2025届北京市顺义区市级名校高考数学一模试卷含解析

2025届北京市顺义区市级名校高考数学一模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A
．y x = B
．y x = C
．=±y x D
．)
1=±y x 2．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛
⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）
A ．512π
B ．56π
C ．6π
D ．12π
3．设复数121,1z i z i =+=-，则12
11z z +=（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -
4．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ）
A
． B
． C
． D
．
5．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ）
A ．4
B ．3
C ．-4
D ．-3
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）
A ．45
B ．60
C ．75
D ．100
7．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（
）
A ．3
2cos 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．2cos 4x π⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
C ．2cos 24x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭ D ．32cos 24x π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
8．已知集合3{|0}2x
A x Z x -=∈≥+，
B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ）
A ．{﹣1，0，1，2，3}
B ．{﹣1，0，1，2}
C ．{0，1，2}
D ．{x ﹣1≤x ≤2}
9．已知实数x ，y 满足2
212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A ．625
B ．627
C 63-
D ．962-
10．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4
f f ≤-≤为事件A ，则事件A 发生的概率为
A ．14
B ．58
C ．38
D ．
12 11．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )
A ．16163π+
B ．8
163π+ C ．32833π+ D ．321633
π+ 12．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ）
A ．32i -+
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是______ .（用数字作答）
14．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值为___
15．在ABC 中，25AB =5AC =
90BAC ∠=︒，则ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表
面积为______________. 16．已知,i j 是夹角为90︒的两个单位向量，若=+a i j ，b j =，则a 与b 的夹角为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）记函数1()212
f x x x =+
+-的最小值为m . （1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c ++≥
++. 18．（12分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()31,3
g x x ax =- ()1x h x e =-． （1）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围；
（2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数；
（3）求证：101095300010002699
e <<（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 19．（12分）2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类
预计升级到5G 的时段 人数 早期体验用户
2019年8月至2019年12月 270人 中期跟随用户
2020年1月至2021年12月 530人 后期用户 2022年1月及以后 200人
我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X 表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X 的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户
的人数有变化？说明理由.
20．（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)
21．（12分）已知函数()213f x t x x =++--的定义域为R .
（1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123
a b c +++++的最小值. 22．（10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面
5,1,5,sin 5
ABCD PD AD AB ABD ===∠=．
（1）证明：PA BD ⊥；
（2）求二面角A PB C --的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】 设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】 设22,cos1203AB AF m BF m ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-
因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：1223BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知： 222
212222
222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2
22
2(4(41b b b a a a ⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为： )
1=±y x . 故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力. 2、A
【解析】
先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值.
【详解】
()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛
⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
.
令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122
k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122
ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=
. 故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．
3、A
【解析】
根据复数的除法运算，代入化简即可求解.
【详解】
复数121,1z i z i =+=-， 则12
11z z + 1111i i
=++- ()()()()111111i i i i i i -+=
++--+ 11122
i i -+=+= 故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.
4、D
【解析】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23
，得到答案. 【详解】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ，
在Rt OHD 中，OD R =，34333HD BC =
=，133R OH OA ==， 由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，
球心O 到平面EFG 的距离为KO ，
则1262333
R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯
⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π.
故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5、D
【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥，再结合图形求出BC 与CA 方向上的投影即可. 详解：如图所示：
AB AC AB AC +=-，
0AB AC ∴⋅=，
∴AB AC ⊥，
又4AB =，3AC =，
BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-， 故选D. 点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题. 6、B
【解析】
根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．
【详解】
由题意12315234S ⨯⨯⨯
=，60S =． 故选：B.
【点睛】
本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．
7、D
【解析】
由图象求出A 以及函数()y f x =的最小正周期T 的值，利用周期公式可求得ω的值，然后将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围求出ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式.
【详解】
由图象可得2A =，函数()y f x =的最小正周期为542663T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，232T πω∴==. 将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入函数()y f x =的解析式得32cos 2626f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，3444ππ
πϕ∴-<+<，则04πϕ+=，4
πϕ∴=-， 因此，()32cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 故选：D.
【点睛】
本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8、A
【解析】
解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合3{|0}2
x A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z |﹣2＜x ≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A ．
【点睛】
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 9、D
【解析】
设x θ=，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x y +，
设x θ=，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 62cos 8(cos 32)100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 62cos 8962cos 962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于962-. 故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 10、D 【解析】 由(2)12{
(2)4f f ≤-≤得4212424b c b c ++≤⎧⎨-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，()1
2
P A =.
11、B 【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111
V 44244223
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8
163
π=+.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 12、B 【解析】
由题意得,13i
23i
z =+,求解即可. 【详解】
因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 39
32i 23i (23i)(23i)49
z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
80243
【解析】
基本事件总数53243n ==，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数235280m C ==，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率． 【详解】
解：某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，
该市的任意5位申请人中，基本事件总数53243n ==，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数：
235280m C ==，
∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是80
243
m p n =
=． 故答案为：80243
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 14、 【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y 轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x ，y 满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求. 点A （，
），
z 在点A 处有最小值：z ＝2，
故答案为：. 【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 15、5π 【解析】
由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S rl π=计算公式可得. 【详解】
解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起， 在ABC 中，25AB =5AC =
90BAC ∠=︒，如下图所示，
底面圆的半径为
(
)()
2
2
255
2
25
5
r AD ⋅==
=+，
则所形成的几何体的表面积为()(12225565S r l l πππ=+=⨯⨯=.
故答案为：65π. 【点睛】
本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题. 16、45︒ 【解析】
依题意可得0i j =，再根据()
2
22
2a i j i i j j =+=++求模，()
2
a b i j
j i j j ⋅=+=+求数量积，最后根据夹
角公式计算可得； 【详解】
解：因为,i j 是夹角为90︒的两个单位向量 所以0i j =， 又=+a i j ，b j = 所以()
2
22
2
2
212012a i j i i j j =
+=++=+⨯+=1b j ==，()
2
1a b i j j i j j ⋅=+=+=
所以12
cos ,21a b a b a b
⋅=
=
=⨯， 因为0,180a b ≤≤所以cos ,45a b =︒； 故答案为：45︒ 【点睛】
本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）1m =（2）证明见解析 【解析】
（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；
（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】
解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨⎪
⎪->⎪⎩
当12x ≤-
时，1()22f x f ⎛⎫
≥-= ⎪⎝⎭
， 当1122x -
<≤，1()12f x f ⎛⎫
≥= ⎪⎝⎭
， 当12x >
时，1()12f x f ⎛⎫
>= ⎪⎝⎭
，
所以min ()1m f x ==
解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪
=-+-<≤⎨
⎪
⎪->⎪⎩
如图
当1
2
x =
时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =+
+-+-111
222
x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1
112
x =+-
≥
当且仅当1102210
2x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎪-=⎪⎩
即12x =时，等号成立.
当1
2
x =
时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111
ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭，
因为111()9a b c c a b ⎛⎫
++++≥=
⎪⎝⎭
成立， 所以原不等式成立.
解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >
，所以0ab bc ca ++≥>，
0a b c ++≥>，
又因为1abc =，
所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，
()()9ab bc ac a b c ++++≥
所以9
ab bc ca a b c
++≥
++，原不等式得证.
补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b
++=
++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9
ab bc ca a b c
++≥
++，
只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫
++++≥
⎪⎝
⎭，
由柯西不等式得：2
111()9a b c a b c ⎛⎫
++++≥= ⎪⎝⎭成立，
所以原不等式成立.
【点睛】
本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.
18、（1）(],1-∞；（2）见解析；（3）见解析 【解析】
（1）令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0），求得导数，讨论a ＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a 的范围；（2）求得F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的导数和二阶导数，判断F'（x ）的单调性，讨论a≤﹣1，a ＞﹣1，F （x ）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，e x ＞1+ln （x+1）对x ＞0恒成立，令1
10
x =；由（2）知，当a=﹣1时，3113x
e x x >++对x ＜0恒成立，令1
-10
x =，结合条件，即可得证． 【详解】
（Ⅰ）解：令H （x ）=h （x ）﹣f （x ）=e x ﹣1﹣aln （x+1）（x≥0）， 则
，
①若a≤1，则
，H'（x ）≥0，H （x ）在[0，+∞）递增，
H （x ）≥H （0）=0，即f （x ）≤h （x ）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1； ②若a ＞1，H′（x ）=e x ﹣
在[0，+∞）递增，H'（x ）≥H'（0）=1﹣a ，且1﹣a ＜0，
且x→+∞时，H'（x ）→+∞，则∃x 0∈（0，+∞），
使H'（x 0）=0进而H （x ）在[0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增， 所以当x ∈（0，x 0）时H （x ）＜H （0）=0，
即当x ∈（0，x 0）时，f （x ）＞h （x ），不满足题意，舍去； 综合①，②知a 的取值范围为（﹣∞，1]． （Ⅱ）解：依题意得
，则F'（x ）=e x ﹣x 2+a ，
则F''（x ）=e x ﹣2x ＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x ）=e x ﹣x 2+a 在（﹣∞，0）递增， 所以F'（x ）＜F'（0）=1+a ，且x→﹣∞时，F'（x ）→﹣∞； ①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x ）＜F'（0）=1+a≤0，
故F （x ）在（﹣∞，0）递减，所以F （x ）＞F （0）=0，F （x ）在（﹣∞，0）无零点； ②若1+a ＞0，即a ＞﹣1，则使，
进而F （x ）在
递减，在
递增，
，
且x→﹣∞时，，
F（x）在上有一个零点，在无零点，
故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．
综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，e x＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，
令，则，所以；
故有．
【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．19、（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为()
P D，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G的概率估计为样本中早
期体验用户和中期跟随用户的频率，即270530
0.8 1000
+
=.
（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，
记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，
(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-
0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.
（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么3270
31000
()0.02C P D C =≈.
回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. 【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 20、 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()3
4
E X = ；(Ⅲ)4 【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，解得答案. 【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：
2
50520
⨯=万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11
532815128C C p X C ===，()23283
328
C p X C ===
. 故分布列为：
()0121428284
E X =⨯
+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m
⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥. 故m 的最小值为4. 【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21、（1）4t ≥；（2）9
22
【解析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；
(2)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式. 【详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立
5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪
-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥； （2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()2222222
1111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++= ⎪+++⎝⎭
所以
222111912322a b c ++≥+++，即222111123
a b c +++++的最小值为
922.
当且仅当2193a =，2163b =，2133
c =时，等号成立 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22、（1）见解析（2）
23 【解析】
（1）利用正弦定理求得sin 1ADB ∠=，由此得到90ADB BD AD ∠=⇒⊥，结合PD BD ⊥证得BD ⊥平面PAD ，由此证得PA BD ⊥.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面ABP 和平面PBC 的法向量，计算出二面角A PB C --的余弦值，再转化为正弦值.
【详解】
（1）在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB AD ADB ABD
=∠∠， sin sin 1,90,AB ABD ADB ADB BD AD AD
︒⋅∠∴∠==∴∠=∴⊥， PD ⊥底面,ABCD PD BD ∴⊥，
BD ∴⊥平面PAD ，
PA BD ∴⊥；
（2）以D
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，1,2PD AD AB BD ===∴=，
(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(1,0, 0), (0,2,1)A B C P AB CB PB ∴-=-==-
设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，由0
0n AB n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得：2020
x y y z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，则(2,1,2)n =， 设平面PBC 的法向量为111(,,)m x y z =，由00m CB m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
可得:111020x y z =⎧⎨-=⎩，令11y =，则(0,1,2)m =， 设二面角A PB C --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，
则5cos cos ,3||
||3m n m n m n θ⋅=-<>=-=-=-⋅， 2sin 3θ∴==，故二面角A PB C --的正弦值为23
.
【点睛】
本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。