高中数学 第二章 圆锥曲线与方程阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版高二选修2-1数学试题

第二章 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分) 1．抛物线y ＝4x 2
的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1
16
D ．y ＝－1
16
解析：选D 由抛物线方程x 2
＝14y ，可知抛物线的准线方程是y ＝－116
.
2．(全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b
＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |
b 2＋c
2
＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.
3．θ是任意实数，则方程x 2
＋y 2
sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线
D ．圆
解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断：
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆；sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线；sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
4．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方
程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±
22
x D ．y ＝±1
2
x
解析：选C 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2
－b 2
＝2， 因为双曲线的焦点在x 轴上，
(A 卷 学业水平达标)
故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±
22
x . 5．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )
A.12或32
B.2
3或2 C.12或2 D.23或32
解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32
.
6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线
D ．抛物线
解析：选D 由题意得点P 到直线x ＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P 的轨迹是抛物线．
7．(天津高考)已知双曲线x 24－y 2
b
2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )
A.x 24－3y 24＝1
B.x 24－4y 2
3＝1 C.x 24－y 2
4＝1 D.x 2
4－y 2
12＝1 解析：
选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b
2
x ，圆的方程为x 2＋y 2
＝4，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
＝4，y ＝b
2
x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝44＋b 2
，y ＝
2b 4＋b
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－
44＋b 2
，y ＝－
2b 4＋b
2
，
即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
⎝ ⎛⎭⎪⎫
44＋b
2，2b 4＋b 2.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b
2
，4b
4＋b
2
，故8×4b
4＋b 2＝2b ，
得b 2
＝12.故双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.故选D.
8．已知|AB ―→ |＝3，点A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→
，
则动点P 的轨迹方程是( )
A.x 24＋y 2
＝1
B ．x 2
＋y 24＝1
C.x 2
9
＋y 2
＝1 D ．x 2
＋y 2
9
＝1
解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋2
3(x 0,0)，
即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )
2
＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 2
4
＋y 2
＝1.
9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )
A ．y 2
＝254x
B ．y 2
＝454x
C ．x 2
＝－452
y
D ．x 2
＝－454
y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302
＝2p ×40，即2p ＝452
，
所以所求抛物线方程为y 2
＝
452
x . 虽然选项中没有y 2
＝452x ，但C 中的2p ＝452，符合题意．
10．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2
＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )
A.13
B.23
C.23
D.223
解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2
＝8x ，得k 2x 2
＋(4k 2
－8)x ＋4k 2
＝0.设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k
2
k
2，x 1x 2＝4.抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛
物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 2
2＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k 2
k 2＝5，解得k 2
＝89.又因为k ＞0，所以k ＝223
.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
11．以双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 2
12
＝1
12．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1与C 1的一个交点，
则△PF 1F 2的面积为________．
解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4， 设P 点坐标为(x ，y )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
2＝1，
x 2
3－y 2
＝1，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝±32
2，y ＝±2
2
.
则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×2
2＝ 2.
答案： 2
13．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4.点R 是直线l 上的一点．若RA ―→＝AP ―→，则点P 的轨迹方程为________．
解析：设P (x ，y )，R (a,2a －4)，则RA ―→＝(1－a,4－2a )，AP ―→＝(x －1，y )． ∵RA ―→＝AP ―→，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－a ＝x －1，
4－2a ＝y ，消去a 得y ＝2x .
答案：y ＝2x
14．已知二次曲线x 2
4＋y 2
m
＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是
________．
解析：∵m ∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为x 2
4－y 2
－m
＝1，曲线为双曲线，
∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤6
2. 答案：
52，62
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，
b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32
，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y 2
＝2px (p ＞0)，
∵点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6在抛物线上， ∴6＝2p ×3
2，∴p ＝2，
∴所求抛物线的方程为y 2
＝4x .
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2
＋b 2
＝1.
又∵点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6在双曲线上， ∴
94a 2－6
b
2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＋b 2
＝1，94a 2－6
b
2＝1，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＝1
4
，
b 2
＝3
4，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝9，b 2
＝－8
(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x 2
－43
y 2＝1.
16．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y 2
＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．
解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝2x ，y ＝kx ＋2，消去x 得ky 2
－2y ＋4＝0.
∵直线l 与抛物线相交于M ，N 两点，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ≠0，Δ＝4－16k ＞0，
解得k ＜1
4且k ≠0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝4
k
，
从而x 1x 2＝y 212·y 22
2＝4
k 2.
∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即4k 2＋4
k
＝0，解得k ＝－1符合题意，
∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.
17．(本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两个不同的点．
(1)求椭圆C 的方程； (2)求弦AB 的长．
解：(1)∵椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)和F 2(2，0)，长轴长为4， ∴设所求椭圆的方程为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)， 则依题意有a ＝2，c ＝2， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝2.
∴椭圆C 的方程为：x 24＋y 2
2
＝1.
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
2
＝1，
y ＝x ＋2，
消去y 得3x 2
＋8x ＋4＝0，
设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则由根与系数的关系有
x 1＋x 2＝－83，x 1x 2＝43
，
所以由弦长公式： |AB |＝1＋k
2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝ 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－832－4×43＝423. 18．(本小题满分12分)已知椭圆x 24＋y 2
9＝1及直线l ：y ＝3
2x ＋m ，
(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3
2
x ＋m ，x 2
4＋y
2
9＝1，
消去y ，并整理得
9x 2
＋6mx ＋2m 2
－18＝0.① 上面方程的判别式
Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)．
∵直线l 与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2
－18
9，
故|AB |＝1＋k 2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6m 92－4×2m 2
－189 ＝
133
－m 2
＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.
19．(本小题满分12分)设有一颗彗星绕地球沿一抛物线型轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d (万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60°，求这颗彗星与地球的最短距离．
解：设彗星的轨道方程为y 2
＝2px (p >0)，
焦点为F (p
2，0)，彗星位于点P (x 0，y 0)处，直线PF 的方程为y ＝3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2，
解方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
消去y 得12x 2
－20px ＋3p 2
＝0. 得x ＝32p 或x ＝p
6，
故x 0＝3p 2或x 0＝p 6
.
由抛物线定义得|PF |＝x 0＋p 2＝2p 或|PF |＝2
3p .
由|PF |＝d ，得p ＝d 2或p ＝3
2
d ，
由于抛物线的顶点是抛物线上距离焦点最近的点，而焦点到抛物线顶点的距离为p
2，所
以彗星与地球的最短距离为12d 万千米或3
2d 万千米(p 点在F 点的左边与右边时，所求距离取
不同的值)．
20．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝6
3
，过点A (0，－b )
和B (a,0)的直线与原点的距离为
32
. (1)求椭圆的方程．
(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在
k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．
解：(1)直线AB 方程为：bx －ay －ab ＝0.
依题意⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝63
，c 2
＝a 2
－b 2
，ab a 2
＋b 2
＝3
2
，解得⎩⎨
⎧
a ＝3，
b ＝1.
∴椭圆方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)假若存在这样的k 值，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，
x 2＋3y 2
－3＝0，得
(1＋3k 2)x 2
＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2
－36(1＋3k 2
)＞0.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝－12k
1＋3k 2
，x 1
·x 2
＝9
1＋3k
2
.②
而y 1·y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2
x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.
要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2
x 2＋1
＝－1，
即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.
∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝7
6，使以CD 为
直径的圆过点E .。