2024 届广东省四校高三第一次联考数学答案

【解析】由题意，2ln(1)ln10y x =−≤=，故(],0M =−∞，故()(0,)(1,1)(1,)R M N +∞−−+∞
2．A
【解析】由复数()11i z −=
，可得11i 1i 2z +==−，对应的点为11,22
，在第一象限. 故选：A. 3．A
【分析】先由不等式恒成立求出m 的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立，得 1
m x x
<+在()1,x ∈+∞上恒成立，
令1
()f x x x
=+
，由对勾函数的性质可知()f x 在()1,x ∈+∞上单调递增， 所以()(1)2f x f >=
， 所以2m ≤，
所以“210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立”的充要条件为2m ≤， 所以“1m <”是“210x mx −+>在()1,x ∈+∞上恒成立”的充分不必要条件， 故选：A 4．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积及模的坐标运算求解即可.
【详解】由题意CA CB =，90C = ，1
12
ABC S CB CA =
×= ，所以CA CB ==
如图，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，建立平面直角坐标系，
则(0,0),C A B ，所以(AB ，(AC
，(0,BC = ，
所以(00(0AC BC ⋅=×+×= ，((02AB AC ⋅=×=
，
(0(2AB BC ⋅=×=− ，cos 2AB B = 所以cos AB B BC =
，所以选项ABD 正确，C 错误.
【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有23
43C A 36=种不同情
况，记者A 被安排到甲组有322
332A C A 12+=
种，所求概率为121
363
P ==，故选:B ． 6. B
【解析】记双曲线C 的右焦点为F ′，P 为第二象限上的点，连接PF ，PF ′，QF ，QF ′， 根据双曲线的性质和直线l 的对称性知，四边形PFQF ′为平行四边形.
因为
2PQ FO =，所以四边形PFQF ′为矩形，而直线l 的斜率为，所以PF c =，PF ′=，
又||2PF PF a ′−=2c a −=，则1c e
a
==+．
故选：B ．
7. C
【解析】根据题意，可得,,A D A E A D A F A E A F ′′′′′′⊥⊥⊥，且
1,1,2A E A F A D ′′′===， 所以三棱锥D A EF ′−可补成一个长方体，则三棱锥D A EF ′−的外接球即为长方体的外接球，如图所示，
设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =
R =
，
所以外接球的表面积为22
4π4π6πS R ==⋅=. 故选：C. 8. A
【解析】ff (xx )=2sin �ωωxx +ππ
3�+(aa −1)ssss ss ωωxx =aassss ss ωωxx +√3ccccssωωxx =√aa 2+3sin (ωωxx +φφ)，其中φφ满足
ttaassφφ=
√3
aa
.又由任意的xx 1，xx 2均有φφ(xx 1)≤−φφ(xx 2)成立即ff (xx 1)+ff (xx 1)≤4√3成立可知ff (xx )最大值为2√3.
∴√aa 2+3=2√3，又aa >0，∴aa =3，∴ff (xx )=2sin (ωωxx +ππ
6)，又0<xx <ππ知ππ
6<ωωxx +ππ
6≤ωωππ+ππ
6，又
ff (xx )在(0,ππ)上存在唯一实数xx 0使ff (xx 0)=−√3即sin �ωωxx 0+ππ6�=−12，∴
7ππ6
<ωωxx +ππ6
≤
11ππ6
，∴1<ωω≤5
3.
选A .
10. 【答案】BC 【解析】对于A ，11
1n a n n
=
=≤ 恒成立，∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立， ∴数列{}n a 是有界的，A 错误；
对于B ，1111sin 1sin 222n n n
n n a n −≤≤∴−≤=⋅≤ ，2121111112222n n
n n S a a a
∴=+++<+++=−<
，
2121111112222n n n n S a a a
=+++>−+++=−+>−
，
所以存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立， ∴则数列{}n S 是有界的，B 正确； 对于C ，当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =−；
1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立， ∴数列{}n S 是有界的，C 正确；
对于D ，
()()221441
14421212121n n n n n n =<=− −+−+
， 222111111
112124123335
2121n
S n n n n n ∴=++++⋅⋅⋅≤+−+−+⋅⋅⋅+− −+
182241222212121n n n n n n n
=+−=+=−+ +++
；
221y x x =−+ 在()0,∞+上单调递增，21,213n n
∴−
∈+∞ +
， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是无界的，D 错误.
故选：BC.
11. 【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2， CCCC =2(0≤aa ≤2)，则CC (aa ,2,2)，EE (2,1,0).
AACC 1�������⃗=(−2,2,−2)，DDEE 1�������⃗∙AACC 1�������⃗=−2≠0，故AACC 1与DD 1EE 不垂直，故AA 错误.
由CCEE =CCDD 1知√aa 2+22+22=�(aa −2)2+12+22⟹aa =1
4∈[0,2]，故BB 正确.
VV EE−PPCC 1DD 1=VV PP−CC 1DD 1EE =13
∙2∙SS △CC 1DD 1EE =13
∙2∙12
∙2∙2=43
，为定值.故CC 正确. 又DD 1EE �������⃗=(2,1,0)，DD 1CC �������⃗=(aa ,2,2)，设平面DD 1EECC 的法向量ss 1�
���⃗=(xx ,yy ,zz )， 由�DD 1
EE �������⃗∙ss 1����⃗=0DD 1CC �������⃗∙ss 1����⃗=0⟹�2xx +yy =0aaxx +2yy +2zz =0， 令xx =2则yy =−4，zz =4−aa ， ∴ss 1����⃗=(2,−4,4−aa )，
又平面DD 1EECC 1的法向量ss 2����⃗=(0,0,1)， ∴|ccccss <ss 1����⃗,ss 2����⃗>|=|4−aa |
�22+(−4)2+(4−aa )
2
=1
�1+20
(4−aa )2
，
又0≤aa ≤2，∴4≤(4−aa )2≤，∴|ccccss <ss 1����⃗,ss 2����⃗>|∈�√6
6
，23
�.
故DD 错误.
（几何法）记棱AA 1DD 1，DD 1DD ，DDCC ，CCBB ，BBBB 1中点分别为FF ，GG ，JJ ，II ，HH ，易知AACC 1⊥平面EEFFGGJJ II HH ，
则AACC 1⊥EEFF ，若AACC 1⊥平面DD 1EECC ，则AACC 1⊥DD 1EE ，所以AACC 1⊥平面DD 1EEFF ，矛盾，故AACC 1不垂直于平面DD 1EECC .
故AA 错误.
连接EEBB ，DD 1CC ，易知BBCC ⊥EEBB ，BBCC ⊥DD 1CC ，设正方体棱长为2，知EEBB =√5，DD 1CC =2√2，
记BBCC =mm (0≤mm ≤2)，
则EECC =√mm 2+5，DD 1CC =�(2−mm )2+8， 由√mm 2+5=�(2−mm )2+8， 得mm =7
4∈[0,2].故BB 正确.
VV EE−PPCC1DD1=VV PP−CC1DD1EE=13∙2∙SS△CC1DD1EE=13∙2∙12∙2∙2=43，为定值.故CC正确.
过点CC作CCPP⊥BB1CC1于点PP，易知CCPP⊥DD1EE，过点PP作PPMM⊥DD1EE于点MM，知DD1EE⊥平面CCPPMM，所以CCMM⊥DD1EE，则二面角CC−DD1EE−CC1的平面角为∠CCMMPP，现在△CCMMPP中求解ccccss∠CCMMPP.
设正方体棱长为2，MMPP=xx，则MMCC=√xx2+4，∴ccccss∠CCMMPP=NNNN NNPP=xx√xx2+4，只需求xx取值范围即可: 记BBCC=mm(0≤mm≤2)，则BB1PP=BBCC=mm，
分析易知PP在CC1时xx取到最大值，此时xx=CC1MM1，
PP在BB1时xx取到最小值，此时xx=BB1MM2，
x
又CC1NN1CC1DD1=DD1AA1DD1EE即CC1MM1=2∙2√5=4√55，
BB1NN2DD
1AA1=BB1EE DD1EE即BB1MM2=2∙1√5=2√55，
所以2√55≤xx≤4√55即45≤xx2≤165，
∴ccccss∠CCMMPP=xx√xx2+4=�1−4xx2+4∈�√66,23�.
故DD错误.
12. 【解析】法1：tt=xx1ee xx1=xx2ll ss xx2=ll ss xx2ee ll ll xx2，又ff′(xx)=ee xx(xx+1)，知ff(xx)在(−∞,−1)上递减，在(−1,+∞)上递增，又当xx<0时，()<0；当xx>0时，ff(xx)>0，∴ff(xx)最小值=ff(−1)=−1ee，由图可知：当tt>0时，ff(xx)=tt有唯一解，故xx1=ll ss xx2，且xx1>0，∴xx1xx2=xx2ll ss xx2=tt，故AA正确；
从而ll ll ll xx1xx2=ll ll ll ll(tt>0)，设φφ(tt)=ll ll ll ll，则φφ′(tt)=1−ll ll ll ll2，令φφ′(tt)=0⟹tt=ee，易知φφ(tt)在(0,ee]上单调递增，在[ee,+∞)上单调递减，∴φφ(tt)≤φφ(ee)=1ee，∴ll ll ll xx1xx2≤1ee，∴eell ss tt≤xx1xx2，故BB正确；
gg′(xx)=ll ss xx+1=0⟹xx=1ee，∴xx=1ee，易知gg(xx)在(0,1ee)上递减，在(1ee,+∞)上递增，∴gg(xx)mmmm ll=gg�1ee�=−1ee，∴存在tt=−1ee，使ff′(−1)=gg′�1ee�=0，故CC错误；
令ff(xx)−gg(xx)=xx(ee xx−ll ss xx)，令rr(xx)=ee xx−ll ss xx，则rr′(xx)=ee xx−1xx，易知rr′(xx)在(0,+∞)上递增，又rr′�12�=√ee−2<0，rr′(1)=ee−1>0，∴存在xx0∈(12,1)，使rr′(xx0)=0，∴rr(xx)在(0,xx0)上递减，在(xx0,+∞)上递增（其中xx0满足ee xx0=1xx0，即xx0=−ll ss xx0）.∴rr(xx)≥rr(xx0)=ee xx0−ll ss xx0=xx0+1xx0>2，∴ff(xx)−gg(xx)=xx∙rr(xx)>2xx，∴ff(xx)−gg(xx)>mmxx，∴mm≤2，故DD正确.
故选AABBDD.
法2：对于选项AABB可以采用如下方法，
由xx1ee xx1=tt，xx2ll ss xx2=tt得ee xx 1=ll xx，ll ss xx2=ll xx，故xx1，xx2分别为函数yy=ee xx，yy=ll ss xx与yy=ll(tt>0)的两个
交点的横坐标，由对称性可知点BB 坐标为(xx 2,xx 1)，∴ll xx 2
=ll ss xx 2=xx 1，从而xx 1xx 2=tt ，xx 1=ll ss xx 2，∴ll ll ll
xx
1xx 2
=
ll ll ll ll
，以下同解法1 .
13. −6
【详解】二项式(xx −yy )6的展开式通项公式为TT rr+1=CC 6rr xx 6−rr
(−yy )rr ，rr ≤6，rr ∈MM ∗， 当=5r 时，TT 6=CC 65xx 6−5(−yy )5=−6xxyy 5，所以所求系数为−6.
故答案为：−6 14. 10−
【解析】 ff (xx )=ssss ss xx +1xx −4， ∴ff (−xx )=sin (−xx )+1−xx −4=−ssss ss xx −1
xx −4 ，
()()8f x f x ∴+−=−，又(3)2f −=，则()38210f =−−=−，故答案为：10−．
16. 【解析】易知RRRR 的方程为mmxx =2(yy −2)，从而直线RRRR 过定点BB (0,2)，从而AA 在直线RRRR 上的射影HH 的轨迹就是⊙DD ：xx 2+(yy −3)2=1，当与⊙DD 相切时，斜率分别为√3，−√3，由图可知kk ∈�−∞,−√3�∪
[√3,+∞).
17．
【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，3
12a a d =+，…………1分 由题意得()()111133328a d a a d a d +=− ++=
，解得12
3a d = =− 或143a d =− = ，…………………………3分
20. 【解析】（1）得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以()1113
22224
p =+×=，……1分 得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误， 所以()1
21111153222228
p C =××+××=；………………3分
（2）方法1：由题意可知，n X 的所有可能取值为,1,2,,,,2n n n n k n +++ .…………4分
()*
111()10,N 222k
n k
n
k k n n
n
p X n k C C k n n −
+⋅⋅−⋅≤≤∈
…………5分
故n X 的分布列如下
n X
n
1n +
n k +
2n
所以()()()011111122222n
n
n
n
k
n n n
n n
n E X nC n C n k C nC =⋅++⋅+++⋅++⋅
……8分
()0112122n
k n k n
n n n n n n n n n C C C C C C kC nC =⋅+++++++++++
…………9分 又由()1
1
1!!!()!(1)!()!
k k n n n n kC k n nC k n k k n k −−−=⋅=⋅=⋅−−⋅−………………10分 012k n n n n n n C C C C +++++= ，0111
1111
2k n n n n n n C C C C −−−−−−+++++= …………11分 ()0111
111113()222222n n
n n n n n n n n n E X n n C C C n n −−−−− ∴=⋅⋅++++=⋅⋅+⋅=
…………12分 方法2：设回答n 次，其中正确回答次数为ξ ，由于正确回答每题的概率都为1
2，且每次回答问题是相互独立的，故1(,)2
B n ξ ，…………5分
又由2()n X n n ξξξ=+−=+…………7分 从而n X 的分布列及数学期望分别如下
()*
111()()10,N 222k
n k
n
k k n n n P X n k P k C C k n n ξ− +⋅⋅−⋅≤≤∈
……10分
13()()().
22
n n E X E n n E n n ξξ=+=+=+⋅=…………12分
21. 【解析】（1）易知SS △AABBAA =SS △OOAAAA =2∙12
∙|OORR |∙|yy AA |=2|yy AA |≤2|bb |=2bb =2√5， ∴bb =√5，故椭圆的方程为xx 2
9+yy 25
=1.…………4分
（2）法1：设AACC 的方程为xx =2+ttyy ，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2)，由 �xx =2+ttyy xx 2
9
+
yy 25
=1
,⟹(5tt 2+9)yy 2+20ttyy −25=0，…………5分 ∴yy 1+yy 2=−
20ll 5ll 2+9
，yy 1∙yy 2=−255ll 2+9，∴yy 1+yy 2yy 1∙yy 2
=
4ll 5
，…………6分
设CC (9
2,mm )，则kk 2=
2mm 5
，kk 1+kk 3=mm−yy
152
−llyy 1+mm−yy
2
52
−llyy 2，…………8分
∴kk 2kk 1+kk 3=2mm 5∙25−10tt (yy 1+yy 2)+4tt 2yy 1∙yy 22[10mm −(2mmtt +5)(yy 1+yy 2)+4ttyy 1∙yy 2] =mm 5∙25−10tt ∙�−20tt 5tt 2+9�+4tt 2∙�−255tt 2+9�10mm −(2mmtt +5)∙�−20tt 5tt 2+9�+4tt ∙�−255tt 2+9� =mm 5∙25[(5tt 2+9)+4tt 2]10mm [(5tt 2+9)+4tt 2]
=mm 5∙52mm =12
. …………12分 法2：设AACC 的方程为xx =2+ttyy ，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2)，由 �xx =2+ttyy xx 29+yy 25=1,⟹(5tt 2+9)yy 2+20ttyy −25=0，…………5分 ∴yy 1+yy 2=−20ll 5ll 2+9，yy 1∙yy 2=−255ll 2+9，………………6分 ∴yy 1+yy 2yy 1∙yy 2=4ll 5，即yy 1+yy 2=4ll 5yy 1∙yy 2，…………………7分
设CC (92,mm )，则 kk 1+kk 3=mm −yy 152−ttyy 1+mm −yy 252−ttyy 2=5mm −�mmtt +52�(yy 1+yy 2)+2ttyy 1∙yy 2254−5tt 2(yy 1+yy 2)+tt 2yy 1∙yy 2 =5mm −�mmtt +52�∙4tt 5yy 1∙yy 2+2ttyy 1∙yy 2254−5tt 24tt 5yy 1∙yy 2+tt 2yy 1∙yy 2=5mm −4mm 5tt 2yy 1∙yy 2254−tt 2yy 1∙yy 2 =4mm 5=2∙kk 2，……………………11分
∴kk 2kk 1+kk 3=12.…………12分 22. 【解析】
（1）依题意得，(0)1f a =−=，此时2()sin e x f x x x =−−，()sin 2e 1x f x x ′=−−，……1分 则切线斜率为(0)2f ′=−，…………2分
故切线方程：12(0)y x +=
−−，即21y x =−−…………3分 （2）时aa =−1，ff (xx )=ssss ss 2xx −ee xx −xx ，则ff ′(xx )=ssss ss 2xx −ee xx −1，
∴ff ′(xx )=ssss ss 2xx −ee xx −1≤−ee xx <0，……4分 ∴ff ′(xx )在�0,ππ2�上单调递减，…………5分 又ff (0)=−1，ff �ππ2�=1−ee ππ2−ππ2，∴ff (xx )值域为�1−ee ππ2−ππ2,−1�.…………6分
（3）gg (xx )=ff (xx )+12ccccss 2xx −aa −12=aaee xx −xx −aa (0<aa ≤1)， gg ′(xx )=aaee xx −1=0⟹xx =−ll ss aa ， gg ′(xx )>0⟹xx >−ll ss aa ；gg ′(xx )<0⟹xx <−ll ss aa . gg (xx )减区间为(−∞,−ll ss aa )，增区间为(−ll ss aa ,+∞)，……7分
∴gg (xx )≥gg (−ll ss aa )=1+ll ss aa −aa . 当aa =1时，1+ll ss aa −aa =0，∴gg (xx )≥0，∴gg (xx )在(−∞,+∞)上有且仅有一个零点；……8分
当0<aa <1时，令rr (aa )=1+ll ss aa −aa (0<aa <1)，rr ′(aa )=1aa −1=1−aa aa >0，∴rr (aa )在(0,1)上单调递增，
∴rr (aa )<rr (1)=0，…………9分
又gg (0)=0，∴gg (xx )在(−∞,−ll ss aa )上有一个零点，又gg (−2ll ss aa )=1aa +2ll ss aa −aa ，…………11分 令φφ(aa )=1aa −aa +2ll ss aa (0<aa <1)，则φφ′(aa )=−(aa−1)2aa <0，∴φφ(aa )在(0,1)上单调递减， ∴φφ(aa )>φφ(1)=0，∴gg (−2ll ss aa )>0，∴gg (xx )在(−ll ss aa ,−2ll ss aa )上有一个零点.……12分 综上所述，aa =1时，gg (xx )有一个零点，0<aa <1时，gg (xx )有2个零点.
注：若用无穷远代替2ln x a =−，该2分不给。