人教版小学三年级数学第18讲 能被2,5整除的数的特征

第讲能被，整除的数的特征
同学们都知道，自然数和统称为(非负)整数。

同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。

两个整数相除时，情况就不那么简单了。

如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。

例如，
能被，，整除，因为÷，÷，÷，，，都是整数。

而不能被整除，因为÷……，有余数。

也不能被整除，因为÷……，有余数。

因为除以任何自然数，商都是，所以能被任何自然数整除。

这一讲的内容是能被和整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被或整除。

.能被整除的数的特征
因为任何整数乘以，所得乘数的个位数只有，，，，五种情况，所以，能被整除的数的个位数一定是，，，或。

也就是说，凡是个位数是，，，，的整数一定能被整除，凡是个位数是，，，，的整数一定不能被整除。

例如，，，等都能被整除，，，等都不能被整除。

能被整除的整数称为偶数，不能被整除的整数称为奇数。

，，，，，，，，…就是全体偶数。

，，，，，，，，…就是全体奇数。

偶数和奇数有如下运算性质：
偶数±偶数偶数，
奇数±奇数偶数，
偶数±奇数奇数，
奇数±偶数奇数，
偶数×偶数偶数，
偶数×奇数偶数，
奇数×奇数奇数。

例在～中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？
分析与解：由于，，，，…，，，是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：
(，)，(，)，…，(，)，
还剩一个。

共有÷(对)，还剩一个奇数。

所以
奇数的个数÷(个)，
偶数的个数÷(个)。

因为每对中的偶数比奇数大，对共大，而，所以奇数之和比偶数之和大，大。

如果按从大到小两两配对：
(，)，(，)，…，(，)，那么怎样解呢？
例()不算出结果，判断数()是偶数还是奇数？
()数(□)能被整除，那么，□里可填什么数？
()下面的连乘积是偶数还是奇数？
××××××××。

解：根据奇偶数的运算性质：
()因为，是偶数，所以()是偶数。

又因为是奇数，所以()是奇数。

()数(□)能被整除，则它一定是偶数。

因为是奇数，所以数(□)必是奇数。

又因为其中的是偶数，所以，数□必为奇数。

于是，□里只能填奇数，，，，。

()，，，，，，，都是奇数，由×为奇数，推知××为奇数……推知
×××××××
为奇数。

因为为偶数，所以
(×××××××)×为偶数，即
××××××××为偶数。

由例得出：
()在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数的个数是奇数，则结果是奇数。

()在连乘运算中，只要有一个因数是偶数，则整个乘积一定是偶数。

例在黑板上先写出三个自然数，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。

照这样进行次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？
解：根据奇偶数的运算性质知：
第一次擦后，改写得到的三个数是，，，是“二奇一偶”；
第二次擦后，改写得到的三个数是，，或，，或，，，都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶数，则改写得到的数为二奇数之和，是偶数；若擦去的是奇数，则改写得到的数为一奇一偶之和，是奇数。

总之，黑板上仍保持“二奇一偶”。

所以，无论进行多少次擦去与改写，黑板上的三个数始终为“二奇一偶”。

它们的乘积
奇数×奇数×偶数偶数。

故进行次后，所得的三个自然数的奇偶性为二奇数、一偶数，它们的乘积一定是偶数。

.能被整除的数的特征
由×，×，×，×，×，…可以推想任何一个偶数乘以，所得乘积的个位数都是。

由×，×，×，×，×，…可以推想，任何一个奇数乘以，所得乘积的个位数都是。

因此，能被整除的数的个位数一定是或。

也就是说，凡是个位数是或的整数一定能被整除；凡是个位数不是或的整数一定不能被整除。

例如，，，等都能被整除，，等都不能被整除。

例由，，写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被整除？解：因为个位数为或的数才能被整除，所以由，，写成的没有重复数字的三位数中，只有，，三个数能被整除。

例下面的连乘积中，末尾有多少个？
×××…××。

解：因为×，所以在连乘积中，有一个因子和一个因子，末尾就有一个。

连乘积中末尾的的个数，等于～中因子的个数与因子的个数中较少的一个。

而在连乘积中，因子的个数比因子的个数多(如含两个因子，含三个因子)，所以，连乘积末尾的个数与连乘积中因子的个数相同。

连乘积中含因子的数有，，，，，，这些数中共含有七个因子 (其中含有两个因子)。

所以，×××…××的积中，末尾有七个。

练习
.在～的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁大？大多少？
.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
()＋＋＋＋；
()＋＋＋＋＋＋；
()＋＋＋…＋＋；
()＋＋＋…＋＋；
()＋＋…＋＋。

.由，，三张数字卡片能组成多少个能被整除的三位数？
.两个质数之和是，这两个质数之积是多少？
.下面的连乘积中，末尾有多少个？
×××…××。

.用，，，，，这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被整除的有几个？能被整除的有几个？能被整除的有几个？
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