2019-2020学年江苏省无锡一中高二(下)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷
试题数：22，总分：150
，则复数z的模为（）
1.（单选题，5分）已知i为虚数单位，复数z=2
1−i
A. √2
B.1
C.2
D. 1
2
2.（单选题，5分）一辆汽车做直线运动，位移s与时间t的关系为s=at2+1，若汽车在t=2时的瞬时速度为12，则a=（）
A. 1
2
B. 1
3
C.2
D.3
3.（单选题，5分）已知复数z满足：|z-2|=1，则|z-1+i|的最大值为（）
A.2
B. √2+1
C. √2−1
D.3
4.（单选题，5分）3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有（）
A.43
B.34
C. C43
D. A43
5.（单选题，5分）函数f（x）=sinx•cosx+1在点（0，f（0））处的切线方程为（）
A.x+y-1=0
B.x-y+1=0
C.x-2y+2=0
D.x+2y-2=0
6.（单选题，5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx在x=-2和x=4处取得极值，则常数a-b的值为（）
A.21
B.-21
C.27
D.-27
7.（单选题，5分）100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（）
A. 3
49
B. 1
98
C. 1
97
D. 3
50
），则函数f（x）=x2-4x+4Y无零点的概8.（单选题，5分）设随机变量Y满足Y～B（4，1
2
率是（）
A. 11
16
B. 5
16
C. 31
32
D. 1
2
9.（单选题，5分）从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（）
A.140种
B.84种
C.35种
D.70种
10.（单选题，5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数
y=f′（x）的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
11.（单选题，5分）设x5=a0（1+x）5+a1（1+x）4+…+a4（1+x）+a5，则a0+a2+a4=
（）
A.-32
B.0
C.16
D.-16
12.（单选题，5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f （x）＞0恒成立，a=f（2），b= 1
2
f（3），c=（√2 +1）f（√2），则a、b、c的大小关系为（）
A.c＜a＜b
B.b＜c＜a
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
13.（填空题，5分）二项式(√x−1
3x )
6
展开式的常数项为___ ．
14.（填空题，5分）若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞6）=P（X＜-2）=0.3，则P（2
＜X≤6）=___ ．
15.（填空题，5分）有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有___ 种不同的借法．
16.（填空题，5分）函数f（x）= {x+1，x≤0
|lnx|，x＞0
，若函数g（x）=f（x）-tx恰有两个零点，
则实数t的取值范围是___ ．
17.（问答题，10分）已知复数z=（m2-4m+3）+（m2-m）i，其中i为虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（2）复数z在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
18.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对∀x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
19.（问答题，10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．
（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．
20.（问答题，12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如表：
0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？
（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．
．
附公式及表如下：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
21.（问答题，12分）已知数列{a n}的首项为1，记F（x，n）=a1C n0（1-x）n+a2C n1 x（1-x）n-1+a3C n2 x2（1-x）n-2+…+a n C n n−1 x n-1（1-x）1+a n+1C n n x n．
（1）若数列{a n}是公比为3的等比数列，求F（-1，2020）的值；
（2）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求证：F（x，2020）是关于x的一次多项式．
x2−ax，其中a＞0．
22.（问答题，14分）已知函数f(x)=e x−a
2
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞e2-4在（0，+∞）上的解；
（2）设g（x）=f'（x），y=g（x）关于直线x=lna对称的函数为y=h（x），求证：当x＜lna时，g（x）＜h（x）；
（3）若函数y=f（x）恰好在x=x1和x=x2两处取得极值，求证：x1+x2
＜lna．
2
2019-2020学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）已知i为虚数单位，复数z=2
1−i
，则复数z的模为（）
A. √2
B.1
C.2
D. 1
2
【正确答案】：A
【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】：解：∵ z=2
1−i = 2(1+i)
(1−i)(1+i)
=1+i，
∴|z|= √2．
故选：A．
【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2.（单选题，5分）一辆汽车做直线运动，位移s与时间t的关系为s=at2+1，若汽车在t=2时的瞬时速度为12，则a=（）
A. 1
2
B. 1
3
C.2
D.3
【正确答案】：D
【解析】：先对s求导得s'=2at，再根据导数的概念可建立关系式12=2a×2，解之即可．【解答】：解：∵s=at2+1，∴s'=2at，
∵汽车在t=2时的瞬时速度为12，∴12=2a×2，解得a=3．
故选：D．
【点评】：本题考查导数的概念和求导的运算法则，考查学生的计算能力，属于基础题．
3.（单选题，5分）已知复数z满足：|z-2|=1，则|z-1+i|的最大值为（）
A.2
B. √2+1
C. √2−1
D.3
【正确答案】：B
【解析】：由复数模长的定义得出（x-2）2+y2=1画出图形，再由|z-1+i|=|z-（1-i）|的几何
意义，即动点Z到定点A（1，-1）的距离求解．
【解答】：解：复数z=x+yi，且|z-2|=1，
∴（x-2）2+y2=1，
它表示圆心为（2，0），半径为1的圆；
则|z-1+i|表示圆上的动点与点A（1，-1）之间的距离，
故|z-1+i|的最大值为：r+DA=1+ √(2−1)2+(0−(−1))2 =1+ √2；
故选：B．
【点评】：本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了直线与圆的方程应用问题，是中档题．
4.（单选题，5分）3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有（）
A.43
B.34
C. C43
D. A43
【正确答案】：B
【解析】：根据题意，分析可得每只老鼠被捉的情况有3种，据此由分步计数原理计算可得
答案．
【解答】：解：根据题意，3只猫把4只老鼠，每只老鼠被捉的情况有3种，
则有3×3×3×3=34种不同的捉法；
故选：B．
【点评】：本题考查分步计数原理的应用，注意题目中的限制条件，属于基础题．
5.（单选题，5分）函数f（x）=sinx•cosx+1在点（0，f（0））处的切线方程为（）
A.x+y-1=0
B.x-y+1=0
C.x-2y+2=0
D.x+2y-2=0
【正确答案】：B
【解析】：先求出f（x）的导数，然后分别求出f（0），f′（0），最后利用点斜式求出切线
方程．
【解答】：解：由已知得f′（x）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴f′（0）=cos0=1，f（0）=1，
故切线为：y-1=x-0，
即x-y+1=0．
故选：B．
【点评】：本题考查利用导数求切线方程的基本思路，同时考查学生的运算能力．属于基础题．6.（单选题，5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx在x=-2和x=4处取得极值，则常数a-b的值
为（）
A.21
B.-21
C.27
D.-27
【正确答案】：A
【解析】：对函数求得f'（x）=3x2+2ax+b，由于f（x）在x=-2和x=4处取得极值，所以-2和4是f'（x）=3x2+2ax+b的两个零点，即方程3x2+2ax+b=0的两根，然后利用根与系数
的关系求出a 和b 的值即可得解．
【解答】：解：∵f （x ）=x 3+ax 2+bx ，∴f'（x ）=3x 2+2ax+b ，
∵函数f （x ）在x=-2和x=4处取得极值，∴-2和4是f'（x ）=3x 2+2ax+b 的两个零点，即方程3x 2+2ax+b=0的两根，
∴ {−2+4=−2a
3
(−2)×4=
b 3 ，解得 {a =−3
b =−24 ， ∴a -b=-3+24=21． 故选：A ．
【点评】：本题考查利用导数研究函数的极值，将原函数的极值问题转化为导函数的零点问题是解题的关键，考查学生的转化能力和运算能力，属于基础题．
7.（单选题，5分）100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ） A. 349
B. 198
C. 197
D. 350
【正确答案】：A
【解析】：设事件A 为“前两次抽取为正品”，事件B 为“第三次抽到次品”，AB 包含的基本事
件个数为n= A 942A 61 ，A 包含的基本事件个数m= A 942A 981
，由此能求出在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率．
【解答】：解：设事件A 为“前两次抽取为正品”，事件B 为“第三次抽到次品”，
则AB 包含的基本事件个数为n= A 942A 61
， A 包含的基本事件个数m= A 942A 981 ，
∴在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为：
P （B|A ）= m n = A 942A 6
1A 942A 98
1 = 349 ．
故选：A ．
【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.（单选题，5分）设随机变量Y满足Y～B（4，1
2
），则函数f（x）=x2-4x+4Y无零点的概率是（）
A. 11
16
B. 5
16
C. 31
32
D. 1
2
【正确答案】：A
【解析】：因为函数f（x）=x2-4x+4Y无零点，所以Y＞1，所以P（Y＞1）=1-P（Y≤1），即可算出答案．
【解答】：解：因为函数f（x）=x2-4x+4Y无零点，
所以△=（-4）2-4×1×4Y＜0，
所以Y＞1，
所以P（Y＞1）=P（Y=2）+P（Y=3）+P（Y=4）= C42(1
2)
2
(1
2
)
2
+ C43(1
2
)
3
(1
2
) + C44(1
2
)
4
(1
2
)
= 11
16
．
故选：A．
【点评】：本题考查独立重复试验的概率求法以及二项分布，属于基础题，熟记二项分布概率公式是解题关键．
9.（单选题，5分）从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（）
A.140种
B.84种
C.35种
D.70种
【正确答案】：D
【解析】：根据题意，先计算“从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部”的取法，排除其中“只有手机”和“只有电脑”的选法，即可得答案．
【解答】：解：根据题意，从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，共有C93=84种选法；
其中只有手机的选法有C43=4种，只有电脑的选法有C53=10种，
则有84-4-10=70种；
故选：D．
【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意利用排除法分析，避免分类讨论．
10.（单选题，5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】：A
【解析】：先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．
【解答】：解：根据y=f（x）的图象可得，原函数的单调性是：当x＜0时，增；
当x＞0时，单调性变化依次为减、增、减，
故当x＜0时，f′（x）＞0；
当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为-、+、-，
结合所给的选项，
故选：A．
【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．
11.（单选题，5分）设x5=a0（1+x）5+a1（1+x）4+…+a4（1+x）+a5，则a0+a2+a4=
（）
A.-32
B.0
C.16
D.-16
【正确答案】：C
【解析】：利用展开式，分别令x=0与-2，两式相结合可得结论．
【解答】：解：∵x5=a0（1+x）5+a1（1+x）4+…+a4（1+x）+a5，
∴x=0时，05=a0+a1+a2+a3+a4+a5=0；
x=-2时，（-2）5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-32；
=16．
∴a0+a2+a4= 0−(−32)
2
故选：C．
【点评】：本题考查二项式的系数问题，考查赋值法的运用，属于基础题．
12.（单选题，5分）定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f
f（3），c=（√2 +1）f（√2），则a、b、c的大小关系（x）＞0恒成立，a=f（2），b= 1
2
为（）
A.c＜a＜b
B.b＜c＜a
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
【正确答案】：A
【解析】：构造函数g （x ）= f (x )
x−1 ，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论
【解答】：解：构造函数g （x ）= f (x )
x−1 ，当x∈（1，+∞）时， g′（x ）=
f′(x )(x−1)−f (x )
(x−1)2
＞0 ，即函数g （x ）单调递增，
则a=f （2）= f (2)
2−1 =g （2），b= 12 f （3）= f (3)
3−1 =g （3），c=（ √2 +1）f （ √2 ）= √2)
√2−1
=g （ √2 ），
则g （ √2 ）＜g （2）＜g （3）， 即c ＜a ＜b ， 故选：A ．
【点评】：本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．
13.（填空题，5分）二项式 (√x −13x
)6
展开式的常数项为___ ． 【正确答案】：[1] 5
3
【解析】：写出展开式的通项，令x 的指数为0，即可求得结论．
【解答】：解：展开式的通项为T r+1= C 6r
(√x)
6−r
(−1
3x )r
= C 6r
(−13)r
x 3−3
2r
令 3−3
2r =0，则r=2，
∴二项式 (√x −13x )6
展开式的常数项为 C 62
(−13)2
= 5
3
故答案为： 5
3
【点评】：本题考查二项式定理的应用，正确写出展开式的通项是关键．
14.（填空题，5分）若随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＞6）=P （X ＜-2）=0.3，则P （2＜X≤6）=___ ． 【正确答案】：[1]0.2
【解析】：根据P （X ＞6）=P （X ＜-2）=0.3，可得μ=2，然后根据正态分布曲线的对称性，求出P （2＜X≤6）的值．
【解答】：解：因为P （X ＞6）=P （X ＜-2）=0.3， 故x= μ=
6−2
2
=2 ．
∴P （2＜X≤6）=P （X ＞2）-P （X ＞6）=0.5-0.3=0.2． 故答案为：0.2．
【点评】：本题考查正态分布密度曲线的性质，以及相关概率的求法．属于基础题．
15.（填空题，5分）有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有___ 种不同的借法． 【正确答案】：[1]150
【解析】：根据题意，分2步进行分析： ① 分2种情况讨论把5本书分成3组的情况数目， ② 将分好的三组分别借给3人，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：
① 把5本书分成3组，若分为3、1、1的三组，有C 53=10种分组方法； 若分为2、2、1
的三组，有 C 52C
32A 2
2 =15
种分组方法，
则一共有10+15=25种分组方法，
② 将分好的三组分别借给3人，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种借法； 故答案为：150．
【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 16.（填空题，5分）函数f （x ）= {x +1，x ≤0|lnx |，x ＞0
，若函数g （x ）=f （x ）-tx 恰有两个零点，
则实数t 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]t=0或 1
e ＜t ＜1
【解析】：由题意，方程f （x ）=tx 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=tx 有2个交点，又t 表示直线y=tx 的斜率，求出t 的取值范围．
【解答】：解：∵方程f （x ）=tx 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=tx 有2个交点， 又∵t 表示直线y=tx 的斜率，
当t ＜0时，y=tx 与y=f （x ）只有一个交点； 当t=0时，y=tx 与y=f （x ）有两个交点； x ＞1时，y′=（lnx ）′= 1x
，
设切点为（x 0，y 0），t= 1
x 0
，且lnx 0=tx 0，
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，t= 1
e
，
可得0＜t＜1
e
时，y=tx与y=f（x）有三个交点；
可得t= 1
e
时，y=tx与y=f（x）有两个交点；
可得1
e
＜t＜1时，y=tx与y=f（x）有两个交点；
当t≥1时，y=tx与y=f（x）有一个交点．
综上可得t=0或1
e
＜t＜1时，y=tx与y=f（x）有两个交点，
故答案为：t=0或1
e
＜t＜1．
【点评】：本题考查函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．
17.（问答题，10分）已知复数z=（m2-4m+3）+（m2-m）i，其中i为虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值；
（2）复数z在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）由纯虚数的定义可得方程组，解出可得；
（2）由复数的几何意义可得{m2−4m+3＞0
m2−m＞0
，解出即可．
【解答】：解：（1）∵复数z是纯虚数，
∴ {m2−4m+3=0 m2−m≠0，解得{
m=1或3
m≠0，m≠1
，故m=3，
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第一象限
∴ {m 2−4m +3＞0m 2
−m ＞0 ，解得 {m ＜1或m ＞3m ＜0或m ＞1 ，故m ＞3或m ＜0，
∴实数m 的取值范围为（-∞，0）∪（3，+∞）．
【点评】：本题主要考查复数的有关概念、代数形式的运算及其几何意义，属基础题． 18.（问答题，12分）已知函数f （x ）=lnx-ax （a∈R ）． （1）当a=2时，求函数f （x ）的极值； （2）讨论函数f （x ）的单调性；
（3）若对∀x∈（0，+∞），f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）当a=2时，f′（x ）= 1
x -2= 1−2x
x
（x ＞0）．列表格得随着x 的变化，f′（x ），
f （x ）变化情况，得单调性和极值． （2） f′(x )=
1−ax
x
，分三种两种情况当a≤0时，当a ＞0时，讨论f （x ）单调性．
（3）对∀x∈（0，+∞），f （x ）＜0恒成立，⇔对∀x∈（0，+∞），
lnx
x
＜a 恒成立⇔（
lnx
x
）max ＜a （x∈（0，+∞）），令
h （x ）=
lnx
x
，求出h （x ）max ，即可得出答案．
【解答】：解：（1）f′（x ）= 1
x -2=
1−2x
x
（x ＞0）．令f （x ）=0得 x= 1
2 ．
所以f （x ）在（0， 2 ）上单调递增，（ 2 ，+∞）上单调递减，f （x ）=f （ 2 ）=-ln2-1，无极小值． （2） f′(x )=
1−ax
x
， 当a≤0时，f'（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递增， 当a ＞0时，
若x∈（0， 1
a ），f'（x ）＞0，f （x ）在（0， 1
a ）单调递增；
若x∈（1
a ，+∞），f'（x）＜0，f（x）在（1
a
，+∞）单调递减；
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f（x）在（0，1
a ）单调递增，在（1
a
，+∞）单调递减．
（3）对∀x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，⇔对∀x∈（0，+∞），lnx
x
＜a恒成立，
⇔（lnx
x
）max＜a（x∈（0，+∞）），
令h（x）= lnx
x ，h′（x）= 1−lnx
x2
．
x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
所以h（x）max=h（e）= 1
e ，所以a＞1
e
．
【点评】：本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．
19.（问答题，10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．
（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．
【正确答案】：
【解析】：（1）直接利用古典概型概率的求法求解即可．
（2）求出X的可能值，求出概率，然后求解期望．
【解答】：解：（1）医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队，选出的4名志愿全是女性的方法数：C22•C32=3，
答：选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种，
（2）由题意可知X的可能值为0，1，2，3，
P(X=0)=C22C32
C52C42=1
20
，
P(X=1)=C31C21C32+C22C31C11
C52C42=7
20
，
P(X=2)=C32C32+C31C21C31C11
C52C42=9
20
，
P(X=3)=C32C31C11
C52C42=3
20
，
列表如下：
∴E（X）= 0×
20+1×
20
+2×
20
+3×
20
=
10
．
【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20.（问答题，12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如表：
0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？
（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．
附公式及表如下：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
（2）视频率为概率，得出随机抽取1名用户时该用户为男或女”网上买菜达人”的概率，
再利用对立事件的概率公式计算即可．
【解答】：解：（1）由题意知，填写列联表如下；
由表中数据，计算K2=
45×55×60×40 =
297
≈8.249＞7.879；
所以能在犯错概率不超过0.005的前提下认为“网上买菜热爱者”与性别有关．（2）视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取1名用户，
该用户为男“网上买菜达人”的概率为1
3，为女”网上买菜达人”的概率为2
3
；
所以随机抽取4名用户时，既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率为
P=1- (1
3)
4
- (2
3
)
4
= 64
81
．
【点评】：本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型概率计算问题，是基础题．21.（问答题，12分）已知数列{a n}的首项为1，记F（x，n）=a1C n0（1-x）n+a2C n1 x（1-x）n-1+a3C n2 x2（1-x）n-2+…+a n C n n−1 x n-1（1-x）1+a n+1C n n x n．
（1）若数列{a n}是公比为3的等比数列，求F（-1，2020）的值；
（2）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求证：F（x，2020）是关于x的一次多项式．
【正确答案】：
【解析】：（1）由题意a n=3n-1，结合二项式定理，即可求F（-1，2020）的值；
（2）由题意a n=2n-1，结合二项式定理，可得F（x，2020）=1+4040x，即可证明结论．
【解答】：解：（1）由题意a n=3n-1，
∴F（x，n）
= ∁n0（1-x）n+ ∁n1（3x）（1-x）n-1+ ∁n2（3x）2（1-x）n-2+…+ ∁n n（3x）n=（1+2x）n，
∴F（-1，2020）=（1-2）2020=1；
（2）证明：若数列{a n}是公差为2的等差数列，则a n=2n-1．
F（x，n）=a1∁n0（1-x）n+a2∁n1 x（1-x）n-1+…+a n∁n n−1 x n-1•（1-x）+a n+1∁n n x n
= ∁n0（1-x）n+（1+2）∁n1 x（1-x）n-1+（1+4）∁n2 x2（1-x）n-2+…+（1+2n）∁n n x n
=[ ∁n0（1-x）n+ ∁n1 x（1-x）n-1+ ∁n2 x2（1-x）n-2+…+ ∁n n x n]+2[ ∁n1 x（1-x）n-1+2x2（1-x）n-
2+…+ ∁n n x n]．
由二项式定理知，
∁n 0 （1-x ）n + ∁n 1 x （1-x ）n-1+ ∁n 2 x 2（1-x ）n-2+…+ ∁n n x n =[（1-x ）+x]n =1． 因为k ∁n k =k• n!
k!(n−k )! =n• n!
k!(n−k )! =n• (n−1)!
(k−1)!(n−k )! =n ∁n−1k−1
， 所以 ∁n 1 x （1-x ）n-1+2 ∁n 2 x 2（1-x ）n-2+…+n ∁n n x n =n ∁n−10 x （1-x ）n-1+n ∁n−11 x 2（1-x ）n-2+…+n ∁n−1n−1 x n =nx[ ∁n−10 （1-x ）n-1+ ∁n−11 x （1-x ）n-2+…+ ∁n−1n−1 x n-1]
=nx[（1-x ）+x]n-1=nx ，
所以F （x ，n ）=1+2nx ．F （x ，2020）=1+4040x ．
【点评】：本题考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 22.（问答题，14分）已知函数 f (x )=e x −a
2x 2−ax ，其中a ＞0． （1）当a=1时，求不等式f （x ）＞e 2-4在（0，+∞）上的解；
（2）设g （x ）=f'（x ），y=g （x ）关于直线x=lna 对称的函数为y=h （x ），求证：当x ＜lna 时，g （x ）＜h （x ）；
（3）若函数y=f （x ）恰好在x=x 1和x=x 2两处取得极值，求证： x 1+x 2
2
＜lna ．
【正确答案】：
【解析】：（1）当a=1时， f (x )=e x −1
2x 2−x ，f'（x ）=e x -x-1，[f'（x ）]'=e x -1＞0，得f'（x ）在（0，+∞）上单调递增，且f'（x ）＞f'（0）=0，得f （x ）在（0，+∞）上单调递增，又f （2）=e 2-4，即可得不等式的解集；
（2）g （x ）=f'（x ）=e x -ax-a ，根据题意得 ℎ(x )=g (2lna −x )=a 2
e x +ax −2alna −a ，所以 g (x )−ℎ(x )=e x −
a 2e x
−2ax +2alna ，令 p (x )=e x −
a 2
e x
−2ax +2alna ，求导得p′（x ）＞0，
得p （x ）在（-∞，lna ）上单调递增，故p （x ）＜p （lna ）=0，即可得证．
（3）求导f′（x ）=e x -ax-a ，由x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同极值点（不妨设x 1＜x 2），所以e x 1
-ax 1-a=0，e
x 2
-ax 2-a=0，两式相减得：a= e x 1−e x 2
x 1−x 2
，要证明问题，⇒即证明
e
x 1+x 2
2
＜
e x 1−e x 2
x 1−x 2
，⇒即证e
x 1−x 22
＜ e x 1−x 2−1
x 1−x 2
，⇒即证（x 1-x 2）e x 1−x 2
2 -e x 1−x 2 +1＞0，令
x 1-x 2=t （t ＜
0），即证不等式te t 2 -e t +1＞0当t ＜0时恒成立，即可．
【解答】：解：（1）当a=1时， f (x )=e x −12x 2−x ，f'（x ）=e x -x-1，[f'（x ）]'=e x -1＞0， ∴f'（x ）=e x -x-1在（0，+∞）上单调递增，
∴f'（x ）＞f'（0）=0，
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增，又f （2）=e 2-4，
∴f （x ）＞e 2-4的解集为（2，+∞）；
（2）证明：g （x ）=f'（x ）=e x -ax-a ，
∵y=g （x ）关于直线x=lna 对称的函数为y=h （x ），
∴ ℎ(x )=g (2lna −x )=
a 2e x +ax −2alna −a ∴ g (x )−ℎ(x )=e
x −a 2e x −2ax +2alna 令 p (x )=e x −a 2e x −2ax +2alna ，
p′(x )=e x +a 2e x −2a ≥2a −2a =0 ，当且仅当x=lna 时取“=”， ∵x ＜lna ，故上式取不到“=”，即p'（x ）＞0，
∴p （x ）在（-∞，lna ）上单调递增，
故p （x ）＜p （lna ）=a-a-2alna+2alna=0，即g （x ）-h （x ）＜0， ∴当x ＜lna 时，g （x ）＜h （x ），
（3）证明：已知函数 f (x )=e x −a 2x 2−ax ，
∴f′（x ）=e x -ax-a ，
由x 1，x 2是函数f （x ）的两个不同极值点（不妨设x 1＜x 2） ∵a ＞0且f′（x 1）=0，f′（x 2）=0，
∴e x 1 -ax 1-a=0，e x 2 -ax 2-a=0，
两式相减得：a=
e x 1−e x 2x 1−x 2 ， 于是要证明 x 1+x 22
＜lna ，即证明e x 1+x 22 ＜ e x 1−e x 2x 1−x 2 ， 两边同除以e x 2 ，即证e
x 1−x 22 ＜ e x 1−x 2−1x 1−x 2 ，即证（x 1-x 2）e x 1−x 22 ＞e x 1−x 2 -1， 即证（x 1-x 2）e x 1−x 22 -e x 1−x 2 +1＞0，
令x 1-x 2=t （t ＜0），
即证不等式te t 2
-e t +1＞0当t ＜0时恒成立．
设φ（t ）=te t 2 -e t +1，
∴φ′（t）=e t2+t•e t2• 1
2 -e t=（t
2
+1）e t2 -e t=-e t2 [e t2 -（t
2
+1）]，
而e t
2＞t
2
+1，即e t2 -（t
2
+1）＞0，∴φ′（t）＜0，
∴φ（t）在（-∞，0）上是减函数
∴φ（t）在t=0处取得极小值φ（0）=0，
∴φ（t）＞0，
则x1+x2
2
＜lna．
【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．。