高等数学高数课件 5.5 广义积分

1 0
1 xq
dx
x 1q 1q
1
0
11q,,
q1 q1
因此,
当 q 1 时,
广义积分收敛,
其值为
1
1
q;
当 q 1 时, 广义积分发散.
例11
计算广义积分
3 0
(
x
dx 1)2
/
3
x
1瑕点.
解
3 dx 0 ( x 1)2/ 3
1
0 (x
dx 1)2/ 3
3 dx 1 ( x 1)2/ 3
根据万有引力定律, 在距地心x处火箭所受地球引
力为
F GMm
x2
x
其中:G为万有引力常数, M为地球质量,
m为火箭质量. 在地球表面有
GMm mg
x
R2
其中R为地球半径.
o
火箭从地面升到距地心r(r>R)处需要做的功为
r
R
GMm x2
dx
r
R
mgR 2 x2
dx
mgR 2
(1 R
1) r
因此,火箭克服地球引力飞离地球需要做功
A A
A
值为
f (x)dx的Cauchy主值,记为(V .P.)
f (x)dx.
当 f (x)dx收敛时,显然有
(V .P.) f (x)dx f (x)dx
当 f (x)dx发散时,
它的Cauchy主值可能存在,也可能不存在.
考察广义积分 x dx。 1 x2
(V.P.)
W
lim r
r
R
GMm x2
dx
lim
r
mgR2 ( 1 R
1) r
mgR
即
W
R
GMm x2
dx
mgR
由能量守恒原理, 火箭的初速度至少为v0, 则
1 mv2 mgR 20
因而, v 2gR 2 9.81 6.371106 11.2(km / s) 0
上面所计算的功就涉及到无穷区间上的积分问题.
0
0
cosb (cos0) 1 cos b
因为 lim (1 cosb)不存在, 故由定义知广义积分 b sin xdx 发散. 0
例3
计算广义积分
1
dx x
2
.
解
dx
1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
0 dx a1 x2
lim
b
b dx 01 x2
例6 计算广义积分 te ptdt ( p是常数, 且 p 0 0 时收敛).
解
te pt dt 1
tde pt
0
p0
1 te pt
1
e pt dt
p
0
p0
1 te pt
p
0
1 p2
e pt
0
1 lim te pt 0 p t
1 p2
(0
1)
1 p2
.
注:
lim te pt
lim 0
2 1
d(ln x) ln x
lim [ln(ln
0
x )]12
lim[ln(ln 2) ln(ln( 1 ))] 0
.
故题设广义积分发散.
例10
讨论广义积分
1 0
1 xq
dx
的敛散性.
证 (1) q 1,
1 0
1 xq
dx
1 0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
lim [arctan x] 0 lim [arctan x] b
a
a b
0
lim arctana lim arctanb
a
b
2
2
.
例4
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
原式
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
2
2 cos udu
0
2.
注:
本题若采用变换
1 x1
t 等,
计算会更简单,
请自行解之.
例13 计算广义积分 1 arcsin x dx.
0 x(1 x)
解 被积函数有两个可疑的瑕点: x 0和x 1.
因为
lim arcsin x 1 x0 x(1 x)
所以, x 1是被积函数的唯一瑕点. 从而
a
0 a
当极限存在时, 称广义积分收敛, 否则称为发散.
类似地, 函数 f ( x)在区间[a,b)上的广义积分, 记作
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx.
a
0 a
无界函数的广义积分
定义2 设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点 c (a c b)
外连续, 而在点c的邻域内无界, 则函数 f ( x)在
3 b
b
Q lim b
ln
b
1不存在
2
x2
1 x
2
dx发散.
正确的解法是：
2
x2
1 x
2
dx
lim
b
b
1
2
x2
dx x2
1 3
lim
b
b 1 dx 2 x1
b 2
x
1
1
dx
1 3
lim
b
ln
b
1
ln b 2 ln 4
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 ln 4. 3
例12 计算广义积分
dx
.
0 x( x 1)3
解 此题为混合型广义积分, 积分上限为 ,
下限 x 0 为被积函数的瑕点. 令 x t, 则 x t 2 , x 0时 t 0, x 时
t , 于是
0
dx x( x 1)3
2tdt 0 t(t 2 1)3/ 2
2
0
(t
x 1 x2
dx
lim
A
Ax A1 x2
dx
0.
但因为
0
1
x x
2
dx发散
所以由定义
1
x x
2
dx
是发散的
.
例5
计算 2
1 x2 x 2 dx.
解
2
x2
1 x
2
dx
？
1 3
lim
b
2b
1 x1
dx
lim
b
2b
x
1
2
dx
[ ] 1 lim ln b 1 lim ln b 2 ln 4
1
0 (x
dx 1)2/ 3
1 1 2/
3(x
1)1/ 3
1 0
3
3 dx
1 ( x 1)2/ 3
1
1 2
/
3
(
x
1)1
/
3
3 1
33
2,
3
0 (x
dx 1)2/ 3
3(1
3
2).
b1
一般地瑕积分 a (x a)q dx
当
(1)
q 1,
b 1
a (x a)q dx
b a
b
e x dx
ex
b
eb
(1)
1 eb
0
0
于是
lim
b
e x dx
lim
(1
eb )
1
0
1
b 0
b
因此
b
exdx lim exdx 1
0
b 0
或
e x dx
ex
0 (1)
1.
0
0
例2 判断广义积分 sin xdx的收敛性. 0
解 对任意 b 0,
bsin xdx cos x b
法则, 例如定积分的分部积分法、变量代换等
也可以直接推广到广义积分中来。
+ u(x)v(x)dx u(x)v(x)
+
u(x)v(x)dx
a
a
a
+
a f (x)dx x (t) f ((t))(t)dt
其中：a (), ( ), 也可能为. 同理, 瑕积分也有与上面相类似的公式。
第五节 广义积分
一、无穷区间的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、广义积分审敛法 四、Г函数
在前一节,我们学习了有界函数在闭区间上的定 积分,自然地我们会问：无穷区间上的积分、无界 函数的积分, 我们又该如何定义和计算呢？ 自然科学中的诸多问题,都涉及到定积分的推广。
我们来看下面的例子. 火箭发射的第二宇宙速度的计算 从地球表面发射火箭, 若忽略空气阻力以及太阳 的引力, 仅考虑火箭摆脱地球的引力, 问发射火箭 的初速度至少为多大？
1 0
xlnx1dx
的瑕点
.
3. 1 xm lnn xdx m 1, n N . 0
t
时
u
2
,
于是
例12 计算广义积分
dx
.
0 x( x 1)3
解 于是
0
dx x( x 1)3
2
0
(t
2
dt 1)3
/
2
.
再令 t tanu, 取 u arctant, t 0时 u 0,
t 时 u , 于是
2
0
dx x( x 1)3
2
2
0
sec2udu sec3u
区间[a , b]上的广义积分定义为
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx,
当上式右端两个积分都收敛时,
称广义积分
b a
f
( x)dx
b
是收敛的, 否则, 称广义积分 f ( x)dx 是发散的. a
无界函数的广义积分又称为瑕积分. 定义中函数
f ( x)的无界间断点称为瑕点.
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
其中a为任意实数, 当上式右端两个积分都收敛时,
称广义积分 f ( x)dx 是收敛的, 否则, 称其是发
散的.
无穷限的广义积分
称广义积分 f ( x)dx 是收敛的, 否则, 称其是发
散的.
若F ( x)是 f ( x)的一个原函数, 记
1 arcsin x dx 1 arcsin x dx
0 x(1 x)
0 x(1 x)
(arcsin
x
)2
1 024.例14 计算dx
.
1 x 1 x5 x10
解 分母的阶数较高, 可利用倒代换,
令
x
1 t
,
则
dx
0
t4
1
dt
t 4dt
1 x 1 x 5 x 10 1 1 t 5 t 10
lim
b
cos
1 b
cos
2
1.
问题思考
下面广义积分
sin
xdx
的计算过程是否正确？
解
lim
a
sin xdx lim
cosa cosa 0
a a
a
sin xdx 0.
Q
0
sin
xdx
发散
sin
xdx
发散.
若 lim A f (x)dx lim[F ( A) F ( A)] 收敛,则称该极限
0 1 t 5 t 10
再令 u t 5, 则
1 t 4dt 1 1 du 1 1
du
0 1 t 5 t 10
5 0 u2 u 1
50
u
1 2
2
3 4
1 5
ln
u
1 2
u2
u
1
1 0
1 5
ln
1
2 3
.
课堂练习
1.
计算广义积分
1
x ln (1 x
x 2 )2
dx.
2.
判断广义积分
dt 2 1)3
/
2
.
再令 t tanu, 取 u arctant, t 0时 u 0,
t
时
u
2
,
于是
例12 计算广义积分
dx
.
0 x( x 1)3
解
于是
dx
0 x( x 1)3
2
0
(t
dt 2 1)3
/
2
.
再令 t tanu, 取 u arctant, t 0时 u 0,
F () lim F ( x), F() lim F( x)
x
x
则广义积分可表示为(如果极限存在)
f ( x)dx F ( x) F () F (a)
a
a
b f ( x)dx F ( x) b F (b) F ().
例1 计算广义积分 exdx. 0
解 对任意的 b 0, 有
1
1;
当 p 1时, 题设广义积分发散.
二、无界函数的广义积分
定义1设函数 f ( x)在区间(a,b]上连续, 而在点 a的
b
右邻域内无界, 取 0, 如果极限 lim f ( x)dx 0 a
存在, 则称此极限为函数 f ( x)在区间 (a,b]上的广
义积分, 记作
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
例8 计算广义积分 a dx (a 0).
0 a2 x2
a
解 原式 lim
dx
0 0
a2 x2
lim [arcsin
0
x a
]
a 0
lim[arcsin a 0]
0
a
2
.
例9
计算广义积分
2 1
x
dx ln
x
.
解
2 dx lim 1 x ln x 0
2 dx 1 x ln x
x
1
a
dx
[ln(x
a)]b a
,
(2)
q 1,
b1 a (x a)q
dx
(
x a)1q 1 q
b a
, q 1
(b
a)1q
1 q
,
q 1
(b a)1q
因此当q 1时瑕积分收敛，其值 1 q ；当
q 1时瑕积分发散.
称此积分为
q
积分，类似的积分有
b
a
(b
1 x)q
dx
广义积分具有和定积分类似的性质，一些运算
t
lim
t
t e pt
lim t
1 pe pt
0.
例7
讨论广义积分
1
1 xp
dx的敛散性.
证 (1) p 1,
1
1 xp
dx
1
1 x