管理决策分析,第九章模糊决策和灰色决策方法

⑥
合成:设
R
～

(rij
)nm
,
S
～

(s jk
)m p ,
m
若tik [rij s jk ](1 i n;1 j m),
j1
则
T

(tik
)n
p
称
为R ～
对
S
～
的
合
成
矩
阵
，
记作 T R S ～ ～～
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模糊矩阵运算法则满足下列主要性质: ① 若 R S ,对任意模糊矩阵T,都有
则
R S
～～
②
包含:
设
R
～

(rij
)nm
,
S
～

( sij
)nn ,
若rij sij (1 i n;1 j m),
则
R S
～
～
③
并:
设
R
～

(rij
)nn ,
S
～

( sij
)nm ,
若tij rij sij (1 i n;1 j m),
则
T
A u | A(u) , u U
则Aλ称为模糊子集A的λ截集,其中λ称为阈值或置信水 平.模糊子集A与它的λ截集的关系如图9-6.
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根据截集的定义，推出截集的性质:
( A B) A B
② ( A B) A B
③ 若1 , 2 0, 1 , 且1 2 ,则A1 A2
/
u5
,
则有 A B 0.9 0.2 0.7 0.5 0.4 0.8 0.1 0.3 0 0.1
～～
u1
u2
u3
u4
u5
0.9 / u1 0.7 / u2 0.8 / u3 0.3 / u4 0.1/ u5
A B 0.9 0.2 0.7 0.5 0.4 0.8 0.1 0.3 0 0.1
R
～

R

～
R
～
1 2





R
～
n


r11

r21

rn1
r12 r1m
r22

r2m


rn2

rnm

称为综合评判矩阵
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因素集U上的模糊子集可以用模糊向量A=(a1,a2,……,an)表示，
隶满属足度ai(i=1,2n,…ai … 1,n)表示各因素在综合评价中的份量，且 i 1
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二. 模糊综合评判方法
一、模糊综合评价基本步骤
设因素或指标集合为 U={u1,u2,……,un}
评语集合为
V={v1,v2,……,vm}
设第i个因素的单因素模糊评价为Ri=(ri1,ri2,…,rim)(i=1,2,…,n),
其中rij表示第i个因素对第j个评语的隶属度.n个模糊向量 R1,R2,…,Rn构成从U到V的模糊关系,模糊矩阵
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根据实际情况赋以不同等级评语uj规定值βj，以隶属度bj 为权数，被评事物的综合评价分值为
（9-3）
一般可取k=1，2.
模糊综合评价基本步骤
① 确定被评事物的因素论域 U u1, u2 ,, un;
② 确定评语等级论域 V v1 , v2 ,, vm ;
③ 单因素评价建立模糊综合评判矩阵R;
～
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同样,当论域U为无限集时,模糊子集A表示为
A
～
A(u) / u,(u U ) ～
U
其中“∫”也不表示积分.
有限集论域U上的模糊集也可以表示为
A
～

(A ～
(u1
),
A ～
(u2
),,
A ～
(un
))
2. 隶属函数的常见类型
① 偏小型(戒上型)
(u)
～～
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 / u1 0.5 / u2 0.4 / u3 0.1/ u4,
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和普通集合运算律类似,模糊子集交、并、余集满足下列运 算律：
① 交换律
AB B A
AB B A
② 结合律
A(B C) (A B)C A(B C) (A B) C
给定A，R后，通过模糊变换将U上的模糊向量A变为V上的 模糊向量B，即
(9-2)
其中，B称为综合评价向量，“◦”称为综合评判合成算子， 上式称为综合评判模型。
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几种常见的合成算子： ① M(∧,∨)型.
② M(·,∨)型.
③ M(·,+)型. 符号“·”、“+”分别表示实数乘法和加法运算.
③ 分配律
A(B C) (A B)(AC) A(B C) (A B)(AC)
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④ 吸收律 A ( A B) A A(A B) A
⑤ 对偶律 A B A B AB AB
4. 模糊子集和普通子集的转化
定义9.2 设A是论域U上的模糊子集,任取 0, 1,集合
④ 确定评价因素权向量A;
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⑤ 选择综合评价合成算子,并合成得到综合评价向量 B A R
⑥ 对评价结果B进行综合分析.
2.多层次模糊综合评价
多层次综合评价的步骤是:
① 对因素集合U按属性划分为若干子集.设U={u1,u2,……,un},
划分
U U1,U2 ,,Uk
～
(tij )nm

R S
～～
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④
交:
设
R
～

(rij
)nm
,
S
～

( sij
)nm
,
若tij rij sij (1 i n;1 j m),
则
T
～
(tij )nm

R S
～～
⑤ 余:
设
R
～

(rij
)nm
.则 R的 ～
余
矩
阵S ～
c

(1 rij )nm
A
U
0,
1 A
0.2A0.2
0.7A0.7
0.8A0.8
1 A1
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0.2(1 / u1 1 / u2 1 / u3 1 / u4 ) 0.7(1 / u1
1 / u2 1 / u4 ) 0.8(1 / u2 1 / u4 ) 1(1 / u4 )
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第一节 模糊综合评价方法
一. 模糊子集、模糊关系及其简单性质
设U表示一些对象的集合,称之为论域.论域U上的普通子集 A有明确的范围,对于任意元素u∈U, u或者属于A,u或者不 属于A,二者必居其一.普通子集A用特征函数表示为:
1, u A vA(u) 0, u A
1 [a(u c)]b
1 ,

1,
uc uc
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其中, c∈U 是任一点,参数a>0,b>0.图形如图9-2.
② 偏大型(戒下型)
(u)


0, 1 [a(u c)b
1 ,
uc uc
其中, c∈U 是任一点,参数a>0,b>0.图形如图9-3.
RT S T
TRTS
② 结合律 (R S) T R (S T )
③ 分配律
(R S)T (RT)(S T) T (R S) (T R) (T S)
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6. 模糊变换
设论域U,V均为有限集,
U={u1,u2,……,un},V={v1,v2,……,vm}.U上的模糊子集可以表 示为n维模糊向量
r11 r12 r1m
R
～

(rij )nm


r21

r22

r2
m


rn1
rn2

rnm

根据模糊矩阵的合成运算,模糊关系R确定了一个变换.根 据这个变换,对U上任意一个模糊子集A,有V上的一个模糊子 集与之对应,即
B A R
～ ～～
则称R导出了从U到V的模糊变换.
定义9.1 设 ～ A是论域U上的一个模糊子集,对任意 u∈U ,
都对应一个数 A(u) 0,
值函数
1,称之为元素u对 A的隶属度,实 ～
A : U 0, 1
u A(u)
称为 ～ A隶属函数.
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[例9-1] 以年龄为论域,U=[0,100],以A表示模糊子集“年 轻”.一般认为25岁以下的人均为年轻,超过25岁的人“年轻” 程度逐年下降.A的隶属函数为
③ 余集. 如果A余集是 A,则有 A(u) 1 A(u)
④ 并集. 如果A、B的并集是 A B ,则有
AB (u) max[ A(u), B (u)] A(u) B (u)
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⑤ 交集. 如果A、B的交集是A B ,则有
AB (u) min[ A(u), B (u)] A(u) B (u)
R u, v| uU,v V;0 R(u, v) 1
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其中 Ru, v:U V 0, 1;(u, v) R(u, v)
模糊矩阵的主要运算法则:
①
相等:
设
R
～

(rij
)nm ,
S
～

( sij
)nm ,
若rij sij (1 i n;1 j m),
模糊子集的并集A B 和交集 A B可以用图9-5表示 曲线1,2表示并集
曲线3，4表示交集
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[例9-2] 设U={u1,u2,u3,u4,u5},
A
～

0.9
/
u1

0.7
/
u2

0.4
/
u3

0.1
/
u4
,
B
～

0.2
/
u1

0.5
/
u2

0.8
/
u3

0.3
/
u4

0.1
0.7 / u1 0.8 / u2 0.2 / u3 1 / u4
5. 模糊关系与模糊矩阵
设U,V为论域,U和V中任意元素所构成的元素对(u,v)的集合, 称为迪卡尔积,记作
U V u, v| u U , v V
定义9.4 U×V上的一个模糊子集,称为U到V上的一个模糊 关系,记作R.即
k
划分应当满足 Ui U ,Ui U j , i j. 第二层次因
A
～

(
A ～
(u1
),
A ～
(
u2
),,
A ～
(un
))
(a1, a2 ,, an )
同样，V上的模糊子集也可以表示为m维向量
B
～

(B ～
(v1
),
B ～
(v2
),,
B ～
(vm
))
(b1 , b2 ,, bm )
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设U到V上的一个模糊关系为R,其模糊矩阵为
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③ 中间型(正态型)
(u) ea(uc)2
其中, c∈U 是任一点,参数a>0.图形如图9-4,表示充分 接近元素c的模糊集.
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3.模糊子集的运算
设A,B为论域U上的模糊子集,模糊子集的主要运算法则是:
① 相等. 如果A=B,则有 A (u) B (u) ② 包含. 如果A B ,则有 A (u) B (u)
糊子集,其隶属函数为
A
(u)



0
u A u A
λA称为λ与A的积.
定理9.1 设A是U上的模糊子集, 0, 1,则
A
～

U
0,1
A
（9-1）
[例 9-3]设U={u1,u2,u3,u4},
A
～

0.7
/
u1

0.8
/
u2

0.2
/
u3

1
/
u4
,
根据定理9.1可以得到
就退化为普通子集,隶属函数就变为特征函数.因此,普通子集 就是模糊子集的特例.
当论域U为有限集时,模糊子集A表示为
A
～

A ～
(u1)/ຫໍສະໝຸດ u1A ～
(u2
)
/
u2


A ～
(un
)
/
un
n
A(ui ) /(ui ),(ui U , i 1,2,, n) i1 ～
这里,“∑”不表示数字和, A (ui ) / ui 也不表示分数,而 是表示模糊集中的元素ui及其对应的隶属度 A(ui )
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模糊子集A特殊的截集：
当λ=1时,截集A1的范围最小,称为模糊子集A的核; 当λ→0+时,得到范围最大的集合,称为A的支集,记作
Supp A u | A (u) 0, u U
如图9-7.
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定义9.3 设A是U上的普通子集, 0, 1, λA是一个模

1,

A
(u)


1


u
25 5
2


1
,
0 u 25 25 u 100
其图形如图9-1所示.
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30岁的人在多大程度上属于“年轻”这个范畴,容易计算
A(30) 0.5 即30岁的人隶属“年轻”集合的程度为
当模糊子集的0.隶5.属函数A (u)的取值仅为0或1时,模糊子集