高中物理 第6章 磁场对电流和运动电荷的作用 第3节 洛伦兹力的应用学案 鲁科版选修31

第3节 洛伦兹力的应用
[先填空]
1．只考虑磁场作用力时，平行射入匀强磁场中的带电粒子，做匀速直线运动． 2．带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动 (1)运动性质：匀速圆周运动． (2)向心力：由洛伦兹力提供． (3)半径：r ＝mv
qB
.
(4)周期：T ＝2πm
qB
，由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷
量和磁感应强度成反比，而与轨道半径和运动速率无关．
[再判断]
1．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径与粒子的质量和速度无关．(×) 2．运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动．(√)
3．匀强磁场中带电粒子垂直磁场方向的速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的周期越小．(×)
[后思考]
洛伦兹力的特点和作用效果是什么？
【提示】(1)洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小．即洛伦兹力不对带电粒子做功．
(2)洛伦兹力总与速度方向垂直，其效果是正好起到了向心力的作用．
[合作探讨]
如图6­3­1所示，一电子(重力可忽略不计)垂直飞入匀强磁场B中．经过1、2两点．
图6­3­1
探讨1：分析电子的受力情况？确定其运动形式？
【提示】洛伦兹力；匀速圆周运动．
探讨2：画出其运动轨迹？确定圆心．
【提示】
[核心点击]
解决匀速圆周运动问题的基本思路
1．画轨迹：根据题意分析带电粒子在磁场中的受力情况，确定它在磁场中的运动轨迹是圆还是一段圆弧，根据粒子入射、出射磁场时的方向，粗略画出粒子在磁场中的运动轨迹．2．找圆心：在画出粒子在磁场中的运动轨迹的基础上，找出圆心的位置，圆心一定在与速度方向垂直的直线上，找圆心通常有两个方法：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点分别作入射方向和出射方向的垂线，其交点就是圆心，如图6­3­2(a)．②已知入射方向和出射点位置时，利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心．通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线．这两条垂线的交点就是偏转圆弧的圆心，如图(b)．
图6­3­2
3．确定半径：主要由几何关系求出，往往通过添加辅助线，构造直角三角形，然后利用直角三角形中的边角关系求出．
4．时间的计算：粒子在磁场中运动一周的时间为T ，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可表示为t ＝α360°T (或t ＝α
2π
T )．
5．几个有关的角及其关系：如图6­3­3所示，粒子做匀速圆周运动时，φ为粒子速度的偏向角，粒子与圆心的连线转过的角度α为回旋角(或圆心角)，AB 弦与切线的夹角θ为弦切角，它们的关系为：φ＝α＝2θ，θ与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝180°.
图6­3­3
1．如图6­3­4所示，水平导线中有电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同，则电子将( )
【导学号：34022034】
图6­3­4
A ．沿路径a 运动，轨迹是圆
B ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大
C ．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小
D ．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小
【解析】 由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r ＝mv
qB
知，B 减小，r 越来
越大，故电子的径迹是a .故选B.
【答案】 B
2．如图6­3­5所示，有一半径为r 、有明显边界的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为
B .今有一电子沿x 轴正方向射入磁场，恰好沿y 轴负方向射出．如果电子的荷质比为e
m
.求：
图6­3­5
(1)电子射入磁场时的速度； (2)电子在磁场中运动的时间．
【解析】 由题意可确定其轨迹如图所示．
(1)由几何知识可求轨迹的半径为r . 结合半径公式r ＝mv qB 得电子的速度大小为v ＝
eBr m
. (2)轨迹所对的圆心角为90°，所以电子在磁场中运动的时间t ＝14T ＝πm
2eB .
【答案】 (1)
eBr m (2)πm 2eB
3．一磁场宽度为L ，磁感应强度为B .一带电粒子质量为m ，带电荷量为－q ，不计重
力，以某一速度(方向如图6­3­6)射入磁场，若不使其从右边界飞出，则粒子的速度应为多大？
图6­3­6
【解析】 若要粒子不从右边界飞出，速度最大时运动轨迹如图所示，由几何知识得：
r ＋r cos θ＝L
①
又洛伦兹力提供向心力．
qv m B ＝m v 2m
r
②
解①②得 v m ＝
qBr m ＝qBL
m
＋cos θ
.
因此要使粒子不从右边界飞出速度应为
v ≤qBL
m
＋cos θ
.
【答案】 v ≤
qBL
m
＋cos θ
处理带电粒子在磁场中的运动问题
通常要按以下三步进行
(1)画轨迹．即确定圆心，通过几何方法求半径并画出轨迹．
(2)找联系．轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动的时间与周期相联系．
(3)用规律．运用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式．
[先填空] 1．回旋加速器
(1)构造图：如图6­3­7所示．
图6­3­7
(2)工作原理 ①电场的特点及作用
特点：两个D 形盒之间的窄缝区域存在周期变化的电场． 作用：带电粒子经过该区域时被加速． ②磁场的特点及作用
特点：D 形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个周期后再次进入电场．
2．质谱仪
(1)原理图，如图6­3­8所示．
图6­3­8
ⅰ)加速
带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得：
qU ＝12
mv 2.
①
ⅱ)偏转
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：qvB ＝mv 2
r
.
②
ⅲ)由①②两式可以求出粒子的半径r 、质量m ＝qB 2r 22U 、比荷q m ＝2U
r B
等．
(2)质谱仪的应用
可以测定带电粒子的质量和分析同位素． [再判断]
1．回旋加速器中起加速作用的是磁场．(×)
2．回旋加速器中起加速作用的是电场，所以加速电压越大，带电粒子获得的最大动能
越大．(×)
3．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关．(√)
[后思考]
什么样的粒子打在质谱仪显示屏上的位置会不同？位置的分布有什么规律？ 【提示】 速度相同，比荷不同的粒子打在质谱仪显示屏上的位置不同．
根据qvB ＝mv 2r ，r ＝mv
qB
.可见粒子比荷越大，偏转半径越小．
[合作探讨]
回旋加速器所用交变电压的周期由什么决定？
【提示】 为了保证每次带电粒子经过狭缝时均被加速，使之能量不断提高，交流电压的周期必须等于带电粒子在回旋加速器中做匀速圆周运动的周期即T ＝2πm
qB
.因此，交变电
压的周期由带电粒子的质量m 、带电量q 和加速器中的磁场的磁感应强度B 共同决定．
[核心点击]
1．回旋加速器
(1)速度和周期的特点：在回旋加速器中粒子的速度逐渐增大，但粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm qB
始终不变．
(2)最大半径及最大速度：粒子的最大半径等于D 形盒的半径R ＝mv
qB
，所以最大速度v m
＝
qBR m
. (3)最大动能及决定因素：最大动能E km ＝12mv 2m ＝q 2B 2R
2
2m
，即粒子所能达到的最大动能由磁
场B 、D 形盒的半径R 、粒子的质量m 及带电量q 共同决定，与加速电场的电压无关．
(4)粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次数n ＝
E km
Uq
(U 是加速电压大小)，一个周期加速两次．设在电场中加速的时间为t 1，缝的宽度为d ，则nd ＝v m
2t 1，t 1
＝2nd v m
.
(5)粒子在回旋加速器中运动的时间：在磁场中运动的时间t 2＝n 2T ＝n πm
qB
，总时间为t
＝t 1＋t 2，因为t 1≪t 2，一般认为在盒内的时间近似等于t 2.
2．质谱仪
将质量不等、电荷数相等的带电粒子经同一电场加速再垂直进入同一匀强磁场，因轨迹半径不同而分开，进而分析某元素中所含同位素的种类．
4．现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图6­3­9所示，其中加速电压恒定．质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场．若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍．此离子和质子的质量比约为( )
【导学号：34022035】
图6­3­9
A ．11
B ．12
C ．121
D ．144
【解析】 带电粒子在加速电场中运动时，有qU ＝12
mv 2
，在磁场中偏转时，其半径r ＝
mv qB ，由以上两式整理得：r ＝1B
2mU
q
.由于质子与一价正离子的电荷量相同，B 1∶B 2＝1∶12，
当半径相等时，解得：m 2
m 1
＝144，选项D 正确．
【答案】 D
5．回旋加速器是用于加速带电粒子流，使之获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D 形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒间狭缝中形成匀强电场，使粒子每穿过狭缝都得到加速；两盒放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面．粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出粒子电量为q ，质量为m ，粒子最大回旋半径为R m ，其运动轨迹如图6­3­10所示，问：
【导学号：34022036】
图6­3­10
(1)粒子在盒内做何种运动？ (2)粒子在两盒间狭缝内做何种运动？
(3)所加交变电压频率为多大？粒子运动角速度多大？ (4)粒子离开加速器时速度多大？
【解析】 (1)D 形盒由金属导体制成，可屏蔽外电场，因而盒内无电场，盒内存在垂直盒面的磁场，故粒子在盒内磁场中做匀速圆周运动．
(2)两盒间狭缝内存在匀强电场，且粒子速度方向与电场方向在同条直线上，故粒子作匀加速直线运动．
(3)粒子在电场中运动时间极短，高频交变电压频率要符合粒子回旋频率f ＝1T ＝qB
2πm .
角速度ω＝2πf ＝qB m
.
(4)粒子最大回旋半径为R m ，
R m ＝mv m qB v m ＝qBR m
m
.
【答案】 (1)匀速圆周运动 (2)匀加速直线运动 (3)频率f ＝qB 2πm 角速度ω＝qB m (4)v m ＝qBR m
m。