新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：4.4.2+第2课时+对数函数的图象和性质(二)

4.4　对数函数
4.4.2　对数函数的图象和性质
第2课时　对数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
必备知识·探新知
对数型复合函数的单调性
复合函数y ＝f [g (x )]是由y ＝f (x )与y ＝g (x )复合而成，若f (x )与g (x )的单
调性相同，则其复合函数f [g (x )]为__________
；若f (x )与g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为__________.
对于对数型复合函数y ＝log a f (x )来说，函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
增函数 基础知识
知识点1减函数
知识点2
对数型复合函数的值域
对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝log a u 的单调性求解．
1．函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(0,1)
D ．(1，＋∞)
[解析]　由对数函数的单调知识易知0<a <1. C 基础自测
A
3．(2019·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区A
间是( )
A．(－∞，－1)B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)D．(3，＋∞)
[解析]　令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A．
A
关键能力·攻重难
题型一　对数型复合函数的单调性
讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．
[分析]　求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．题型探究
[归纳提升]　1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数单调性
y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数
μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数
y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数
A
[解析]　由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．
题型二　对数型复合函数的值域
[归纳提升]　1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝log a u的单调性求解．
A 【对点练习】❷函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( ) A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)
[解析]　∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f (x )＝log a (x ＋
1)－log a (1－x )(a >0且a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性并加以证明．
[分析]　(1)函数奇偶性判断的方法是什么？(2)对数的运算法则是什么？题型三　对数型复合函数的奇偶性
例 3
[归纳提升]　判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
A
忽视对数函数的定义域
若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(0,2)
D ．(1，＋∞) B 例 4 误区警示
[错解]　错解一：因为函数f(x)＝log a(2－ax)在[0,1]上是减函数，根据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A．
错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝log a(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝log a u为增函数，从而得a>1，故选D．
[错因分析]　在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解]　令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，当x∈[0,1]时，u min＝2－a>0，解得a<2.
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝log a(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝log a u为增函数，所以a>1.
综上可得1<a<2，故选B．
[方法点拨]　对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．
学科素养
[分析]　(1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．
[归纳提升]　(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝log a f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
课堂检测·固双基
素养作业·提技能。