(大学试卷)数值分析B答案及评分标准

《数值分析》考试卷B
适用专业：计信081考试日期：2011年6月
试卷所需时间：2小时 闭卷 试卷总分 100
一、 填空题： （6小题共10空每空2分，共20分）
1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有2位有效数字.
2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.( 1,0)
4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.()
('1)
(1
n n n
n n x f x f x x x ---=+) 5、设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1
==∞
A
A
，
____________,2
==A
A
F
.(6; 7; 5.477; 5.46)
6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为 .
（U L D A U L D J J --=+=
<-),(,1)(1ρ）
二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）
1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).
2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).
3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).
4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).
5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).
6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √
7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到√ ). 8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).
9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).
10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).
三、（10分）已给sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线
性插值 及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：
330365
.00167.002
.001892
.0314567.0)
3367.0()3367.0(3367.0sin 00
10
101=⨯+
=---+
=≈x x x y y y L 3分
截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 5分 用抛物插值计算：
Sin0.3367=0.330 374； 8分
误差：62100132.20233.0033.00167.09493.06
1
)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤
R 10分 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，
P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.
解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，
五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h
h ++-≈--⎰中的待定参数，
使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.
解：)(3
)0(34)(3
)
(h f h
f h h f h
dx x f h
h
++
-≈⎰- 8分 具有3次代数精度. 10分
六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组
解：
七、（10分）设线性方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++3
8.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ， 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵
1
0928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(2
1>=-+-=-⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J J J
B B I U L D B ρλλλλ 3分 所以，雅可比迭代法不收敛. 5分 (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵
1
8.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞
-B
B U L D B s s
ρ 8分 所以 ，高斯—赛德尔迭代法收敛. 10分
八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下
列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）2
1
1x x +
=，迭代公式2
11
1k
k x x +
=+；
（2）123+=x x ，迭代公式3
211+=+k k x x ；
（3）1
1
2-=
x x ，迭代公式1
1
1-=+k k x x ；
试分析每种迭代公式的收敛性.
解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].
(1)当]6.1,
3.1[∈x 时，],6.1,3.1[1
1)(2
∈+=x
x ϕ，
1910.03
.12
2
)('2
3
<=≈≤
-
=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. 3分
(2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(3
1
2∈+=x x ϕ，
1522.0)3.11(36.12)
1(3
2)('3
2
3
22<=≈+⨯≤
+=
L x x
x ϕ，故迭代3
2
11+=
+k k x x 在
[1.3,1.6]上整体收敛. 6分
(3)当]6.1,
3.1[∈x 时，],6.1,3.1[1
1
)(∈-=x x ϕ，
1)
16.1(21
)1(21)('2
3
>->
--
=x x ϕ，故迭代1
1
1-=
+k k x x 在[1.3,1.6]上整
体发散. 10分。