【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十一章 第
62课 抛物线要点导学
要点导学 各个击破
求抛物线的方程
已知点
P
23⎛ ⎝⎭在抛物线y 2=2px 上,求该抛物线的方程. [思维引导]将点P
的坐标
23⎛ ⎝⎭代入抛物线方程y 2=2px 即可. [解答]因为点
P 23⎛ ⎝
⎭在抛物线y 2=2px 上,所以83=2p ×23,p=2,所以抛物线的方程为y 2
=4x.
若抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为 . [答案]x=-2
[解析]抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪
⎝⎭,代入直线x-2y-2=0,得2p -2=0,即p=4,所以抛物线的准
线方程为x=-2p
=-2.
直线与抛物线的问题
过点M(2,0)的直线l 与抛物线C:y 2
=4x 相交于A,B 两点,过点A,B 分别作y 轴的垂线交直线
l':y=-2x-2于点A',B'.
(1) 若四边形A'B'BA 是等腰梯形,求直线l 的方程; (2) 若A',O,B 三点共线,求证:AB'与y 轴平行.
[思维引导](1) 若四边形A'B'BA 是等腰梯形,直线l 的斜率与直线l':y=-2x-2斜率互为相反数;(2) 通过计算A',B'的坐标来证明AB'与y 轴平行.
[解答](1) 因为四边形A'B'BA 为等腰梯形,
所以k AB =2,
故直线l 的方程为y=2x-4.
(2) 设直线AB 的方程为x=ty+2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则A'112-,2y y +⎛⎫
⎪⎝
⎭,B'222-,2y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由2
2,
4,x ty y x =+⎧⎨=⎩
得y 2-4ty-8=0, 故y 1+y 2=4t,y 1y 2=-8.
因为A',O,B 三点共线,所以2
22y ty +=11-22y y +,
即2y 1+y 2=8t+4,又y 1+y 2=4t,得y 2=-4,又y 1y 2=-8,所以y 1=2, 所以A(1,2),B'(1,-4), 故直线AB'与y 轴平行.
【题组强化·重点突破】
1. (2014·辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y 2
=2px 的准线上,过点A 的直线与抛物线C 在第一象限相切于点B,记抛物线C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为 .
[答案]4
3
[解析]由于点A(-2,3)在抛物线C:y 2=2px 的准线上,所以-2p
=-2,p=4,所以y 2
=8x.设直线AB 的方程
为x=k(y-3)-2,与y 2
=8x 联立,得y 2
-8ky+24k+16=0 ①,由Δ=64k 2
-96k-64=0,得k=2(负值舍去).
将k=2代入①,得y=8,x=8,故B(8,8),所以k BF =8-08-2=4
3.
2. (2014·莆田一中模拟)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点O 是坐标原点,若AF=5,则△AOB 的面积为 .
[答案]5
2
[解析]由已知可得p=2.如图,过点A 作AA 1⊥l,l 为准线,垂足为A 1,则由抛物线的定义得AA 1=AF,所
以x A +2p
=5,x A =4,代入y 2
=4x,得y A =4(-4舍去),所以A(4,4).又F(1,0),所以直线AB 的方程为
-04-0y =-1
4-1x ,即x=34y+1,代入y 2=4x,得y 2=3y+4,所以y B =-1.所以S △AOB =12OF ·(|y A |+|y B |)=12×1×(4+1)=5
2.
(第2题)
3. (2014·河南模拟)过抛物线y 2
=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限
分别交于A,B 两点,则AF
BF = .
(第3题)
[答案]3
[解析]如图,过点A,B 作准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,过点B 作BC ⊥AA 1于点C,由垂直及抛物线的
定义可知∠CAB=60°,所以AB=2AC,所以AF+BF=2(AF-BF),所以AF
BF =3.
抛物线与其他曲线的综合
已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y 2
=2px(p>0)的准线分别交于
A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB 则p= .
[答案]2
(例3)
[解析]由e=c
a =2,得
a,所以双曲线的渐近线为y=
又抛物线的准线方程为x=-2p ,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点
A -2p ⎛ ⎝⎭,
B （-2p
）.在△AOB
中
到AB 的距离为2p ,S △AOB
所以1
2
·2p
解得p=2.
若过点P(1,2)的直线l 与抛物线y 2
=4x 相交于A,B 两点,求AB 的中点M 所在曲线的方程. [解答]设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≠x 2),AB 中点为M(x,y),则x 1+x 2=2x,y 1+y 2=2y.又
21
y =4x 1,22
y
=4x 2,所以(y 1-y 2)(y 1+y 2)=4(x 1-x 2).所以k AB =1212--y y x x =2y .又k AB =-2
-1y x ,x ≠1,于是由2y =-2-1y x ,
得2x-y 2
+2y-2=0.
当x=1时,M 为(1,0),满足上式. 故点M 所在曲线的方程为2x-y 2
+2y-2=0.
已知抛物线C:y 2
=4x 的顶点为O,过点(-1,0)且斜率为k 的直线与抛物线C 交于A,B 两点,当实数k 变化时:
(1) 求证:OA ·OB 是一个与k 无关的常数; (2) 若OM =A O +OB ,求|OM |的最小值.
[思维引导]建立直线的方程,将y 2
=4x 代入直线方程后得到关于y 的方程,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),建立y 1与y 2的关系,再建立x 1与x 2的关系,进而求得x 1x 2+y 1y 2.
[规范答题](1) 由题意可设直线AB 的方程为y=k(x+1),
由2
(1),4,y k x y x =+⎧⎨=⎩得ky 2
-4y+4k=0.
设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则y 1+y 2=4
k ,y 1y 2=4,x 1x 2=214y ·2
24y =1,
所以OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=5,它为常数. (6分) (2) 设M(x,y),由OM =OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2),
得2
OM =(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=2
22
124y y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+(y 1+y 2)2=116[(y 1+y 2)2-2y 1y 2]2+(y 1+y 2)2
=416k +4,
由于Δ=16-16k 2
≥0,得-1≤k ≤1,且k ≠0, 所以|OM |min
. (14分)
1. (2014·福建六校联考)过抛物线y 2
=4x 的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,则AB= . [答案]8
[解析]设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),因为AB 的中点的横坐标为3,即12
2x x +=3,所以x 1+x 2=6.又因为
AB=x 1+x 2+p,p=2,所以AB=2+6=8.
2. 已知P 为抛物线C:y 2
=4x 上一点,若点P 到抛物线C 准线的距离与到顶点的距离相等,则点P 到x 轴的距离为 . [答案
[解析]由题意得点P 到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以x P =4p =1
2,所以|y P
3. (2014·济南期末)已知定点Q(2,-1),F 为抛物线y 2
=4x 的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当PQ+PF 取最小值时点P 的坐标为 .
[答案]1,-14⎛⎫ ⎪
⎝⎭
[解析]设点P 在准线上的射影为点D,则根据抛物线的定义可知PF=PD,要使PQ+PF 取得最小值,则
需D,P,Q 三点共线,将Q(2,-1)的纵坐标代入y 2
=4x,得x=1
4,故点P 的坐标为1,-14⎛⎫ ⎪⎝⎭.
4. (2014·湖南卷)如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a<b),原点O 为AD 的中点,
抛物线y 2
=2px(p>0)经过C,F 两点,则b
a =
.
(第4题)
[答案
+1
[解析]由题意可得C ,-2
a a ⎛⎫
⎪
⎝⎭,F ,2a b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为点C,F 在抛物线上,所以22,
22a p a a b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫
=+ ⎪⎪
⎝⎭
⎩
2
b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2b a ⎛⎫ ⎪
⎝⎭-1=0
b
a
+1(舍去负值).
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第123-124页).。