=
在球面22226R z y x =++上的最大值。

并由此证明：当c b a ,,为正实数时，成立不等式
2
a x y ==
3
2
c ab ≤6
6108⎪⎭
⎫
⎝⎛++c b a 。

解 令
2222(,,,)ln 2ln 3ln (6)L x y z x y z x y z R λλ=++-++-，
求偏导数，得到
1
20,220,3
20,x y
z L x x L y y L z z
λλλ⎧=-=⎪⎪
⎪=-=⎨⎪⎪=-=⎪⎩ 解得222123
2x y z
λ=
==，代入约束条件22226R z y x =++，可得 22R x =，222R y =，223R z =。

由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点。

于是得到
3
2
22
ln 2ln 3ln )(3)]x y z R R ++
≤()
6ln =，
即
3
2223
2636⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++≤z y x z xy 。

由前一式得到
()
6max ()ln f f R ==。

在后一式中令2x a =，2y b =和2z c =，得到
6
326108⎪⎭
⎫
⎝⎛++≤c b a c ab 。

10．（1）求函数c b a z y x z y x f =),,()0,0,0(>>>z y x 在约束条件
1=++k k k z y x 下的极大值，其中c b a k ,,,均为正常数；
（2）利用（1）的结果证明：对于任何正数w v u ,,，成立不等式
c b a c w b v a u ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤c
b a
c b a w v u ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++。

解 （1）令
(,,,)ln ln ln (1)k k k L x y z a x b y c z x y z λλ=++-++-，
求偏导数，得到
1
11
0,0,0,k x k y
k z a L k x x b L k y y c L k z z
λλλ---⎧=-=⎪⎪
⎪=-=⎨⎪⎪=-=⎪⎩ 解得k k k a b c k x y z λ===，代入约束条件1=++k
k k z y x ，得到1a b c k λ
++=，
所以
k a x a b c =
++，k b y a b c =++，k c z a b c
=++。

由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点。

于是
ln ln ln ln()a b c a x b y c z x y z ++=， 即得到
≤c b a z y x k
c b a c
b a
c b a c
b a 1
)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++。

（2）令1k =，u x u v w =++，v y u v w =++，w
z u v w
=++，则1x y z ++=，
且
()
a b c
a b c a
b c
a b c
u v w u v w x y z u v w u v w u v w u v w ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++。

利用（1）的结果，有
1
ln ()a b c
k
a b c a b c a b c ++⎡⎤≤⎢⎥++⎣⎦
≤c
b a
z y x ()a b c
a b c
a b c a b c ++++。

整理后得到
c
b
a
c w b v a u ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤c
b a
c b a w v u ++⎪
⎭
⎫
⎝⎛++++。

11．求b a ,之值，使得椭圆122
22=+b
y a x 包含圆1)1(22=+-y x ，且面积最
小。

解 为了使椭圆122
22=+b
y a x 既包含圆1)1(22=+-y x ，又面积最小，可
以要求圆心(1,0)到椭圆周上的点的最短距离为1。

为此先考虑目标函
数(,)g x y =2
2
)1(y x +-在122
22=+b
y a x 条件下的极小值问题，并设条件极
小值为min 1g =，由此导出,a b 之间的关系。

构造Lagrange 函数
22
2
2
22(,,)(1)(1)x y L x y x y a b
λλ=-+-+-，
求偏导数，得到
22222221(1)0,
2
1(1)0,210,
x y x
L x a y L y y b b x y L a b λλλλ⎧=--=⎪⎪⎪=-=-=⎨⎪⎪⎛⎫=-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩
并由此可得
222(1)11min x g x y a λ⎛
⎫=-+=-= ⎪⎝⎭。

若0y =，则x a =。

由22(1)1min g x y =-+=，可得2a =。

在方程组
22222(1)1,1,
4x y x y b
⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩中消去y ，得到2
22
(1)204b x x b --+=，
容易知道当b <方程除了解12x =外另有一解2(0,2)x ∈，这说明椭圆22
214x y b
+=不完全包
含圆1)1(22=+-y x ，不满足条件。

所以b ≥
这时椭圆面积S ≥。

若2
b λ=，则222a x a b =-，代入211min x g a λ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，得到,a b 必须满足的关系式
4222b a b a +=。

现求目标函数ab b a f π=),(在4222b a b a +=条件下的极小值。

令
(,,)l a b ab λπ=2224()a b a b λ---，
求偏导数，得到
2
22
2(1)0,
2(2)0,
a b l b a b l a b a b πλπλ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩ 消去λ
，得到2a =，再代入关于b a ,的约束条件4222b a b a +=，解得
223=
a ，2
6
=b ，
这时椭圆面积S =。

由于2
<，所以当223=a ，26=b 时，椭圆122
22=+b
y a x 包含圆1)1(22=+-y x ，且面积最小。

12．设三角形ABC 的三个顶点分别在三条光滑曲线0),(=y x f ，
0),(=y x g 及),(y x h 0=上。

证明：若三角形ABC 的面积取极大值，则各
曲线分别在三个顶点处的法线必通过三角形ABC 的垂心。

证 不妨固定一边BC 于x 轴上，A 点在曲线(,)0f x y =上移动，设
()y y x =是(,)0f x y =所确定的隐函数，则()y x 就是三角形的高，当三角
形ABC 的面积取极大值时，
()
0dy x dx
=，即曲线(,)0f x y =在A 点的切线与对边BC 平行，所以在A 点的法线与BC 边垂直。

由于这是图形的几何性质，不依赖于坐标系，所以曲线0),(,0),(==y x g y x f 与0),(=y x h 在三个顶点处的切线分别平行于三角形的对边，从而在三个顶点处的法线分别垂直于三角形的对边。

13．设n a a a ,,,21Λ为n 个已知正数。

求n 元函数
∑==n
k k k n x a x x x f 121),,,(Λ
在约束条件
11
2
≤∑=n
k k x
下的最大值与最小值。

解 由于),,,(21n x x x f Λ在2221212{(,,,)|1}n n x x x x x x +++<L L 没有驻点，所以
只需要求),,,(21n x x x f Λ在约束条件222
12
1n x x x +++=L 下的最大值与最小值。

令
1212(,,,,)(,,,)n n L x x x f x x x λλ=-L L 222
12(1)n x x x +++-L ，
求偏导数，得到
20,1,,k x k k L a x k n λ=-==L ，
所以
0,1,,2k
k a x k n λ
=
==L ， 代入约束条件2221
2
1n
x x x +++=L
，可得2λ=
),,,(21n x x x f
Λ2n
k
a
=
=∑
从而
∑
==
n
k k a f 1
2m ax ，∑=-=n
k k a f 1
2
m in 。

14．求二次型
)
(1
,ji ij n
j i j i ij
a a x x a
=∑=在n 维单位球面
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧=∈∑=1),,,(12
21n
k k n
n x x x x R Λ上的最大值与最小值。

解 令
12,1
(,,,,)n
n ij i
j
i j L x x x a x x
λλ==
-∑L 222
12(1)n x x x +++-L ，
求偏导数，得到
1222121
0,1,,,
2
(1)0,
k n
x ik i k i n L a x x k n L x x x λ
λ=⎧=-==⎪⎨⎪=-+++-=⎩∑L L ， 由
21,11
102k n
n n
k x ik i k k k i k k x L a x x x λ====-=∑∑∑， 可知
,1
n
ij i
j
i j a x x
λ==∑，
即目标函数的最大值和最小值包含在上面的方程组关于λ的解中。

记()ij a =A ，由于方程组10,(1,,)n
ik i k i a x x k n λ=-==∑L 有非零解，所以系
数行列式0λ-=A I ，即λ是矩阵()ij a =A 的特征值。

由于()ij a =A 是实
对称阵，所以特征值都是实数，将它们按照大小排序为12n λλλ≤≤≤L ，则得到
n f λ=m ax ，1m in λ=f 。

15．设生产某种产品必须投入两种要素，1x 和2x 分别为两要素的投入量，Q 为产出量。

若生产函数为βα212x x Q =，其中βα,为正的常数，且
1=+βα。

假定两种要素的价格分别为1p 和2p ，试问：当产出量为12
时，两种要素各投入多少可以使得投入总费用最小。

解 目标函数为121122(,)f x x p x p x =+，约束条件为1126x x αα-=。

令
121122(,,)L x x p x p x λ=+112(212)x x ααλ---，
求偏导数，得到
1
21111221220,2(1)0,
x x L p x x L p x x αααα
αλαλ---⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ 消去λ，得到1
212
p x x p βα=
，代入约束条件1126x x αα-=，可解得 β
αβ
αβ
α
1
2
1116--=
p p x ，1
12
126--=
βαβαβ
αp p x 。

由于1
2
12(,)lim
(,)x x f x x →∞
=+∞，所以目标函数的唯一驻点必是最小值点，即当β
αβαβ
α
1
2
1116--=p p x ，1
1
2
126--=
βαβαβ
αp p x 时投入总费用最小。