江苏数学试题

2014年江苏省数学高考试卷
数学（Ⅰ）
一、填空题 1.
已
知
集
合
{}2,1,3,4A =--，{}
1,2,3B =-，则
A B ⋂= 。

2.已知复数2(52)Z i =-（i 为虚数单位），则复数Z 的实部是 。

3.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 。

4.从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 。

5.已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3
π的交点，则ϕ的值是 。

6.某种树木的底部周长的取值范围是[]90,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm..
7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，
8642a a a =+，则6a 的值是 。

8.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且
129
4
S S =，则1
2
V V 的值是 。

9.在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22
(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长
为 。

10.已知函数2
()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的
底部周长 cm
第6题图
取值范围为 。

11. 在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2
b y ax x
=+
（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += 。

12.如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=
，则
AB AD ⋅
的值是 。

13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，2
1
()22
f x x x =-+
，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 。

14.若ABC ∆
的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 。

二、简答题 15.
已知sin 25παπα⎛⎫
∈= ⎪⎝⎭
，，。

（1）求sin(
)4π
α+的值；
（2）求5cos(2)6
π
α-的值。

16.如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知
,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===，
求证（1）直线PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC 。

A
D
C
B
P
D
P
17.如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，
顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1
FC 。

（1）若点C 的坐标为41(,)33
，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值。

18.如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3
BCO ∠=。

（1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
19.（满分16分）已知函数()x x f x e e -=+，其中e 是自然对数的底数。

（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式()1x mf x e m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3
000()(3)f x a x x <-+成立，
试比较1
a e -与1
e a
-的大小，并证明你的结论。

20. （满分16分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”。

（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”。

（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得
n n n a b c =+*()n N ∈成立。

数学（Ⅱ）附加题
21.（每题10分）
A ．如图，A
B 是圆O 的直径，CD 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明OCD D ∠=∠
A B D
C
O
B ．已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，,x y 是实数，若Aa Ba = ，求,x y 的值。

C ．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l
的参数方程122
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t
为参数）
，直线l 与抛物线24y x =相交于AB 两点，求线段AB 的长。

D ．已知0,0x y >>，证明22(1)(1)9x y x y xy ++++≥
22. （10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同。

（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；
（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X 。

23. （10分）已知函数0sin ()(0)x
f x x x
=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()2
22
f f ππ
π
+
的值； （2）证明：对任意*
n N ∈
，等式1()()4
442
n n nf f ππ
π-+
=
都成立。