课时作业12：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
一、选择题
1．在△ABC 中，AN →＝13NC →，点P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211
AC →，则实数m 的值为( ) A.911 B.511 C.311 D.211
答案 C
解析 ∵B ，P ，N 三点共线，又∵AP →＝mAB →＋211
AC →， ＝mAB →＋811AN →，∴m ＋811＝1，∴m ＝311
. 2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.13 B.23 C.12 D.34
答案 B
解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23
. 3．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数
p 的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 B
解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .
又A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．
设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.
4．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB
→＋OD →，则四边形ABCD 是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．等腰梯形
答案 A
解析 ∵OA →－OB →＝BA →，OD →－OC →＝CD →，
而OA →＋OC →＝OB →＋OD →，
∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →.
又∵BA →与CD →不重合，∴AB ∥CD 且AB ＝CD .
∴四边形ABCD 为平行四边形．
5．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )
A ．A ，
B ，
C 三点共线
B ．A ，B ，D 三点共线
C ．A ，C ，
D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线
答案 B
解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝5a ＋3b －3a ＋3b ＝2a ＋6b
＝2(a ＋3b )＝2AB →，
∴AB →∥BD →.
又AB →，BD →都过点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
6．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线
的条件是( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1 答案 D
解析 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线，得AB →＝tAC →，所以λa ＋b
＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D. 7．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D
不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎝⎛⎭
⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫－13，0 答案 D
解析 设CO →＝yBC →，
∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)
＝－yAB →＋(1＋y )AC →，
又BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，
∴y ∈⎝⎛⎭
⎫0，13. ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭
⎫－13，0. 二、填空题
8．设向量a ，b 不平行，若向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.
答案 12
解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0.又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，
使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 9．设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b ，有：
①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；
③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110
e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.
其中a ，b 共线的有________．(填序号)
答案 ①②③
10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量k e 1＋2e 2与8e 1＋k e 2方向相反，则k ＝________. 答案 －4
解析 由题意得，存在λ＜0，使得k e 1＋2e 2＝λ(8e 1＋k e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝8λ，2＝λk ，∴8λ2＝2，λ2＝14. 又λ＜0，∴λ＝－12
，∴k ＝8×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. 三、解答题
11．已知数轴上有A ，B ，C 三点．
(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC →的坐标；
(2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．
(1)解 AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC →的坐标为5.
(2)证明 ∵AB ＝BC ，∴x B －x A ＝x C －x B ，
∴x B ＝x A ＋x C 2
，故B 是AC 的中点． 12．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值．
解 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，
∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，
∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，
∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .
∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧
k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 四、探究与拓展
13.如图所示，平行四边形ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝14
BA ，点F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15
BD ，则( )
A ．E ，F ，C 三点共线，且EF →＝13
FC → B ．E ，F ，C 三点共线，且EF →＝14
FC →
C ．E ，F ，C 三点共线，且EF →＝15FC →
D ．
E ，
F ，C 三点不共线 答案 B
解析 不妨设BA →＝a ，BC →＝b ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BD →＝a ＋b .
∵BE ＝14BA ，BF ＝15BD ，∴BE →＝14a ，BF →＝15
(a ＋b )， ∴EF →＝BF →－BE →＝15(a ＋b )－14a ＝－120a ＋15
b ， EC →＝BC →－BE →＝b －14
a ＝5⎝⎛⎭⎫－120a ＋15
b ， 即EC →＝5EF →，
∴EC →与EF →共线，∴E ，F ，C 三点共线，且EF →＝14
FC →. 14.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP →＝13AB →＋25AC →，BQ →＝15AB →＋25
AC →.
求证：四边形APQB 为梯形．
证明 因为PQ →＝P A →＋AB →＋BQ →
＝－13AB →－25AC →＋AB →＋15AB →＋25AC →＝1315
AB →， 所以PQ →∥AB →.又|AB →|＝15，
所以|PQ →|＝13，
故|PQ →|≠|AB →|，于是四边形APQB 为梯形．。