2013浙江高三数学综合测试(九)解析几何

2013高三数学综合测试（九） 解析几何
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1
B ．－1
C ．－2或－1
D ．－2或1
2．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )
A ．x ＝0
B ．y ＝1
C ．x ＋y －1＝0
D ．x －y ＋1＝0
3.已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )，若直线l 2过点(0,5)，且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程是( )
A ．x ＋3y －5＝0
B ．x ＋3y －15＝0
C ．x －3y ＋5＝0
D ．x －3y ＋15＝0
4.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA ＋OB |＝|OA －OB |(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D.6或－6
5.若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点， 且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该
椭圆的方程是( )
A.x 24＋y 2
2＝1 B.x 23＋y 2
＝1 C.x 22＋y 24
＝1
D ．x 2
＋y 2
3
＝1
6.已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2
9＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B
中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
7.方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴
上的一个端点，若31DF ＝DA ＋22DF ，则该椭圆的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.15
8.若椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线bx y 22= 的
焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ( )
A ．
1617 B C ．45 D 9.已知双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于
( ) A.22
4515y x -= B.22154x y -= C.22154y x -= D.22
5514
y x -=
10. 记点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定
圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．直线 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． 12.已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，xy 的最大值等于____________． 13.若圆x 2
＋y 2
－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2
＋y 2
＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为________．
14.已知F 1为椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |
＋|F 1B |的值为________．
15.已知点F 、A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB ·AB
＝0，则双曲线的离心率为________．
16.如果一个平面与一个圆柱的轴成α（︒<<︒900α）
角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当=α︒30时，椭圆的离心率是 .
17.已知21,F F 分别为椭圆164
1002
2=+y x 的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为（2，-6）
，P 为椭圆上的一个动点，则||||2PF PM +的最大值是 ． 三、解答题：
本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .(本题满分14分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
19. .(本题满分14分)已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
20. .(本题满分14分)已知椭圆C 1的方程为x 24
＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是
C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．
21．(本题满分15分) 设椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：
21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．
（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45
-
），N 为抛物线C 2上的一动点， 过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两 点，求MPQ ∆面积的最大值．
22.(本题满分15分) 已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)P ，过1C 的焦点且
垂直长轴的弦长为1． （I ）求椭圆1C 的方程；
（II ）设抛物线2C ：2
()y x h h =+∈R 的焦点为F ，过F 点的直线l 交抛物线与A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线2C 的切线交于Q 点，且Q 点在椭圆1C 上，求ABQ ∆面积的最值，并求出取得最值时的抛物线2C 的方程。

理科数学试题答案
一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
D C B C A A D D D D
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0
12.3
13.y 2＋4x －4y ＋8＝0
14.823
15.
1＋5
2
16.
2
3
17.30
三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，截距相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0.
若a ≠2，由于截距存在，∴a －2
a ＋1＝a －2，
即a ＋1＝1，∴a ＝0， 方程即x ＋y ＋2＝0. (2)法一：将l 的方程化为 y ＝－(a ＋1) x ＋a －2，
∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩
⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)≥0，
a －2≤0.
∴a ≤－1.
综上可知，a 的取值范围是a ≤－1. 法二：将l 的方程化为 (x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R)，
它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由图象可知l 的斜率－(a ＋1)≥0时，l 不经过第二象限，∴a ≤－1.
19.解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．
根据题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2
(－1－a )2
＋(1－b )2
＝r 2
，
a ＋
b －2＝0
解得a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋1
2|BM |·|PB |，
又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |， 所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S ＝2
|PM |2－4.
因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42＝3，
所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2
|PM |2－4＝2
32－4＝2 5.
20.解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
1－3k 2
≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2
)>0，
∴k 2≠1
3且k 2<1，①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k
1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2
. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋73k 2－1
.
又∵OA ·
OB >2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋9
3k 2－1
>0，
解得1
3<k 2<3，②
由①②得1
3<k 2<1，
故k 的取值范围为(－1，－
33)∪(3
3
，1)． 21．(本题满分15分)（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2． 令y =0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1．
所以2
2
2
5a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22
154
x y +=．…………4分
（Ⅱ）设N （2
,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：
2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．……………………………6分
代入椭圆方程整理得：2
2
2
2
2
4(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,
222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,
2122
5(1)
15t t x x t ++=
+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,
故2PQ x =-=
=．………………………………10分
设点M 到直线PQ 的距离为d
，则d ……………12分
所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =
⋅=
=
=
≤
=…………14分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意．
综上可知，MPQ ∆
…………………………15分 22、解析：（I ）由题意得212,,1
21b a b b a
=⎧=⎧⎪
∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2
214y x +=…….6分
（II ）令221122(,),(,)A x x h B x x h ++ 则抛物线2C 在点A 处的切线斜率为1
12x x y x ='=
所以切线AQ 方程为: 2211111()2()2y x h x x x y x x x h -+=-=-+即①
同理可得BQ 方程为: 2222y x x x h =-+②
联立①②解得Q 点为1212,2x x x x h +⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
…………………8分 焦点F 坐标为(0, 14h +
), 令l 方程为: 14y kx h =++ 代入2C ：2
y x h =+ 得: 2104x kx --= 由韦达定理有：12121
,4
x x k x x +==-
所以Q 点为1,2
4k
h ⎛⎫-
⎪⎝⎭ …..10分
过Q 做y 轴平行线交AB 于M 点， 则121
2
ABQ S QM x x ∆=
- M 点为21,22
4k k h ⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 212k QM +=
, 12x x -==
3
12
1
12
4
ABQ
S QM x x ∆∴=-=……..12分
而Q 点在椭圆上, []2
2221()
1414()0,4424h k k h -
⎛⎫∴
+=∴=--∈ ⎪⎝⎭
()
min 22197
,0,,
444
97
44
ABQ
S k h ∆∴=
==+此时或-则抛物线方程为y=x 或y=x -
(
)
2max
21,4,414
ABQ
S
k h ∆=
==
+
此时,
则抛物线方程为y=x …..15分。