江苏省盐城市2017届高三上学期期中考试数学试题(WORD版)

盐城市2017届高三年级第一学期期中考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．函数2sin 2y x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期是 ▲ ． 2．设向量(2,6)a =-
，(1,)b m =- ，若//a b ，则实数m = ▲ ．
3．命题2
000:,210p x R x x ∃∈++≤是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．
4．已知集合{}1,2,3,4A =，{}|32,B y y x x A ==-∈，则A B = ▲ ． 5．函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象所经过的定点为 ▲ ． 6．在等比数列{}n a 中，已知121a a +=，342a a +=，则910a a += ▲ ． 7．若函数3
21()33
f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知4
sin 29
α=
，且α为钝角，则cos 2α= ▲ ．
9．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ．
10．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2
x
f x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率
为 ▲ ．
11．若函数1
,,()|1|,x a f x x x x a
⎧<⎪
=⎨⎪+≥⎩在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数a 的
取值范围是 ▲ ． 12．在数列{}n a 中，101
12
a =-，且当2100n ≤≤时，102232n n n a a -+=⨯恒成立，则数列{}n a 的
前100项和100S = ▲ ． 13．在ABC ∆中，已知4AC =，4
C π
=
，(
,)42
B ππ
∈，点D 在边BC 上，且3AD BD ==，则
AB AD ⋅
= ▲ ．
14. 设函数()2f x kx kx =-，
()()32
ln , 1,
1,01,
x x g x x a x ax x ≥⎧⎪=⎨-++-<<⎪⎩，若使得不等式()()f x g x ≥ 对一切正实数x 恒成立的实数k 存在且唯一，则实数a 的值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >； q ：实数x 满足3
02
x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
16．（本小题满分14分）
设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.
（1）求,,ωϕA 的值； （2）设θ为锐角，且3()35f θ=-
，求()6
π
θf -的值.
17．（本小题满分14分）
如图，在四边形ABCD 中，4AC =
，12BA BC ⋅= ，E 为AC 的中点.
（1）若12
cos 13ABC ∠=
，求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若2BE ED =
，求DA DC ⋅ 的值.
18．（本小题满分16分）
如图所示，有一块矩形空地ABCD ，AB =2km ，BC =4km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入
口，其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口F 的选址范围；
（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为
2
1
S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？
19．（本小题满分16分）
设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.
（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值；
（2）若函数()f x 在2
1,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（e 为自然对数的底数），求实数a 的值； （3）若关于x 的方程()
()22
ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数t
的取值范围.
20．（本小题满分16分）
若数列{}n a 中的项都满足21221n n n a a a -+=<（*
n N ∈），则称{}n a 为“阶梯数列”.
（1）设数列{}n b 是“阶梯数列”，且11b =，21219n n b b +-=（*
n N ∈），求2016b ；
（2）设数列{}n c 是“阶梯数列”，其前n 项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，
但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列{}n d 是“阶梯数列”，且11d =，21212n n d d +-=+（*
n N ∈），记数列21n n d d +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的
前n 项和为n T . 问是否存在实数t ，使得()10n n t T t T ⎛⎫-+
< ⎪⎝⎭
对任意的n N *
∈恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1．2 2. 3 3. 真 4. {}1,4 5. ()1,4 6. 16 7. 3a ≤ 8.
13 9. 120︒ 10. 1
2e
- 11. [1,0]- 12.4- 13. 6 14. 2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.
15．解：（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,
当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<. …………………2分
q 为真时
3
02
x x -<-等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<, …………………4分 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <<.
若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x <<. …………………7分 （2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q ⇒p 且p ⇒/q ,
设{|3}A x a x a =<<, {|23}B x x =<<, 则B A; …………………10分
则02,33,233a a a a <≤⎧⎪
≥⎨⎪==⎩
与不同时取等号 ，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤. ………………14分 16．解：（1）由图像，得3A =, ……………2分
最小正周期473126πππT ⎛⎫
=
+= ⎪⎝⎭
，22T πω∴==， ……………4分 ()3sin(2)ϕf x x ∴=+，
由7312f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，得722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪
⎝⎭，k Z ∈， 523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<< ，3
π
ϕ∴=. ……………7分
（2）由3()3sin(2)335f πθθ=+=-
，得3
sin(2)35
πθ+=-， (0,)2πθ∈ ，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭，
24
cos(2)1sin (2)335ππθθ∴+=--+=-， ……………10分
()3sin 23sin (2)633πππθθθf ⎡
⎤∴-==+-⎢⎥
⎣
⎦3sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎡
⎤=+-+⎢⎥⎣
⎦
314312333525210⎛⎫-=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. ……………14分
17．解：（1） 12
cos 13
ABC ∠=
，()0,ABC π∠∈， 2
125sin 11313
ABC ⎛⎫
∴∠=-= ⎪⎝⎭， ……………2分
12
12cos ,13
BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅
13,BA BC ∴⋅= ……………4分
1155
sin 1322132
ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分
（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ，由2BE ED =
，可得(2,2)B x y --， 则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+
224,x y ∴+= ……………11分 ∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=
. ……………14分
18．解：（1）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，
设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为a ， 而EG AF ⊥，故EG 的斜率为1
a
-， 则EG 的方程为()1
1y a x a
-=--， 令0x =，得1
G y a a
=+
； ……………2分 令0y =，得21E x a =+； ……………4分
由04
020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪
<≤⎨⎪⎩，得23230102a a a ⎧-≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩， 231a ∴-≤≤，
即入口F 的选址需满足BF 的长度范围是[423,2]-（单位：km ）. ……………6分
（2）因为()23
111212AEG S S AE AG a a a a a a ∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭，
故该商业区的环境舒适度指数121111
8
11ABCD
ABCD S S S S S S S S -==-=-， ……………9分
所以要使
2
1
S S 最大，只需1S 最小. 设()3
112,[23,1],S f a a a a a
==++∈- ……………10分
则()()()()()
()222422
2222
31311311132132a a a a a a a f a a a a a a -++-++-'=+-===，
令()0f a '=，得3
3
a =或33a =-（舍）， ……………12分
()(),,a f a f a '的情况如下表：
a 23-
323,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
3
3
3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
1 ()f a '
-
0 +
()
f a
减
极小
增
故当3
3
a =
，即入口F 满足233BF =km 时，该商业区的环境舒适度指数最大. ……16分 19．解：（1）()ln f x ax x =-+ ，()1
f x a x
'∴=-,
设切点横坐标为0x ，则00001
3,
ln 31,
a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩
………………2分
消去a ，得0ln 0x =，故01x =，得 2.a =- ………………4分
（2）()22111,1,1,f x a x e x e x '=-≤≤≤≤ ①当21
a e
≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 则()()22
max 21f x f e ae ae ==-=-，得2
211a e e e
=>-,舍去; ………………5分 ②当1a ≥时，()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，
则()()max 11f x f a ae ==-=-，得1
11
a e =
<-,舍去; ………………6分 ③当211a e <<时，由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩，得11x a ≤<；由()2
01f x x e '⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩
，得2
1x e a <≤，
故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在21,e a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫
==--=- ⎪⎝⎭
，得2ln 0ae a --=, ………………8分
设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫
'=-∈ ⎪⎝⎭
当2
11,a e e ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
时，()10g a e a '=-<,()g a 单调递减， 当1,1a e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时()10g a e a '=->,()g a 单调递增，
故()min 10g a g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e =.
综上①②③，1
a e =. …………………10分
（3）方程()()22
ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为
()()()()2211
ln 2323ln 22
x x t x x t x t x t --+
--=-+-， 令()1
ln 2
h x x x =+
，故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-， …………………12分 由（2）可知()h x 在()0,+∞上单调递增，故2230
x x t x t
x t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，
即方程2
0x x t --=（※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根， …………………13分
①当410t ∆=+=，即14t =-时，方程（※）的实数根为11
24
x =>-，满足题意； ②当0∆>，即1
4
t >-
时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ）若1,x t =2,x t >代入方程（※）得2
20t t -=，得0t =或2t =， 当0t =时方程（※）的两根为0,1，符合题意；
当2t =时方程（※）的两根为2,1-，不合题意，舍去；
Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2
x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<；
综合①②，实数t 的取值范围为02t ≤<或1
4
t =-
. …………………16分 20．解：（1）21219n n b b +-= ，11b =，{}21n b -∴是以11b =为首项9为公比的等比数列，
12221193n n n b b ---∴=⨯=，201420153b ∴=，
∵数列{}n b 是“阶梯数列”，∴201420162015==3b b . …………………3分 （2）由数列{}n c 是“阶梯数列”得212n n c c -=，故2122221n n n n S S S S ----=-,
∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列； ……………5分 （注：给出具体三项也可） 假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列， 则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即123k k k c c c +++==， 当*
21,k m m N =-∈时, 22122m m m c c c ++==，① 当*
2,k m m N =∈时, 212223m m m c c c +++==，②
由数列{}n c 是“阶梯数列”得221m m c c +<2223m m c c ++=<，③
①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. …………………8分 （3）∵21212n n d d +-=+,11d =,{}21n d -∴是以11d =为首项2为公差的等差数列，
()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“阶梯数列”，故21221n n d d n -==-， ()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫
∴
===- ⎪-+-+⎝⎭
, …………………10分
①当()
*
2n k k N =∈时,
2132435462121222111111
n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1335
21211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫
=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭ ,13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭
, 又()10n n t T t T ⎛⎫
-+< ⎪⎝⎭
恒成立，1n n
t T T ∴-<<恒成立, 213t ∴-≤<. …………………13分
②当()*
21n k k N =-∈时, 2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫
==-
=-=-- ⎪-+⎝⎭
1111,142423k k ⎡⎫
=--∈⎪⎢-+⎣⎭
,[)13,1n T ∴-∈--,
又()10n n t T t T ⎛⎫
-+
< ⎪⎝⎭
恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 113t ∴-≤<. …………………15分
综上①②, 存在满足条件的实数t ，其取值范围是11,3⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭
. …………………16分
注：()()22, 2,,21421, 21,,2121n k n k k N k T k k n k k N k k ⎧=∈*⎪+⎪=⎨--⎪=-∈*-+⎪⎩也可写成(
)2,11,2n
n n T n n n n ⎧⎪+⎪
=⎨+-⎪+⎪⎩
n 为正偶数， n 为正奇数.。