高一数学 必修1 第12讲-函数的单调性与奇偶性

第12讲 函数的单调性与奇偶性
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【知识要点】
1、 函数的单调性定义：
一般的，设函数)(x f 的定义域为I ，如果对定义域内某个区间D 上的任意两个自变量的值时当2121,,x x x x <，
若),()(21x f x f <则)(x f 在区间D 上是增函数；若),()(21x f x f >则)(x f 在区间D 上是减函数.
2、函数单调性的判定方法.
（1）定义法⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--<定义得出结论第四步：判断，即根据，分类讨论的正负，当符号不定时第三步：定号，即确定
积的形式并变形成若干个因式的差第二步：作差变形，作，令是该区间内任意两个值第一步：取值，即设)()(),()(,21212121x f x f x f x f x x x x （2）综合法：①函数)(x f y -=与函数)(x f y =的单调性相反；
②当)(x f 恒为正或恒为负时，函数)()
(1x f x f y 与=的单调性相反； ③在公共区间内：增函数+增函数=增函数，增-减=增等.
（2）图像法.即根据函数的图像直接判断函数在区间上的单调性.
1、函数奇偶性的定义：
若函数()f x 的定义域D 关于原点对称，
对于函数()f x 的定义域D 内任意一个自变量x ，如果都有()f x -=－()f x (或()f x +()f x -=0)则称()f x 为奇函数；
对于函数()f x 的定义域内D 任意一个自变量x ，如果都有()f x -= ()f x 〔或()f x －()f x -=0〕，则称()f x 为偶函数.
2、注意：函数的定义域关于原点对称是判断该函数的奇偶性的前提.
3、奇偶函数图像的性质
（1）奇函数的图像关于原点对称。

反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同
（2）偶函数的图像关于y 轴对称。

反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数. 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
（3）若奇函数的定义域包含数0，则)0(f =0.
【典型例题】
例1、函数2
()2
f x x t x =-+在[1，2]上是单调递增函数，则实数的取值范围是_________ 例2、已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[]1,2a a -，求b ax y +=在坐标轴上的截距.
例3、试判断函数x
x x f 2)(+
=在[2，+∞)上的单调性．
例4、若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，试判断cx bx ax x g ++=2
3)(的奇偶性.
例5、设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：
①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；
②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；
③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；
④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；
其中正确的命题是 （ ）
A ．① ③ B.① ④ C.② ③ D.② ④
例6、函数122+-=ax x y ,若它的增区间是[2，+)∞，则a 的取值多少？若它在区间[2，+)∞ 上递增，则a 的取值范围是多少？
例7、设函数)(x f 对任意的R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，.0)(<x f 2)1(--f .
(1) 证明：)(x f 为奇函数.(2)证明：)(x f 在R 上为减函数.(3)若,4)76()52(>-++x f x f 求x 的取值范围.
【经典练习】
【 】1、下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是
A 、x y =
B 、x y -=3
C 、x y 1=
D 、42
+-=x y 【 】2、下列判断中正确的是
C 、1)(2-=x x f 在[-5,3]上是偶函数
D 。

23)(x x f -=是偶函数
【 】3、若)(x f y =为偶函数,则下列点的坐标在函数图像上的是 A 、))(,(a f a --
B 、))(,(a f a -
C 、))(,(a f a -
D 、))(,(a f a --- 【 】4、已知53()8f x x ax bx =-+-,且(2)10f -=,那么(2)f 等于
A 、－26
B 、－18
C 、－10
D 、10
【 】5、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内是减函数,a 、b R ∈,且0a b +≤,则有
A 、()()()()f a f b f a f b +≤--
B 、()()()()f a f b f a f b +≥--
C 、()()()()f a f b f a f b +≤-+-
D 、()()()()f a f b f a f b +≥-+-
【 】6、如果偶函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数且最小值为5,那么)(x f 在区间[]3,7--上是
A 、增函数且最小值为5
B 、增函数且最大值为5
C 、减函数且最小值为5
D 、减函数且最大值为5 7、已知函数2()2||f x x x =-．判断函数的奇偶性；
8、定义在)1,1(-上的奇函数,1)(2
x b ax x f ++=
若52)21(=f ，且,0)()1(<+-t f t f 求t 的取值范围.
9、已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

【课后作业】
1、若函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_________.
2、若函数2
()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值_________.
3、已知,13)5(,18)(357=++++=f dx cx bx ax x f 则______)5(=-f .
4、函数()542+-=mx x x f 在区间[)+∞,2上是增函数，在区间(]2,+∞-上是减函数，则m 的值为 .
5、如果定义域为]5,3[2
a -的函数()f x 为奇函数，那么实数a 的值为_________.
6、奇函数()f x 在区间[,]a b 上是减函数且有最小值m ，那么()f x 在[,]b a --上是（ ）
A 、减函数且有最大值m -
B 、减函数且有最小值m -
C 、增函数且有最大值m -
D 、增函数且有最小值m - 7、已知函数23,[1,2]()3,(2,5].
x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩，
（1）在图5给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；
（2）写出()f x 的单调递增区间．
8、已知函数成立都有且对任意的实数)1()1(,2)(2x f x f x ax x x f -=+++=.
(1)求实数a 的值.
(2)利用单调性的定义证明函数)(x f 在区间),1(+∞上是增函数.
9、(1)已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x
+=，试判断()f x 的奇偶性。

(2)函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性。