初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题（附答案详解） 1．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=
12
x 2
的图象相同的抛物线所对应的函数是( )A ．y=
12(x-6)2 B ．y=1
2
(x+6)2 C ．y=-
1
2(x-6)2 D ．y=-
1
2
(x+6)2 2．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点坐标为（ ） A ．（1，3）
B ．（－1，4）
C ．（－1，3）
D ．（1，4）
3．二次函数2y ax bx c =++与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系内的大致图象是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y=﹣x 2+4x+2的一部分，曲线BC 是双曲线y=
k
x
的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P （2017，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，连结PQ ，则四边形PMNQ 的面积为（ ）
A ．72
B ．36
C ．16
D ．9 5．已知两点均在抛物线上，点
是
该抛物线的顶点，若，则
的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．将抛物线y ＝2x ²向右平移4个单位，再向上平移3个单位，得到的图象的表达式为( )
A ．y ＝2(x －4)²－3
B ．y ＝2(x ＋4)²＋3
C ．y ＝2(x －4)²＋3
D ．y ＝2(x ＋4)²－3 7．对于函数的图象，下列说法不正确的是( ) A ．开口向下
B ．对称轴是
C ．最大值为0
D ．与轴不相交
8．已知点（-2，1y ），（0，2y ），（1，3y ）都在函数2y x =的图象上，则( )
C ．3y ＞2y ＞1y
D ．2y ＞1y ＞3y
9．抛物线向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
10．若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ） A ．y=5（x ﹣2）2+1
B ．y=5（x+2）2+1
C ．y=5（x ﹣2）2﹣1
D ．y=5（x+2）2﹣1
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
12
y x =可通过平移变换向__________得到抛物线2
122
y x x =
-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．
12．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2
+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．
13．已知二次函数y =（x ﹣3）2+4，当x ≤1时y 随x 的增大而________．
14．将二次函数y=x 2﹣2x ﹣5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为y=______________． 15．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为__．
16．若抛物线y ＝x 2－kx ＋k －1的顶点在轴上，则k ＝ ． 17．把抛物线21
(1)22
y x =
-+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为_____．
18．把抛物线y=-x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得的抛物线
解析式为______.
19．小萌利用描点法画抛物线2y ax bx c =++时列出的部分数据如下表：
x
0 1 2 4 y
3
-3
-5
3
请你根据上述信息写出：当x =3时，则y 的值为_________.
20．如果抛物线y=（2+k ）x 2﹣k 的开口向下，那么k 的取值范围是_____．
21．已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y 轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．
22．已知，在平面直角坐标系中，点A, B 的坐标分别是(a, 0)，(b, 0)且420a b ++-=. (1)求a, b 的值;
(2)在y 车由上是否存在点C ，使三角形ABC 的面积是12?若存在，求出点C 的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)已知点P 是y 车由正半轴上一点，且到x 车由的距离为3，若点P 沿x 轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点Q ，当运动时间t 为多少秒时，四边形ABPQ 的面积S 为15个平方单位?写出此时点Q 的坐标.
23．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠2
12
y x x c =++的大致图象如题19图所示，根据该二次函数图象回答问题： （1）写出二次函数对称轴方程； （2）当x 取什么值时，y > 0.
24．已知直线y=2x ﹣5与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 的顶点M 在直线AB 上，且抛物线与直线AB 的另一个交点为N ． （1）如图，当点M 与点A 重合时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求点N 的坐标和线段MN 的长；
（3）抛物线y=﹣x 2+bx+c 在直线AB 上平移，是否存在点M ，使得△OMN 与△AOB
相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A(－2，
0)，与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标．
26．佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x 轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象．
x …﹣3 ﹣5
2
﹣2 ﹣
3
2
﹣
1
﹣
1
2
1
2
1
3
2
2 …
y …﹣8 ﹣
21
8
5
8
m ﹣
9
8
﹣2 ﹣
15
8
35
8
12 …
（1）直接写出m的值，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有个，分别为；
（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．
27．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上，OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD=1.25．
（1）求直线AC的解析式．
（2）在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得△DMC为等腰三角形？若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线y=-x2经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上）,且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O/处？
28．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，B作x轴的垂
线交抛物线y＝x2于点C，D，直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F.点E，F的纵坐标分别为y E，y F.
(1)特例探究(填空)：
当m＝1，n＝2时，y E＝____，y F＝____；
当m＝3，n＝5时，y E＝____，y F＝____．
(2)归纳证明：对任意m,n(n>m>0)，猜想y E与y F的大小关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：连结EF，AE，当S四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m与n的关系及四边形OFEA的形状．
参考答案
1．B
【解析】
可设抛物线解析式为y=a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案．解：∵顶点为(−6,0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+6)2，
∵开口方向,形状与函数y=1
2
x2的图象相同，
∴a=1
2
，
∴抛物线解析式为y=1
2
(x+6)2，
故选B.
2．D
【解析】
【分析】
已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】
根据配方法，把函数配方可得：y=-x 2+2x＋3=-x2+2x-1+4=（x-1）2+4，
故顶点的坐标是（1，-4）．
故选D．
3．D
【解析】
A. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a>0，c<0，a的值矛盾，故本选项错误；
B. 由抛物线知，a>0，c<0；由直线知a>0，c>0，c的值矛盾，故本选项错误；
C. 由抛物线知，a>0，c>0；由直线知a<0，c<0，a的值矛盾，故本选项错误；
D. 由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确。

故选D.
4．B
【解析】
试题解析：如图所示，A，C之间的距离为6，
2017÷6=336…1，故点P 离x 轴的距离与点P'离x 轴的距离相同， 在y=-x 2+4x+2中，当x=1时，y=5，即点P'离x 轴的距离为5， ∴P'M'=5，
2025-2017=8，故点Q 与点P 的水平距离为8，
即M'N'=MN=8，点Q 离x 轴的距离与点Q'离x 轴的距离相同，
由题可得，抛物线的顶点B 的坐标为（2，6），故A ，B 之间的水平距离为6，且k=12， ∵点D 与点Q'的水平距离为1+8-6-2=1，点C 与点Q'的水平距离为1+2=3， ∴在y=
12
x
中，当x=3时，y=4，即点Q'离x 轴的距离为4， ∴Q'N'=4，
∵四边形P'M'N'Q'的面积为
84+52
（）
=36， ∴四边形PMNQ 的面积为36， 故选B ． 5．B 【解析】
∵点C(x 0，y 0)是抛物线的顶点，y 1>y 2⩾y0， ∴抛物线有最小值，函数图象开口向上， ∴a>0；∴25a−5b+c>9a+3b+c ，
∴2b
a <1， ∴−2b
a
>−1， ∴x 0>−1
∴x 0的取值范围是x 0>−1. 故选：B.
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.
【解析】抛物线y=2x 2的顶点坐标为(0，0)， ∵向右平移4个单位，再向上平移3个单位，， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(4，3)， ∴平移后的抛物线解析式为y=2(x−4)2+3. 故选：B. 7．D 【解析】
试题分析：根据二次函数的性质即可一一判断． 对于函数y=﹣2（x ﹣m ）2的图象，
∵a=﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x=m ，顶点坐标为（m ，0），函数有最大值0， 故A 、B 、C 正确， 故选D ．
考点：二次函数的性质；二次函数的最值. 8．A 【解析】
函数2
y x =的图象的对称轴是y 轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大.
因为|-2|＞1＞0，所以y 1＞y 3＞y 2. 故选A. 9．A 【解析】
试题解析：y=3x 2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为y=3（x ﹣3）2﹣3， 故选：A ．
点：二次函数图象与几何变换． 10．A 【解析】
试题解析：将抛物线2
5y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,
得到的抛物线的解析式是()2
52 1.y x =-+
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减. 11．先向右平移2个单位再向下平移2个单位； 4 【解析】
2211
22222
y x x x =
-=--. 平移后顶点坐标是（2，-2），
利用割补法，把x 轴上方阴影部分补到下方，可以得到矩形面积,面积是224⨯=. 12．y 1＜y 2
【解析】把A （3，y 1）、B （4，y 2）代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10，y 2=17，所以y 1＜y 2. 13．减小；
【解析】试题解析：由y =（x ﹣3）2+4可知其图象开口向上，对称轴为直线x=3， 故当x ≤1时y 随x 的增大而减小. 14．（x ﹣1）2﹣6 【解析】
y=x 2﹣2x ﹣5=x 2-2x+1-1-5=(x-1)2-6. 故答案为(x-1)2-6.
点睛：利用配方法将二次函数y=ax 2+bx+c 转化为y=a （x-h ）2+k （顶点式）的形式，配方过
程为y=ax 2
+bx+c=a(x 2
+b a x)+c=a(x 2
+b a x+224b a )+c-24b a =a(x+2b a )2+244ac b a
-，其中h=-2b a ，
k=2
44ac b a
-.
15．（4，0） 【解析】
试题分析：根据二次函数图象的对称性，即可得出答案. 解：∵抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称， 又∵抛物线的对称轴为x =1，一个交点坐标为（-2，0）， ∴另一个交点坐标为：（4 ，0）. 故答案 为：（4 ，0）. 16．k=2
【解析】
试题分析：顶点在x 轴上，则说明图象与x 轴只有一个交点，即2
()k -－4(k －1)=0，解得：
k=2.
考点：二次函数的顶点. 17．2
12
y x =
． 【解析】
y =
12（x －1）2+2向左平移1个单位后得到的解析式为y =1
2
x 2+2，再向下平移2个单位，得到的解析式为y =1
2
x 2.
点睛：二次函数平移的时候首先要将二次函数解析式化为顶点式，若是左右平移，则在括号里面加减，左加右减；若是上下平移，直接在解析式最后加减，上加下减.
18．2
y -x 13=+-（）
【解析】
将抛物线y=-x 2先向左平移1个单位得到：y=-（x+1）2， 再向下平移3个单位得到：y=-（x+1）2-3． 故答案是：y=-（x+1）2-3．
19．-3 【解析】
根据二次函数的对称性确定出对称轴为直线x=2，再根据二次函数的对称性可得x=1与x=3时的函数值相等.
解：∵x=0和4时的函数值都是3， ∴函数的对称轴为直线x=2， ∴x=1与x=3时的函数值相等， ∵x=1时，y=-3， x=3时，y=-3， 故答案为：-3.
“点睛”本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，根据图表信息求出对称轴是解题的关键. 20．k ＜﹣2
【解析】∵抛物线的开口向下， ∴2+k <0, ∴k <-2.
21．2
1(3)13
y x =--- 【解析】
试题分析：根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a ，即可求出答案． 试题解析：
设抛物线解析式为y =a （x -3）2-1， 把（0，-4）代入得：-4=9a-1， 解得a=-
13
， 则抛物线解析式为()2
1313
y x =---． 22．见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据二次根式与绝对值的非负性可得a+4=0，b-2=0，解得a=-4，b=2； （2）设点C 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式可解得h=4，要考虑点C 在y 轴正半轴与负半轴两种情况；
（3）先根据四边形ABPQ 的面积积S ＝1
2
(6+PQ )×3＝15解得PQ=4，再求得点Q 的坐标为（-4，3）．
试题解析：（1）根据题意，得 a+4=0，b-2=0， 解得a=-4，b=2；
（2）存在．设点C 到x 轴的距离为h ， 则S △ABC ＝
12AB •h ＝12
×6h ＝12解得h=4， 所以点C 的坐标为（0，4）或（0，-4）； （3）四边形ABPQ 的面积S ＝
1
2
(6+PQ )×3＝15解得PQ=4． 点P 沿x 轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点Q ，所以点Q 的坐标为（-4，3）． 23．(1) 1
2
x =
；(2) 当x ＜ -1 或 x ＞2时, y ＞0.
【解析】 试题分析：
（1）由抛物线与x 轴相交于点（-1，0）、（2，0）可知其对称轴为直线1
2
x =
； （2）求y ＞0时的x 的取值范围，就是求函数图象位于x 轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，由此结合图形可得答案. 试题解析：
(1)∵抛物线与x 轴两个交点(-1,0),(2,0)是关于抛物线的的成轴对称的，
∴此抛物线的对称轴是直线：12
2x -+=，即12
x =； (2)由图可知： 当x ＜ -1 或 x ＞2时, y ＞0.
24．（1）y=﹣x 2+5x ﹣25
4
；（2）3）M 点的坐标为（2，﹣1）或（4，3）． 【解析】
试题分析：（1）①首先求得直线与x 轴，y 轴的交点坐标，利用二次函数的对称轴的公式即可求解；
②N 在直线上同时在二次函数上，因而设N 的横坐标是a ，则在两个函数上对应的点的纵坐标相同，据此即可求得a 的值，即N 的坐标，过N 作NC ⊥x 轴，垂足为C ，利用勾股定理即可求得MN 的长；
（2）△AOB 的三边长可以求得OB =2OA ，AB y =-x 2+bx+c
在直线AB 上平移，则MN 的长度不变，根据（1）的结果是MN 是AB 边上的高的二倍，当OM ⊥AB 或ON ⊥AB 时，两个三角形相似，据此即可求得M 的坐标． 试题解析：（1）①∵直线y =2x -5与x 轴和y 轴交于点A 和点B ， ∴A (
5
2
，0)，B （0，-5）． 当顶点M 与点A 重合时， ∴M (
5
2
，0)． ∴抛物线的解析式是：y ＝−(x −
52
)2．即y ＝−x 2+5x −254．
②∵N 在直线y =2x -5上，设N （a ，2a -5），又N 在抛物线y ＝−x 2+5x −25
4
上， ∴2a −5＝−a 2+5a −
25
4
． 解得 a 1＝
12，a 2＝5
2
（舍去） ∴N (
1
2
，−4)． 过N 作NC ⊥x 轴，垂足为C ． ∵N (
1
2，−4)， ∴C (
1
2
，0)． ∴NC =4． MC ＝OM −OC ＝
52−1
2
＝2．
∴MN ； （2）设M （m ，2m -5），N （n ，2n -5）． ∵A (
5
2
，0)，B （0，-5），
∴OA=
52，OB=5，则OB=2OA ，= 当∠MON =90°时，∵AB≠MN ，且MN 和AB 边上的高相等，因此△OMN 与△AOB 不能全等， ∴△OMN 与△AOB 不相似，不满足题意．
当∠OMN =90°时，OA OM
OB MN
＝，即12，解得
则m 2+（2m -5）2=2，解得m =2， ∴M （2，-1）；
当∠ONM=90°时，OA ON
OB MN
＝，即
1
2
ON
MN
＝，解得ON=5，
则n2+（2n-5）2=（5）2，解得n=2，
∵OM2=ON2+MN2，
即m2+（2m-5）2=5+（25）2，
解得：m=4，
则M的坐标是M（4，3）．
故M的坐标是：（2，-1）或（4，3）．
【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到MN是AB边上的高的二倍，当OM⊥AB或ON⊥AB时，两个三角形相似是解题的关键．
25．(1) 抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 ；(2) M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4).
【解析】
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－2，0)，∴0＝4a－2b＋4，∵对称轴是直线x ＝3，∴－＝3，即6a＋b＝0，关于a，b的方程联立解得 a＝－，b＝，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4 (2)∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC＝MN.①N点在M点下方，即M点向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合．设M1(x，－ x2＋x＋4)，则N1(x＋3，－ x2＋x)，∵N1在x轴上，∴－x2＋x＝0，解得 x＝0(M与C重合，舍去)，或x＝6，∴x M＝6，∴M1(6，4)；②M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合．设M(x，－ x2＋x＋4)，则N(x－3，－ x2＋x＋8)，∵N在x轴上，∴
－x2＋x＋8＝0，解得 x＝3－，或x＝3＋，∴x M＝3－或3＋.∴M2(3－，－4)或M3(3＋，－4)．综上所述，M的坐标为(6，4)或(3－，－4)或(3＋，－4) 26．（1）0；画图见解析；（2）3；﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1．
【解析】
【分析】
（1）求出x=﹣1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题．
【详解】
解：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=0．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1．
故答案为：3；﹣2，或﹣1或1；
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围．
观察图象可知，﹣2＜x ＜﹣1或x ＞1． 27．（
1）112y x =-
+;（2）(
)
12355500052384P P P ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
--+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
，，，，，或
(
)
30452P ⎛⎫
⎪- ⎪
-⎝
⎭，;（3）12x =或2
【解析】 【分析】
(1)用待定系数法求解析式;(2)根据等腰三角形性质求解;(3) 设()'1O x ，
,根据折叠性质可得'OD O D =;2
2
55144x ⎛
⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.
【详解】
解：（1）OA=1，OC=2
则A 点坐标为（0，1），C 点坐标为（2，0） 设直线AC 的解析式为y=kx+b
01
20
b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得121
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴直线AC 的解析式为1
12
y x =-
+ （2）(
)
12355500052384P P P ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
--+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，，，，，或(
)
30452P ⎛
⎫ ⎪-
⎪
-⎝
⎭， （3）如图，设()'1O x ，
过'O 点作'O F OC ⊥于F
2
2225''14O D O F DF x ⎛
⎫=+=+- ⎪⎝
⎭
由折叠知'OD O D =
22
55144x ⎛
⎫⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12
x ∴=
或2 【点睛】
二次函数与一次函数结合.
28．(1) 当m ＝1，n ＝2时，yE ＝__2__，F y ＝__2__；当m ＝3，n ＝5时，E y ＝__15__，
yF ＝__15__．
(2) E y =F y .证明见解析．
(3) n ＝2m,四边形OFEA 为平行四边形.
【解析】
分析：（1）已知A 、B 的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C 、D 的坐标，进而能求出直线OC 、OD 的解析式，也就能得出E 、F 两点的坐标，再进行比较即可．（2）已知A 、B 的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C 、D 的坐标，进而能求出直线OC 、OD 的解析式，也就能得出E 、F 两点的坐标，再进行比较即可．（3）四边形OFEA 的面积可分作△OEF、△OEA 两部分，根据给出的四边形和△OFE 的面积比例关系，能判断出EF 、OA 的比例关系，进而得出m 、n 的比例关系，再对四边形OFEA 的形状进行判定． 本题解析：
(1) 当m ＝1，n ＝2时，y E ＝__2__，y F ＝__2__；当m ＝3，n ＝5时，y E ＝__15__，y F ＝__15__. (2)∵点C 为抛物线y ＝x 2上的点，AC ⊥x 轴，∴x C ＝x A ＝m ，∴点C (m ，m 2)． 易求得直线y OC ＝mx ， 又∵x E ＝n ，∴y E ＝mn .
同理，点D (n ，n 2)，易求得直线y OD ＝nx ， ∴y F ＝nm ＝mn .∴y E ＝y F .
(3)∵y E ＝y F ，AF ⊥x 轴，BE ⊥x 轴， ∴AF ＝BE ，AF ∥BE ，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴EF∥OB，EF＝AB＝n－m.
∴S四边形OFEB＝1
2
(n－m＋n)·y E＝
1
2
(2n－m)·y E，S△OFE＝
1
2
(n－m)·y E.
∵S四边形OFEB＝3S△OFE，
∴1
2
(2n－m)·y E＝3×
1
2
(n－m)·y E，
∴2n－m＝3(n－m)，∴n＝2m.
此时EF＝n－m＝2m－m＝m＝OA，
∴EF平行且等于OA，∴四边形OFEA为平行四边形．。