2020版高考数学一轮复习第十一章概率随机变量及其分布11.3二项分布及其应用学案解析版

§11.3二项分布及其应用
最新考纲考情考向分析
1.了解独立事件的概念.
2.了解独立重复试验的模
型及二项分布.
以了解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分
布概率模型的应用.识别概率模型是解决概率问题的关键.在高
考中，常以选择、填空题的形式考查，难度为中低档.
1.相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立.
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立.
2.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率.
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
概念方法微思考
“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相互独立事件就是互斥事件.( ×)
(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( × )
(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n
二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × ) 题组二 教材改编
2.[P55T3]天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.
3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56 答案 C
解析 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.
3.[P69B 组T1]抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________. 答案
50
9
解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝4
9，所以至少有一次出
现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，59，E (X )＝10×59＝50
9.
题组三 易错自纠
4.两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和3
4，两个零件能否被加工成
一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16 答案 B
解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和3
4
，
且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P ＝23×14＋13×34＝5
12
.
5.小王通过英语听力测试的概率是1
3，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A.49
B.29
C.427
D.227 答案 A
解析 所求概率P ＝C 1
3·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－133－1＝49.
6.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为1
4，假定两人的行动相互之
间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 答案 1
2
解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A B )
＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1
2
，
“甲、乙两人至少有1人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙两人都不去北京旅游”， 故所求概率为1－P (A B )＝1－12＝1
2.
题型一 相互独立事件的概率
例1 (2018·温州“十五校联合体”期中联考)一个口袋中装有n 个红球(n ≥4且n ∈N *
)和5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖. (1)若一次摸两个球，其中奖的概率为4
9
，求n 的值；
(2)若一次摸一个球，记下颜色后，又把球放回去.当n ＝4时，求两次摸球中奖的概率. 解 (1)一次摸奖从n ＋5个球中任选两个，有C 2
n ＋5种，它们等可能，其中两球不同色有C 1n C 15种，一次摸奖中奖的概率P ＝1－10n (n ＋5)(n ＋4)＝n 2
－n ＋20n 2＋9n ＋20
.
由n 2－n ＋20n 2＋9n ＋20＝49
，得n ＝4或n ＝5. (2)若n ＝4，两次摸球(每次摸球后放回)中奖的概率是
P ＝49×49＋59×59＝4181
.
思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立. (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12B.35C.23D.34 答案 D
解析 设A i (i ＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i 局获胜；B 事件表示甲队获得冠军， 则B ＝A 1＋A 1A 2，
∴P (B )＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＝12＋12×12＝3
4.
题型二 独立重复试验
例2 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为1
2，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－12
2
＝38，
P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
1
＝38
， P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
0＝18
，
P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
120×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－12
3
＝18
. 所以X 的分布列为
(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1
8.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫183
＝1－1512＝511512.
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511
512
.
思维升华在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率.
跟踪训练2投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.360 D.0.312
答案 A
解析 所求概率为C 2
3×0.62
×0.4＋0.63
＝0.648. 题型三 二项分布及其均值、方差
例3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为1
10
和p .
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49
50
，求p 的值；
(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ).
解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15
.
(2)由题意，得随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1103
＝11000
，
P (ξ＝1)＝C 13⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－110×⎝ ⎛⎭
⎪⎫110
2
＝271000
， P (ξ＝2)＝C 23×⎝
⎛
⎭
⎪⎫
1－110
2
×110＝243
1000
，
P (ξ＝3)＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－110
3＝
729
1000
. ∴随机变量ξ的分布列为
故随机变量ξ
E (ξ)＝0×
11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710
. ⎝
⎛⎭⎪⎫或∵ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，910，∴E (ξ)＝3×910＝2710. 思维升华在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率，列出分布列.
跟踪训练3(2018·台州模拟)有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为1
3.假设每题答
对与否相互独立，记ξ为该考生答对的题数，η为该考生的得分，则P (ξ＝9)＝________，
E (η)＝________.(用数字作答)
答案 2
9
32
解析 ξ＝7，8，9，10，
P (ξ＝9)＝C 23⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
2
×23＝3×19×23＝29
；
η＝28，32，36，40， P (η＝28)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23
3＝827
，
P (η＝32)＝C 13
×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝4
9
，
P (η＝36)＝C 23⎝ ⎛⎭
⎪⎫13
2
×23＝29
， P (η＝40)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13
3＝127
，
所以E (η)＝28×827＋32×49＋36×29＋40×1
27＝32.
1.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为3
5和
1
4
，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.1120 答案 D
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14×⎝
⎛⎭⎪⎫1－35＝11
20，故选D.
2.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25B.35C.18125D.54125 答案 D
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P 1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝54125
.
3.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( ) A.100 B.200 C.300 D.400
答案 B
解析 记不发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1000，0.1)， ∴E (Y )＝1000×0.1＝100.又X ＝2Y ， ∴E (X )＝E (2Y )＝2E (Y )＝200.
4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )
A.C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582
B.C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582
C.C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭
⎪⎫382
D.C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
答案 D
解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球， 因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582.
5.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1
4.现在三人同时
射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34B.23C.45D.7
10 答案 A
解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生.又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－
P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－12×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－13×⎝
⎛⎭⎪⎫1－14
＝14
.
故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝3
4
.
6.(2019·湖州质检)设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2
＋4x ＋X 存在
零点的概率是( ) A.56B.45C.3132D.12 答案 C
解析 ∵函数f (x )＝x 2
＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.
∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，12， ∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝31
32
.
7.(2018·杭州四校联考)若ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，D (ξ)＝32，则n ＝________，E (ξ)＝________. 答案 6 3
解析 由D (ξ)＝32＝n ×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－12，
得n ＝6，E (ξ)＝6×1
2
＝3.
8.(2018·杭州高考仿真测试)一个盒子中有大小形状完全相同的m 个红球和6个黄球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为X ，若E (X )＝3，则m ＝________，P (X ＝2)＝________. 答案 9
144625
解析 由题意知每次随机抽出1个球为红球的概率为m
m ＋6，所以X ～B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
5，m m ＋6，则由E (X )＝3，得5·
m
m ＋6＝3，解得m ＝9，所以m m ＋6＝3
5
， 所以P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－353＝144625
.
9.4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为1
2.若每队赢的场数各不相同，则共
有________种结果；其概率为________.
答案 24 3
8
解析 ∵4支足球队两两比赛，一定有胜负，每队赢的概率都为0.5，并且每队赢的场数各不相同，
∴4队比6场只考虑胜场，且各不相同，胜场分别为0，1，2，3，∴共有A 4
4＝4×3×2×1＝24种结果，
∴概率为P ＝A 44⎝ ⎛⎭⎪⎫126
＝38
.
10.若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率是________. 答案 29
解析 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有3×3＝9(种)不同的放法，其中在1，2号盒子中各有一个球的结果有2种，故所求概率是29
. 11.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝5
9，则P (Y ≥1)＝________.
答案
1927
解析 ∵X ～B (2，p )，
∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2
＝59，
解得p ＝1
3
.又Y ～B (3，p )，
∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3
＝1927
.
12.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响. (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列.
解 (1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A
B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－
0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.
(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3. ∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，
故可看成是独立重复试验，即X ～B (3，0.3)，X 的可能取值为0，1，2，3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k ·(1－0.3)
3－k
.
故P (X ＝0)＝C 0
3×0.30
×(1－0.3)3
＝0.343，
P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2
＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，
故X 的分布列为
13.如图所示，某快递公司送货员从公司A 处准备开车送货到某单位B 处，有A →C →D →B ，
A →E →F →
B 两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的
概率如图所示(例如A →C →D 算作两个路段，路段AC 发生堵车事件的概率为1
6，路段CD 发生
堵车事件的概率为1
10
).若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A 到B 应选择的路线是______________. 答案 A →E →F →B
解析 路线A →C →D →B 途中发生堵车事件的概率
P 1＝1－⎝
⎛⎭⎪⎫
1－16×⎝
⎛⎭⎪⎫
1－110×⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－25
＝1120
，
路线A →E →F →B 途中发生堵车事件的概率
P 2＝1－⎝
⎛⎭⎪⎫
1－15×⎝
⎛⎭⎪⎫1－18×⎝
⎛
⎭⎪⎫
1－15
＝1125
.
因为1125<11
20
，所以应选择路线A →E →F →B .
14.(2018·浙江省重点中学联考)已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的4个红球，3个白球和2个黑球.若不放回地摸球，每次摸1个球，摸取4次，则恰有3次摸到红球的概率为________；若有放回地摸球，每次摸1个球，摸取3次，则摸到红球的次数X 的均值为________. 答案
1063 4
3
解析 方法一 由题意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到红球的概率为C 34C 1
5C 49＝20126＝10
63
，若
有放回地摸球，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－493＝125
729
，P (X ＝1)＝C 13×
49×⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝100243，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫492×59＝80243，P (X ＝3)＝C 3
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝64729
， ∴E (X )＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43
.
方法二 由题意得，若不放回地摸球，恰有3次摸到红球的概率为C 34C 1
5C 49＝20126＝10
63，若有放回
地摸球，
则X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，49，∴E (X )＝3×49＝43. 15.(2018·浙江台州高三适应性考试)某特种部队的3名战士甲、乙、丙在完成一次任务后有三条撤退路线可走，他们各自选择撤退的路线是随机且相互独立的，若这三条路线能顺利撤退回到部队的概率分别为45，35，2
5.
(1)求战士甲能顺利撤退回到部队的概率；
(2)设X 为顺利撤退回到部队的战士的人数，求X 的均值.
解 (1)设战士甲能顺利撤退回到部队的概率为P ，因为他从三条路线中选择一条顺利撤退回到部队是随机的，所以P ＝13×45＋13×35＋13×25＝35
.
(2)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，3，分析可知X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，35. 方法一 所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫350⎝ ⎛⎭⎪⎫253
＝8125
，
P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫351⎝ ⎛⎭⎪⎫252
＝
36125
， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫251
＝
54125
， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353⎝ ⎛⎭⎪⎫
250
＝
27
125
， 所以E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝9
5.
方法二 n ＝3，p ＝35，E (X )＝np ＝3×35＝9
5
.
16.在某年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概
率都为2
3
，且每题正确回答与否互不影响.
(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其均值； (2)分析比较两考生的通过能力.
解 (1)甲正确回答的题目数ξ可取1，2，3. P (ξ＝1)＝C 14C 2
2C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 1
2C 36＝3
5，
P (ξ＝3)＝C 34C 36＝1
5.
故其分布列为
E (ξ)＝1×15
＋2×35
＋3×15
＝2.
又乙正确回答的题目数η～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，23，其分布列为
∴E (η)＝np ＝3×2
3
＝2.
(2)∵D (ξ)＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2
×15＝25
，
D (η)＝np (1－p )＝3×23×13＝23
，
∴D (ξ)<D (η). ∵P (ξ≥2)＝35＋15＝4
5
，
P (η≥2)＝1227＋827＝2027
，
∴P (ξ≥2)>P (η≥2).
从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的通过能力较强.。