北京市西城区2011年高三一模数学理试卷及答案

北京市西城区2011年高三一模试卷
数 学（理科） 2011. 4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于 （A ）(2,5)
（B ）[2,5)
（C ）{2,3,4}
（D ）{3,4,5}
2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2x
y =
（B ）2y x x =-
（C ）2y x =
（D ）3y x =
3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则 （A ）a b c <<
（B ）b c a <<
（C ）c a b <<
（D ）b a c <<
4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos 2θ等于 （A ）3
1-
（B ）3
2-
（C ）
3
2 （D ）
3
1 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
6.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是
（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4
x π
=-成中心对称
（C ）两个函数在区间(,)44
ππ
-上都是单调递增函数
（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1
:(0)C y x x
=
>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么 （A ）3
12,
,2
x x x 成等差数列 （B ）3
12,
,2
x x x 成等比数列
（C ）132,,x x x 成等差数列
（D ）132,,x x x 成等比数列
8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.
①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是 （A ）①②
（B ）②③
（C ）③
（D ）③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数
2i
1i
-对应的点到原点的距离为_____. 10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，
已知PA =4PC =，圆心O 到BC
O 的半径为_____.
11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ
=⎧∈⎨=⎩R 经过点1
(,)2m ，则m =______，离心
率e =______.
12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.
13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两
个展位，则不同的展出方法有____种.
14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有
1135,2n n n n
n n k
k a a a a a a +++⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，
,当111a =时，100a =______； 若存在*
m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______.
O
A
B
D
C
正(主)视图 俯视图
侧(左)视图
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且5
4
cos =B ,2=b . （Ⅰ）当3
5
=
a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 16．（本小题满分13分）
甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为
11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14
. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；
（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .
17.（本小题满分13分）
如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，
BE 与平面ABCD 所成角为060.
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；
（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.
A B
C
D F
E
18. （本小题满分14分）
已知函数2
(1)
()a x f x x
-=
，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.
（其中e 为自然对数的底数）
19. （本小题满分14分）
已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.
（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；
（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211
[,]42
λλ∈，求2λ的取值范围.
20.（本小题满分13分）
定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度.
（Ⅰ）当(1)n n a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；
（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤； （Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.
北京市西城区2011年高三一模试卷
参考答案及评分标准
数学（理科） 2011.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 2 10. 2 11. 415±
，2
12. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以5
3
sin =B . ……………………2分
因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得2
1
sin =A . (4)
分
因为b a <，所以A 是锐角， 所
以
o 30=A . ……………………6分
（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 10
3
sin 21==， (7)
分
所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.
因为B ac c a b cos 22
22-+=，所以ac c a 5
8
42
2
-
+=. ……………………9分
因为2
2
2a c ac +≥，所以8
245
ac ac -
≤， (11)
分
所以10≤ac ，（当a c == ……………………12分
所
以
A B
∆面积的最大值为
3. ……………………13分
16.（本小题满分13分）
解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有
12311
(),(),(),23
P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.
（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为
121()P A A -⋅122
1233
=-⨯=. (3)
分
（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有
()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233
p
p -⨯⨯-=， (5)
分
所以1134p -=，1
4
p =. ……………………7分
（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分
所以1
(0)4
P X ==
， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅
111312111423423424
=
+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅
11312111112342342344
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝1111
23424
⨯⨯= . (11)
分
X
(12)
分
所以，1111113()012342442412
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分
17.（本小题满分13分）
(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，
所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，
从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，
所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.
因为BE 与平面ABCD 所成角为0
60，即60DBE ∠=
分
所以
3=DB
ED
. 由3=AD 可知DE =AF =………………6分
则(3,0,0)A ，F ，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，
所以(0,BF =- ，(3,0,EF =-
， (7)
分
设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
n n ，即30
30
y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 令z =则=n (4,26)
. (8)
分
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-
，
所
以
c o 13CA CA CA ⋅〈〉==
=
n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为
13
13
. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .
则(3,,0)AM t t =-
，
因为//AM 平面BEF ，
所以AM ⋅
n 0=， (11)
分
即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分
此时，点M 坐标为(2,2,0)，1
3
BM BD =，符合题意. …………………13分
18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3
(2)
()a x f x x -'=，（0x ≠）， ……………3分
在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.
所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分
（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则00
2
0000
30
(1)10(2)
1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪
--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………7分（1个方程1
分）
解得01x =，1a =. ……………8分
（Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分
解()0g x '=，得1
e a x -=，
所以，在区间1
(0,e
)a -上，()g x 为递减函数，
在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. (10)
分
当1
e
1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………
11分
当1
e
e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，
所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………
12分
当1
1<e
<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；
(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得e
e 1
a <-，
所以，e
1e 1
a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， (13)
分
e
2e 1
a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分
综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e
e 1
a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.
19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(
,0)2p
F ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124
x p
+， …………………2分
圆的半径为1
121()2224
FA
x p p
x +=⨯--=， …………………4分
所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分
（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=
,得
111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22
p p
x y x y λ--=-， (6)
分
所以1111101,()2p
x x y y y λλ-
=-=-， 221221(),22
p p
x x y y λλ-=-=-， …………………8分
由221y y λ=-，得2
22221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，
所以 2221x x λ=. …………………
10分
代入
221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2
p
x λλλ+=+， 整理得12
2p x λ=， (12)
分
代入1112p x x λ-
=-，得122
222p p p
λλλ-=-， 所以1
2
2
1
1λλλ=-
， …………………13分
因为1211
[,]42
λλ∈，
所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分
解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2
p
AB x my =+
， 将2
p
x my =+
代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分
由1FA AP λ= ，2BF FA λ=
，得
111101(,)(,)2p x y x y y λ-
=--，22211(,)(,)22p p
x y x y λ--=-， …………………7分
所以，1111101,()2p
x x y y y λλ-
=-=-， 221221(),22
p p
x x y y λλ-=-=-， (8)
分
将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=
， …………………10分 所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分 代入1112p x x λ-
=-，得12211λλλ=-. …………………13分 因为1211[,]42
λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分
222299198=+++=⨯= . ………………
3分
（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，
(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，
所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分
因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<.
若a b c >>，则
(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---
当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<，
当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤，
当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，
即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ……………………6分
若a b c <<，
则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，
||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）
所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. …………………7分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理） 下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.
（ⅰ）证明23a a >.
若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.
若2a a a >>３１，则
1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾. 所以，321a a a >>. ………………………9分
（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>. 若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.
若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾. 所以，1+>i i a a . …………………11分
（ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->.
若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，
则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾. 所以，1n n a a ->. …………………12分
综上，得证.
同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ……………………13分
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。

莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。