人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、中线与角平分线复习试题(含答案) (54)

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的高、
中线与角平分线试题（含答案)
已知，如图，OC 是AOB ∠的角平分线，2AOD BOD ∠=∠，18COD ∠=︒.请你求出BOD ∠的度数．
【答案】36BOD ∠=︒.
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠BOC=12∠AOB ，根据已知条件得到∠BOD=13
∠AOB ；求得∠BOD=2∠COD ，代入数据即可得到结论．
【详解】
∵OC 是AOB ∠的角平分线 ∴12
BOC AOB ∠=∠； ∵2AOD BOD ∠=∠
∴3AOB BOD ∠=∠，即13
BOD AOB ∠=∠； ∴111236
COD AOB AOB AOB ∠=∠-∠=∠ ∴2BOD COD ∠=∠
∵18COD ∠=︒
∴36BOD ∠=︒.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，熟记角平分线的定义是解题的关键．
72．如图所示，已知∠AOB ＝90°，∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ；
（1）求∠MON ；
（2）∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，求∠MON 的度数．
【答案】（1）45°（2）12
α 【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义及∠MON =∠MOC ﹣∠CON ，可得结论；
（2）同理可得：∠MOC 12=（α+β），∠CON 12
=β，根据图形便可推出∠MON =∠MOC ﹣∠CON =12
α． 【详解】
（1）∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC =12
∠AOC ，∠NOC =12
∠BOC ． ∵∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∴∠MON =∠MOC ﹣∠NOC =12
（∠AOB +∠BOC ﹣∠BOC ）=12
∠AOB ． ∵∠AOB =90°，∴∠MON =12
×90°=45°． （2）同理可得：∠MOC =1()2αβ+，∠CON =12
β，∴∠MON =∠MOC
﹣∠CON =11()22αββ+-=12
α． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC =∠AOB +∠BOC ，∠MON =∠MOC ﹣∠CON ．
73．如图，O 为直线AB 上一点，OC 为射线，OD 、OE 分别为∠AOC 、∠BOC 的平分线．
（1）判断射线OD 、OE 的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AOD ＝30°，求证：OC 为∠AOE 的平分线；
（3）如果∠AOD ：∠AOE ＝2：11，求∠BOE 的度数．
【答案】（1）垂直（2）证明见解析（3）70°
【解析】
【分析】
由OD 、OE 分别为∠AOC 、∠BOC 的平分线，可得∠DOE 为180°的一半，
可得OD ∠OE ；
由OD 为∠AOC 的平分线和∠AOD=30°得到∠COD=∠AOD=30°，由（1）得∠DOE=90°，可得∠COE=60°，又由∠AOC=60°，可得OC 为∠AOE 的平分线；
由OD ∠OE 和∠AOD ︰∠AOE=2︰11即可求.
【详解】
（1）垂直
∵OD、OE分别为∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠COD=1
2
∠COA ∠COE=
1
2
∠COB.
∴∠EOD=1
2
∠COA+
1
2
∠COB=
1
2
∠AOB=90°.
∴OD⊥OE.
（2）∵∠AOD=30°，
∴∠COD=30°.
∴∠COE=90-30=60°,∠COA=60°
∴∠COE=∠COA.
∴OC为∠AOE的平分线.
（3）∵∠AOD︰∠AOE=2︰11，
∴∠AOD︰∠DOE=2︰9.
∴∠AOD=20° .
∴∠BOE=90°-20°=70°.
【点睛】
本题考查的知识点是角平分线定理，解题关键是熟记角平分线定理.
74．如图，O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．求∠EOF的度数.
【答案】90°.
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠COE=1
2∠AOC，∠COF=
1
2
∠BOC，然后根据
∠EOF=∠COE+∠COF=1
2
(∠AOC+∠BOC)和平角的定义解答．
【详解】
解：∵O为直线AB上一点
∴∠AOB=180°
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC
∴∠EOC=1
2
∠AOC，∠COF=
1
2
∠BOC
∴∠EOF=∠EOC+∠COF
=1 2∠AOC+
1
2
∠BOC
=1
2
(∠AOC+∠BOC)
=1
2
∠AOB
=1
2
×180°
=90°
【点睛】
本题考查角平分线的定义、平角.
75．如图所示，在△ABC中：（1）画出BC边上的高AD；（2）画出中线AE；（3）画出∠B的平分线BF
【答案】作图见解析.
【解析】
【分析】
（1）①以A为圆心，AC为半径画弧，交BC延长线于C′，②分别以C、C′为圆心大于1
CC′为半径画弧，两弧交于O，③连接AO交BC延长线于D，
2
BC为半径画弧，则AD即为BC边上的高；（2）①分别以B、C为圆心，大于1
2
两弧交于M、N，②连接MN交BC于E，则AE即为中线，（3）①以B为圆心，
PQ 任意长为半径画弧，交AB、BC于Q、P，②分别以P、Q为圆心，大于1
2
为半径画弧，两弧在角内交于F，作射线BF，则BF即为∠ABC的角平分线.
【详解】
作图如下：
【点睛】
本题考查了尺规作图：熟悉基本几何图形的基本作图方法是解题关键.
76．如图，CB∠OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF．
（1）求∠EOC的度数；
（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB＝∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）40°；（2）不变，＝1：2；（3）∠OCA＝60°．
【解析】
【分析】
（1）由于BC∥OA，∠B＝100°，易求∠AOB，而OE、OC都是角平分线，从而可求∠COE；
（2）利用BC∥OA，可知∠AOC＝∠BCO，又因为∠AOC＝∠COF，所以
就有∠FCO＝∠FOC，即∠BFO＝2∠FCO＝2∠OCB，那么∠OCB：∠OFB＝1：2；
（3）设∠OCA＝α，∠AOC＝x，根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平行线的性质可得，α+x＝80°，40°+x＝α，解即可．【详解】
解：（1）∠CB∠OA，
∠∠BOA+∠B＝180°，
∠∠BOA＝80°，
∠∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，
∠∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝1
2
∠BOF+
1
2
∠FOA＝
1
2
（∠BOF+∠FOA）＝1
2
×80°＝40°；
（2）不变．
∠CB∠OA，
∠∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，
∠∠FOC＝∠AOC，
∠∠COA＝1
2
∠FOA，即∠OCB：∠OFB＝1：2．
（3）在平行移动AC的过程中，存在∠OEB＝∠OCA，且∠OCA＝60°．设∠OCA＝α，∠AOC＝x，
∠∠OEB＝∠COE+∠OCB＝40°+x，
∠ACO＝80°﹣x，
∠α＝80°﹣x，40°+x＝α，
∠x＝20°，α＝60°．
【点睛】
本题考查平移和平行线的性质的有关知识.平移的基本性质是:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
77．已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于F 点，∠A=60°，∠CEF=55°，求∠EFB的度数．
【答案】130°
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等求出∠ECD=∠CEF，再根据角平分线的定义求出∠ACD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
【详解】
∵EF∥BC，∠CEF=55°，
∴∠ECD=∠CEF=55°，
∵CE是△ABC的一个外角平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°，
∵∠A=60°，
∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB=180°-∠B=180°-50°=130°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
78．如图所示，已知直线AB和CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON ＝90°，∠AOC＝50°．
（1）求∠AON的度数．
（2）写出∠DON的余角．
【答案】（1）65°；（2）∠DOM，∠BOM．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠MOB的度数，根据邻补角的性质计算即可；
（2）根据题意得到，∠DOM为∠DON的余角．
【详解】
（1）∵∠AOC+∠AOD＝∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°，
∵OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠DOM＝25°，
又由∠MON＝90°，
∴∠AON＝180°﹣（∠MON+∠BOM）＝180°﹣（90°+25°）＝65°；
（2）由∠DON+∠DOM＝∠MON＝90°知∠DOM为∠DON的余角，∵∠AON+∠BOM＝90°，∠DOM＝∠MOB，
∴∠AON+∠DOM＝90°，
∴∠NOD+∠BOM＝90°，
故∠DON的余角为：∠DOM，∠BOM．
【点睛】
本题考查的是邻补角的概念以及角平分线的定义，掌握邻补角的性质是邻补角互补是解题的关键．
79．如图，点A，O，B在同一条直线上，直线CD经过O点，已知∠BOD ＝∠DOE＝∠AOC，OF平分∠AOE，当∠AOC＝28°15′时，求∠EOF的度数．
【答案】6145
【解析】
【分析】
依据对顶角相等和邻补角的定义，即可得出∠AOE的度数，再根据角平分线的性质，即可得到∠EOF的度数．
【详解】
∠∠BOD=∠DOE=∠AOC，∠AOC=28°15′，∠∠AOE=180°-2×（28°15′）=123°30′．
又∵OF平分∠AOE，∠∠EOF=1
∠AOE=61°45′．
2
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，解决问题的关键是利用对顶角相等．
80．有这样一个故事，一位老农民的家业是一块任意四边形的土地ABCD，并且在地里有一口井P，井的位置不在地的中间，如图所示，老人想让两个儿子平分他的土地，但井不能分，两家可以共用．老人还没有想出办法，聪明的同学请你帮老人分一下，说明理由．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
取AB，BC，CD，AD的中点F，G，H，E，连接PA，PF，PB，PG，PC，PH，PD，PE．记四边形AFPE的面积为a，四边形BGPF的面积为b，四边形CHPG的面积为c，四边形DEPH的面积为d，则a+c＝b+d．
【详解】
取AB，BC，CD，AD的中点F，G，H，E，连接PA，PF，PB，PG，PC，PH，PD，PE．
记四边形AFPE的面积为a，四边形BGPF的面积为b，四边形CHPG的面积为c，四边形DEPH的面积为d，则a+c＝b+d．
理由：∠AF＝FB，BG＝GC，CH＝HD，AE＝ED，∠S△APF＝S△PFB，S△PBG ＝S△PGC，S△PHC＝S△PHD，S△PAE＝S△PDE，∠S△PAF+S△PAE+S△PGC+S△PHC＝
S△PFB+S△PBG+S△DEP+S△DHP，∠a+c＝b+d，∴可以把四边形AFPE和四边形CHPG分给一个该儿子，剩下的分给另一个儿子即可．
【点睛】
本题考查了作图﹣应用与设计，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。