【数学课件】完全平方公式(北师大课标)
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• 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分 是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是 正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍， 符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式： (1)aX－ax³ (2)16m³－m
解: (1)aX–aX³=aX(1–X²)=ax(1+X)(1–X)
P135:习题3.11
1,2,3题
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
(3)¼m² +3mn+9n² =(½m)² +2·½m·3n+(3n)² =[(½m)+(3n)]²
解: (1)x² +12xY+36Y² (2)16a4+24a² b² +9b4 =x² –2·x·(6Y)+(6Y)² =(4a² )² +2·(4a² )· (3b) +(3b² ) . =[x–(6Y)]² = [(4a² )–(3b²=(½m+3n)² =(x–6Y)² =(4a² –3b² )²
(1)是完全平方式,因为x2+6x+9=X²+2· x· 3 +3² ∣ ∣ ∣ a2+ 2ab + b2 (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy ² (3)是完全平方式 ,因为(3)25x －10x2+1=(5X²)² –2· 5x · 1 +1² (4)不是完全平方式.因为缺第三部分,即中间部分.
例3 把下列完全平方式分解因式: (1)X²+14x+49 (2) (m+n)²–6(m+n)+9
• 解 (1) X² +14x+49 =X² +2·x·7+7² =(X+7)² • ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a2+ 2ab +b2=(a+b)2
∣ ∣ ∣ (m+n)²–6(m+n)+9=(m+n)²–2(m+n)3+3² =[(m+n)–3]² · =(m+n–3)² 例4 把下列各式分解因式: (1)3aX²+6aXY+3aY² (2)–X²–4Y2+4XY 解 (1)3aX²+6aXY+3aY²=3a(X²+2XY+Y²) =3a(X+Y)²
解: (2)–X²–4Y2+4XY=–(X²+4Y²–4XY) =–(X²–4XY+4Y²) =–[X²–2·X·2Y+(2Y)²] =–(X–2Y)² 随堂练习:p52
1.下列各多项式是不是完全平方式? 请把是完全平方的多项式分解因式:
(1)X² –X+¼ =X² –2·X·½+(½)² =(X–½)² 2.把下列各式分解因式:
一个圆锥形的零件, 经过轴的剖面是一个 等腰三角形, 它的腰长等于圆锥的母线长, 底边长等于圆锥底面的直径. (1)圆锥形零件的母线长； (2)锥角(即等腰三角形的顶角)a； (3)零件的表面积.
收获?
困惑?
1．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ C ）(05天津) A．a B． C. D.
(2) 16m³–m=m(16m²–1) =m[(4m)²–1²) =m(4m+1)(4m–1) 问：我们学过的乘法公式除了平方差公 式 之外，还有哪些公式? 答:有完全平方公式.请写出完全平方公式.
完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把 多项式因式分解.
同学们:大家好!我们进天 来到多媒体教室上课,希望 这里的高科技能让大家有 ． 全新的感受,并能让我们更 有趣地学到更多的知识.
八年级数学第二章第(3)节 运用公式法 第2课
我们这节课的目的是:1.学会分析和判断一 个多项式是否为完全平方式，初步掌握运 用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，训练判断 能力. 3．进一步养成全面地观察问题、分析问题 和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的学习，体会 “把一个代数式看作一个字母”的换元思 想。
圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm, 母 线长50cm.
(1)画出烟囱帽的展开图;
(2)计算这个展开图的圆心角及面积.
已知圆锥的底面直径为80cm,
90cm, (05年嘉兴) 求: (1)圆锥的高; (2)锥角∠CAB. (3)侧面展开图的圆心角和表面积.
母线长
A
C
O
B
生活中的圆锥侧面积计算
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
二、新课 和讨论运用平方差公式把多项式 因式分解的思路一样，把完全平方公 式: (a+b)²=a2+2ab+b² (a–b²)=a² –2ab+b² 反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减 去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的 和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－ 2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式 就 也 是完全平方公式.运用这两个式子， 可以把形式是完全平方式的多项式分解因 式,这种方法叫做运用公式法.
2．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该 圆锥的侧面积与全面积之比值为（ A ）(05临祈)
3．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧 面积与底面积之比为（ ）(05上海) C A ． 3 ： 2 B ． 3： 1 C ． 2： 1 D ． 5： 3
感谢各位领导，老师的到 来，也谢谢同学们的支持 与配合。这次是我第一次 利用多媒体上课，如有不 足的地方，希望大家能给
1.问：什么叫把一个多项式因式分解? 我们已经学习了哪些因式分解的法? 答：把一个多项式化成几个整式乘 积形式，叫做把这个多项式因式分 解.我们学过的因式分解的方法有提 取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式： (1)aX－ax³ (2)16m³－m
解: (1)aX–aX³=aX(1–X²)=ax(1+X)(1–X)
P135:习题3.11
1,2,3题
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
(3)¼m² +3mn+9n² =(½m)² +2·½m·3n+(3n)² =[(½m)+(3n)]²
解: (1)x² +12xY+36Y² (2)16a4+24a² b² +9b4 =x² –2·x·(6Y)+(6Y)² =(4a² )² +2·(4a² )· (3b) +(3b² ) . =[x–(6Y)]² = [(4a² )–(3b²=(½m+3n)² =(x–6Y)² =(4a² –3b² )²
(1)是完全平方式,因为x2+6x+9=X²+2· x· 3 +3² ∣ ∣ ∣ a2+ 2ab + b2 (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy ² (3)是完全平方式 ,因为(3)25x －10x2+1=(5X²)² –2· 5x · 1 +1² (4)不是完全平方式.因为缺第三部分,即中间部分.
例3 把下列完全平方式分解因式: (1)X²+14x+49 (2) (m+n)²–6(m+n)+9
• 解 (1) X² +14x+49 =X² +2·x·7+7² =(X+7)² • ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a2+ 2ab +b2=(a+b)2
∣ ∣ ∣ (m+n)²–6(m+n)+9=(m+n)²–2(m+n)3+3² =[(m+n)–3]² · =(m+n–3)² 例4 把下列各式分解因式: (1)3aX²+6aXY+3aY² (2)–X²–4Y2+4XY 解 (1)3aX²+6aXY+3aY²=3a(X²+2XY+Y²) =3a(X+Y)²
解: (2)–X²–4Y2+4XY=–(X²+4Y²–4XY) =–(X²–4XY+4Y²) =–[X²–2·X·2Y+(2Y)²] =–(X–2Y)² 随堂练习:p52
1.下列各多项式是不是完全平方式? 请把是完全平方的多项式分解因式:
(1)X² –X+¼ =X² –2·X·½+(½)² =(X–½)² 2.把下列各式分解因式:
一个圆锥形的零件, 经过轴的剖面是一个 等腰三角形, 它的腰长等于圆锥的母线长, 底边长等于圆锥底面的直径. (1)圆锥形零件的母线长； (2)锥角(即等腰三角形的顶角)a； (3)零件的表面积.
收获?
困惑?
1．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为（ C ）(05天津) A．a B． C. D.
(2) 16m³–m=m(16m²–1) =m[(4m)²–1²) =m(4m+1)(4m–1) 问：我们学过的乘法公式除了平方差公 式 之外，还有哪些公式? 答:有完全平方公式.请写出完全平方公式.
完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把 多项式因式分解.
同学们:大家好!我们进天 来到多媒体教室上课,希望 这里的高科技能让大家有 ． 全新的感受,并能让我们更 有趣地学到更多的知识.
八年级数学第二章第(3)节 运用公式法 第2课
我们这节课的目的是:1.学会分析和判断一 个多项式是否为完全平方式，初步掌握运 用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2.理解完全平方式的意义和特点，训练判断 能力. 3．进一步养成全面地观察问题、分析问题 和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的学习，体会 “把一个代数式看作一个字母”的换元思 想。
圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm, 母 线长50cm.
(1)画出烟囱帽的展开图;
(2)计算这个展开图的圆心角及面积.
已知圆锥的底面直径为80cm,
90cm, (05年嘉兴) 求: (1)圆锥的高; (2)锥角∠CAB. (3)侧面展开图的圆心角和表面积.
母线长
A
C
O
B
生活中的圆锥侧面积计算