2019高中数学 第二章 参数方程 三 直线的参数方程高效演练 新人教A版选修4-4

三、直线的参数方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤α<π)必过点( )
A ．(1，－2)
B ．(－1，2)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
解析：由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线． 答案：A
2．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°和⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，
y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( ) A ．是倾斜角为30°的两平行直线 B ．是倾斜角为150°的两重合直线 C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
解析：因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°，可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，
y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.
同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，
y ＝2－t sin 30°，
可化为标准形式⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋（－t ）cos 150°，
y ＝2＋（－t ）sin 150°，
所以其倾斜角也为150°.
又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合． 答案：B
3．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
答案：A 4．直线⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ
(t 是参数，0≤θ<π)与圆⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α
(α是参数)相切，
则θ＝( )
A.π3
B.2π
3 C.
π6或5π6
D.
π3或2π3
解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2
＋y 2
＝4，因为直线与圆相切，所以圆心(4，0)到直线x tan θ－y ＝0的距离等于半径2，即|4tan θ|tan 2
θ＋1
＝2，解得tan θ＝±
3
2
，易知θ＝π6或5π
6
. 答案：C 5．若圆的方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ
(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1
(t 为参
数)，则直线与圆的位置关系是( )
A ．相交过圆心
B ．相交而不过圆心
C ．相切
D ．相离
解析：圆的圆心坐标是(－1，3)，半径是2，直线的普通方程是3x －y ＋2＝0，圆心到直线的距离是|－3－3＋2|10
＝210
5＝
8
5
<2，故直线与圆相交而不过圆心． 答案：B 二、填空题
6．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →
的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为________．
解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－
22，sin α＝22
. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2
2
t ，y ＝－1＋2
2t (t 为参数)．
答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2
2t ，y ＝－1＋2
2t
(t 为参数)
7．已知直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆
C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C
到直线l 的距离为________．
解析：直线l 的普通方程为2x －y ＋1＝0，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0，即(x －1)2
＋y 2
＝1，圆心为(1，0)．
故圆心C 到直线l 的距离为|2－0＋1|22＋12
＝35
5. 答案：35
5
8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2
cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4.则
直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．
解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t ，
所以直线l 的普通方程为y ＝x ＋2.
因为曲线C 的极坐标方程为ρ2
cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，
可得曲线C 的直角坐标方程为x 2
－y 2
＝4(x ＜0)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－y 2
＝4（x ＜0），
y ＝x ＋2，解得交点坐标为(－2，0)，
所以交点的极坐标为(2，π)． 答案：(2，π) 三、解答题
9．在直线坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2t
(t 为参数)，在以O 为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.
(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|PA ||PB |的值． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， 因为ρ2
＝4ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5.
(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2
t ，y ＝3＋2
2
t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5，得
到t 2
＋22t －3＝0，
所以t 1t 3＝－3，
所以|PA ||PB |＝|t 1t 2|＝3.
10．极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |. 解：直线ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的斜率为－1，令θ＝0，得ρ＝1，所以直线与
x 轴交于点(1，0)[如令θ＝π，得ρ＝－1，将点的极坐标化为直角坐标还是(1，0)]，
所以直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22t (t 为参数)．①
椭圆的普通方程为x 2
＋4y 2
＝4，② 将①代入②中，得5t 2－22t －6＝0，③ 因为Δ＝128>0，根据参数t 的几何意义知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝6
5
.
B 级 能力提升
1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ
⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2t ，
y ＝－2
2t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为
________．
解析：曲线C 1和C 2的普通方程分别为
x 2＋y 2＝5，① x －y ＝1，②
其中0≤x ≤5，0≤y ≤5，
联立①②解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝1，
所以C 1与C 2的交点坐标为(2，1)．
答案：(2，1)
2．已知直线C 1的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，
y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ，
设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．
解析：曲线C 2的极坐标方程可变为ρ2
＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，
将C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1，代入，得5t 2
－6t －2＝0，
则t 1＋t 2＝65，t 1t 2＝－25，则|AB |＝1＋22|t 1－t 2|＝5·（t 1＋t 2）2
－4t 1t 2＝5×
⎝ ⎛⎭
⎪⎫652
＋4×25＝2955. 答案：2955
3．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝sin θ，(θ为
参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数)．
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 2
9
＋y 2
＝1.
当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，
x 2
9
＋y 2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝0
或
⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－21
25
，
y ＝2425.
从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17
.
当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋9
17
.
由题设得
a ＋9
17
＝17，所以a ＝8;
当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋1
17
. 由题设得－a ＋1
17＝17，
所以a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.。