金属主簧-复合材料副簧复合刚度计算模型

10.16638/ki.1671-7988.2021.05.011
金属主簧-复合材料副簧复合刚度计算模型*
柯俊1,2，李志虎1，秦玉林1
（1.奇瑞汽车股份有限公司前瞻与预研技术中心，安徽芜湖241006；
2.浙江理工大学机械与自动控制学院，浙江杭州310018）
摘要：为了揭示金属主簧-复合材料副簧的变形机理并快速预测其复合刚度，综合应用板弹簧设计理论、复合材料层合板理论及有限差分法建立了金属主簧-复合材料副簧复合刚度的理论计算模型，并编写了相应的MA TLAB计算程序。

采用ABAQUS软件建立了某金属主簧-复合材料副簧总成的有限元模型并对其刚度特性进行有限元模拟。

有限元模拟刚度与理论计算刚度之间的误差低于3%，从而验证了理论计算模型的正确性。

建立的理论计算模型不但阐明了金属主簧-复合材料副簧的变形机理，而且适宜编程计算，能准确快速地预测金属主簧-复合材料副簧的复合刚度，这对复合材料板簧的推广应用具有重要意义。

关键词：车辆工程；复合材料；板簧；轻量化
中图分类号：U462.1 文献标识码：B 文章编号：1671-7988(2021)05-39-05
Theoretical Calculation Model of the Composite Stiffness of Leaf Springs
With Metal Main Spring and Composite Auxiliary Spring*
Ke Jun1,2, Li Zhihu1, Qin Yulin1
（1.Chery Automobile Co., Ltd. Prospective and Pre-research Technology Center, Anhui Wuhu 241006;
2.School of Mechanical and Automatic Control, Zhejiang University of Technology, Zhejiang Hangzhou 310018）
Abstract:In order to reveal the deformation mechanism of leaf springs with metal main spring and composite auxiliary spring and predict its composite stiffness quickly, a theoretical calculation model was established by using design theory of leaf spring, composite laminated plate theory and finite difference method. Then the corresponding MATLAB calculation program was written. The finite element model of a leaf spring with a metal main spring and a composite auxiliary spring was established based on the finite element simulation method and its stiffness characteristics were simulated by ABAQUS software. The error between the stiffness values obtained from finite element simulation and the theoretical calculation modal is less than 3%, so the theoretical calculation model is correct. The model not only illustrates the deformation mechanism of leaf springs with metal main spring and composite auxiliary spring, but also suitable for programming, so the model can predict the composite stiffness of leaf springs with metal main spring and composite auxiliary spring accurately and quickly, which is of great significance for promoting the application of composite leaf springs.
Keywords: Vehicle engineering; Composite; Leaf spring; Weight reduction
CLC NO.: U462.1 Document Code: B Article ID: 1671-7988(2021)05-39-05
作者简介：柯俊，工学博士，副教授，浙江理工大学机械与自动控制学院，研究方向：汽车轻量化、汽车系统动力学与控制。

基金项目：国家自然科学基金面上项目（51775514），浙江省基础公益研究计划项目（LQ20E050001）。

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汽车实用技术
40 前言
采用复合材料制造汽车零部件可显著减轻汽车重量、促进节能减排，是汽车轻量化领域的研究热点[1][2]。

与钢板弹簧相比，复合材料板簧不但具有显著的轻量化优势，而且其疲劳寿命和减振性能均优于钢板弹簧，具有良好的应用价值
[3-7]。

目前，单片复合材料板簧的性能匹配及优化设计理论已
经比较完善，且相关研究已拓展至疲劳性能监控及优化范畴
[8-10]
，但复合材料板簧在我国的应用仍然非常有限。

除了制
造成本较高、人们对其可靠性有疑虑这些因素外，阻碍复合材料板簧推广应用的另一重要原因是现有的复合材料板簧不能针对具体工况（如空载、满载）提供相匹配的刚度，无法满足市场需求。

为解决上述问题，一种可行的方案是在具有主-副簧结构的钢板弹簧总成中，金属主簧不变，同时用复合材料副簧替换原有的金属副簧。

在主-副簧结构中，主要由主簧承载，因此该方案不仅使板簧总成具有可靠的变刚度功能，而且大幅降低了总成成本，同时减少了用户顾虑，最终促进复合材料板簧的推广应用。

对金属主簧-复合材料副簧总成而言，其核心性能参数是主副簧共同工作后的复合刚度。

目前，主要通过有限元模拟来实现金属主簧-复合材料副簧复合刚度的理论计算[11]，建模工作量大、周期长，且存在模型不收敛、需要反复调试修正地风险。

虽然已有学者提出了基于集中载荷法及有限元法的复合材料副簧刚度的匹配设计方法[12]，但该方法计算周期长，且未能正面解决金属主簧-复合材料副簧复合刚度的计算问题。

本文综合应用板弹簧设计理论、复合材料层合板理论及有限差分法建立了金属主簧-复合材料副簧复合刚度的理论计算模型，并综合有限元法及相关试验结果验证了该模型的正确性，从而彻底解决了金属主簧-复合材料副簧复合刚度的计算问题，为类似工程问题提供了理论依据。

1 总成结构设计
设计的金属主簧-复合材料副簧总成结构如图1所示。

为不失一般性，金属主簧采用工程实际中广泛应用的两片簧片结构，主簧片、片端减噪垫块及金属夹板的材质及结构尺寸与原总成相应部件相同。

总成各簧片之间通过原有的中心螺栓实现纵向及侧向载荷的传递。

虽然这种结构会在复合材料副簧上钻孔并削弱其可靠性，但这种结构能保证主簧和副簧之间载荷的可靠传递。

此外，副簧所受的载荷较小，其中部钻孔区域附近受悬架骑马螺栓固定，因此几乎没有变形。

同时，还可通过增加副簧中部设计厚度、设置局部增强铺层等手段进行针对性地补强，因此复合材料副簧的可靠性能够得到保证。

由于弹簧钢的硬度远高于纤维增强树脂基复合材料，因此为了保护复合材料副簧，在主簧与副簧之间设置了隔片
及片端橡胶垫块。

复合材料副簧的铺层均为单向，增强纤维
的排布方向均与簧身纵向成0°。

图1 金属主簧-复合材料副簧总成结构
2 复合刚度理论计算模型的建立
与传统的主-副簧式钢板弹簧总成相比，金属主簧-复合材料副簧的主要特点是其副簧具有各向异性。

要准确计算出金属主簧及复合材料副簧共同工作后的复合刚度，除了要准确计算出复合材料副簧自身刚度外，还需要深刻理解金属主簧-复合材料副簧的变形机理。

在前期研究中已经建立了基于层合板理论的复合材料板簧截面弯曲刚度的计算理论,且其正确性已经通过了试验验证[13][14]。

在本文提出的计算模型中，将调用复合材料副簧各截面弯曲刚度的计算程序。

2.1 有限差分法简介
根据有限差分理论，在发生形变后，板簧簧身中间距很小的两相邻横截面之间存在如下关系：
（1）
其中，i 是各横截面的编号，a 为横截面间距，f 是簧身在坐标点x 处的挠度，f i 是编号为i 的横截面的挠度。

若板簧为各向同性的金属板簧，则变形状态下板簧的有限差分方程为：
（2）
（3）
其中，f i 、θi 和I i 分别是编号为i 的横截面的挠度、偏转角和惯性矩，M （x ）i 为对应的弯矩，E 是簧身材料的弹性模量。

若板簧为各向异性的复合材料板簧，则变形状态下板簧的有限差分方程为：
（4）
（5）
其中，K i 是簧身各横截面的弯曲刚度。

若将簧身变形区域均分为（n +1）段，则共生成（n +1）个横截面（包括固定
柯俊 等：金属主簧-复合材料副簧复合刚度计算模型
41
端面，编号为0）。

则可由式（4）得到一组由（n +1）个方程组成的方程组（对金属板簧，各方程的K i 替换为EI i ）：
（6）
在固定端面无挠度和转角，因此有：
（7）
因此可通过方程组（6）的第一个等式求出f 1，然后通过第2个等式求出f 2。

依次类推，则横截面i 的挠度可表示为：
（8） 然后，可通过式（5）求出横截面i 的转角θi 。

显然该理论不但适用于具有任意横截面形状的板簧变形计算问题，而且易于编程实现。

2.2 复合刚度理论计算模型
以总成后半段为例，当金属主簧和复合材料副簧共同工作时，其变形示意图及相关参数如图2所示。

其中，总成后半段在主簧接头中心O 点受竖直向下的载荷F O 作用。

金属主簧和复合材料副簧在接触点E 的作用力及反作用力分别为F E 和F'E 。

AB 段受悬架骑马螺栓固定，变形可忽略不计，因此将BG 截面视为固定端。

两片金属簧片及复合材料副簧的中部厚度分别为H 1、H 2和H 3，末端厚度分别为h 1、h 2和h 3。

（l 3+l 4）段为主簧第1片的等厚度段，（l 1+l 2-l 4）段为主簧第2片的等厚度段。

l 5为副簧与主簧接触点中心与O 点的距离。

x m 为主簧某一横截面与O 点的距离，x a 为副簧某一横截面与E 点的距离。

主副簧宽度均为b 。

图2 金属主簧-复合材料副簧总成后半段变形示意图及相关参数
2.2.1 假设金属主簧只受到力F O 的作用，计算金属主簧在E 点的挠度f E 及O 点的挠度f O
把金属主簧的BD 段分成（m +1）段，则形成m 个新截面，加上固定端面BG ，共有（m +1）个横截面。

设每段长度为a ，则有：
（9）
对BD 段，根据有限差分理论，第i 个横截面的挠度为：
（10）
其中：
需要说明的是，式（10）中的I i 为主簧对应位置上的截面惯性矩，在本文中为主簧第一片及主簧第二片簧片对应截面惯性矩之和。

若金属主簧有多片簧片，则I i 为对应截面各
簧片截面惯性矩之和[15]。

当i 取（m +1）时即可求得截面D 的挠度f D 及转角θD ，则F O 单独作用下主簧O 点的挠度为：
（11）
其中，f O 1为假设D 处固定，O 端作用载荷F O 时，O 点的挠度。

f D θ是截面D 的弯曲转角使O 点产生的位移。

DO 段为金属主簧第一片簧片的平直段，其宽度和厚度已知，因此根据材料力学有：
（12）
则可通过（11）式求出f O 。

由于m 趋于无穷大，因此可将主簧上E 点的挠度看作取在E 附近最近截面对应的挠度。

由S r +ia =L r -L 5得当i =（L r -l 5-S r ）/a 时，对应i 1（将求得的i 数值取整）截面的挠度即为主簧上点E 的挠度，则主簧上点E 的挠度为：
（13）
2.2.2 假设金属主簧只受到力F 'E 作用，计算金属主簧E 点的挠度f 'E 及O 点的挠度f 'O 对BE 段，再次使用有限差分法，将BE 段均分成（n +1）段，设每段长度为a '，则有：
（14）
同理，第i 个横截面的挠度为：
（15）
其中，
当i 取（n +1）时即可求得只受到力F 'E 作用时主簧E 处
汽车实用技术
42 的挠度f 'E ，进而可求出截面E 的对应转角θ 'E 。

由于EO 段无外部集中载荷作用，且自身重力可忽略不计，因此当金属主簧只受到力F 'E 作用时，其O 点的挠度为：
（16）
其中，f 'E θ是截面E 的转角使O 端产生的位移。

2.2.3 计算复合材料副簧在力F E 作用下的挠度F''E ： 对复合材料副簧GE 段，再次应用有限差分法，把GE 段均分为（p +1）段，设每段长度为a''，则有：
（17） 同理，第i 个横截面的挠度为：
（18）
其
中，
当i 取（p +1）时即可求得复合材料副簧在力F E 作用下的挠度F''E 。

2.2.4 总成复合刚度计算
实际上，在主簧与副簧共同工作后，主簧E 的挠度是F 'E 与F O 的共同作用产生的，即主簧E 点的实际挠度为：
（19）
而主簧和副簧实际上在接触点E 处的挠度相同，因此：
（20） 式（20）中，F O 为已知量；m ，n ，p 为模型中取的各截面数，数值越大计算精度越高；在结构参数及铺层参数已知的情况下，金属主簧的截面惯性矩及复合材料副簧的截面弯曲刚度均可计算求出。

则可通过式求（20）求解出F E 的具体数值。

在主簧和副簧共同工作后，主簧O 点的挠度f OR 实际上是集中力F 'E 与F O 共同作用产生的，即：
其中，f O 1已知，f D 及θD 与F E 无关，F 'E 及θ'E 与F E 相关。

将求出的F E 代入上式即可求出主簧O 点的实际挠度f OR ，则主副簧总成后半段的复合刚度为：
（21）
同理，可通过上述理论计算出总成前半段主副簧复合刚度K f ，通过下式计算出主副簧总成的复合刚度：
（22） 其
中，。

3 模型正确性验证
由于复合材料板簧刚度有限元模拟方法及主副簧式钢板
弹簧刚度有限元模拟方法均已成熟且通过了样件台架试验验证[13][16]，因此可通过成熟的有限元法来验证复合刚度理论计算模型的正确性。

为不失一般性，选取典型的具有两片簧片的金属主簧-复合材料副簧（如图1）结构作为算例，相关的结构尺寸参数如表1、表2所示。

在Matlab 软件中按照提出的理论计算模型编写相应的计算程序，计算图1所示的金属主簧-复合材料副簧总成的理论刚度，并对其刚度特性进行有限元模拟。

有限元模型中材料属性设置、边界条件及工况的设置与单片
复合材料板簧有限元模型相同[11][12]。

通过有限元模拟得到的
总成在极限动载荷作用下的变形状态及应力云图如图4所示。

通过两种方法得到的计算结果如表3所示。

表1 金属主簧的尺寸参数
表2 复合材料副簧的尺寸参数
图4 总成在极限动载荷作用下的变形状态及应力云图
表3 理论计算刚度与有限元模拟刚度的对比
根据图4，主副簧之间的载荷得到了良好的传递，且总成变形状态符合设计要求，金属主簧的最大拉应力为1026
MPa ，复合材料副簧的最大拉应力为315MPa ，最大压应力
为40MPa 。

由于硅锰弹簧钢的强度极限为1375MPa ，E 玻纤
/聚氨酯复合材料的纵向拉伸强度为1003MPa ，纵向压缩强度
为832MPa ，因此设计的总成结构强度满足要求。

根据表3，理论计算模型的计算刚度与有限元模拟刚度的误差低于3%，满足工程应用的需要。

柯俊 等：金属主簧-复合材料副簧复合刚度计算模型
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4 结论
（1）根据模型正确性验证结果，提出的理论计算模型成功实现了典型的具有两片簧片的金属主簧-复合材料副簧复合刚度的精确计算，因此提出的理论计算模型为此类板簧刚度特性的正向设计提供了一种高效率的数值计算方法。

（2）根据已通过验证的理论计算模型，金属主簧-复合材料副簧的变形机理为：金属主簧单独受载产生的挠度是接头处集中载荷作用产生的挠度和主副簧接触点处集中载荷作用产生的挠度的线性叠加；主副簧共同工作产生的挠度是金属主簧单独受载变形后产生的挠度和复合材料副簧单受载变形后产生的挠度的线性叠加。

（3）与现有的基于有限元模拟的金属主簧-复合材料副簧复合刚度的计算方法相比，提出的理论计算模型适宜参数化建模及编程计算，在大幅提高计算速度的同时保证了计算精度，从而显著缩短了金属主簧-复合材料副簧的开发周期，并为该类板簧的优化设计创造了条件。

同时，由于该理论计算模型基于具有普适性的有限差分法，且对各簧片截面弯曲刚度的计算任务进行了模块化处理，即在计算过程中单独调用各簧片截面的刚度计算子程序，因此该理论计算模型为具有任意截面形状或复杂材料构成的板式复合材料弹性元件的刚度计算问题提供了一种新的数值计算思路。

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