一、素数估算公式

利用素数出现概率的通项公式解决素数的三个问题
北京 吴小强
内容摘要：在筛法求素数时，素数的估算不具有规律性，我们引进全素因子筛，用全素筛推导出素数出现概率的的通项公式为R=p
p p x
p 3
3
11⨯
≥-∏≤，应用此公式，可以解决n 到2n
有一素数；素数无限性；哥德巴赫猜想三个问题。

运算符与表达式：
P 表素数；s 表合数；R 表概率值
∏连乘积
一、素数出现概率的通项公式 1、连乘积与全素筛
在素数的计算方法中，筛法是最常用的，也是比较繁琐的方法，即依次筛去素数的倍数到n ，则由n 到2n 范围内剩余的数为素数。

当2n 足够大时（2n 大到为n 的阶乘时，这种情况一般不会发生，我们可以放到n 的阶乘域去考虑，然后再考虑误差）各素数的倍数分别占本素数分之一，如2的倍数为总域的2
1，3的倍数为总域的3
1......p 的倍数为总域的p
1。

一般
情况下，2n 小于n 的阶乘，当2n 不能整除某一素数p 1时，1p 占比略小于
1
1p ，若按
1
1p 进行筛除计算剩余部分的值略大于实际
值，一般来讲，不会出现多筛除的现象，为此，我们可以用连乘积公式来对n 到2n 范围的素数进行估算。

令素数出现的概率为R ，则R=∏≤-x
p p
)11(其数学意义为减
去x 前的所有素数的倍数，既可表述从x 到x 2的素数出现概
率。

)11(p
-可进行变换为p
p p
p p 1
)1
(-=-，则公式可表为R=∏≤-x
p p
p 1。

因为素数p 出现的不规律性，使得R 值也不规律，但我们可以进行估算，这就需要引入一个新的模式，全素因子模。

假定x 前除了1以外的所有自然数都是素数，即p=2、3、4、5....x 将这些都当做素数进行筛除，得到的x 到x 2域的素数概率R=∏--x
x x 21的值为x
x x x 112....433221-⨯--⨯⨯⨯⨯，因相邻后项的分子
是前项的分母，则最终的结果为x
1。

同理，仍用全素因子模
进行计算，由x 到2x 到4x ，其后的素概率将分别为x 21
、x
41。

2、最小全素模
现实中，有全素的出现，最小全素模素因子包含2、3。

其值为3
1，即3以后不包含2、3倍数的概率值为3
1，不考虑
后面素数出现的情况，此值到无穷大仍为3
1。

在2、3以后，
素数不再连续出现，全素模不再出现，但全素模可以作为一个假想模对连乘积的值进行估算，简化计算。

3、用全素模对全域的素数概率进行估算
（1）最小全素模的值为3
1，既3以后，不包含2、3的倍数
的数出现的概率为3
1，素数出现在此3
1中，若按照全素模去估
算，由3
1为起始值，到x 进行全素筛后，值为x
1，现对全素筛
的结果进行合素占比估算：因3以后的素概率为3
1则素数占
比为3
1，合数占比为3
2，令x=3时，当全素筛由x 增加到2x
后，素概率由x 1增加到
x 21
，既素概率减小为原概率值的21，2
1
是从x 到2x 的全素连乘积，现对这2
1进行分类，因素数占31，
合数占比为3
2，则合数是素数个数的两倍。

定理：在x+1与2x 之间，符合∏
-+-x
x x x 2)1(1
的x 进行两部分类，
若其中一部的项数为另一部的2倍，则此部的连乘积必小于另一部分的值。

引理：在x+1与2x 之间，∏-+-x
x x x 2)1(1
任两项的乘积必小于第三项。

证明：因连乘积的项为
1
+x x
，x 为连续自然数，且在x+1与
2x 之间，最小项为x+1，最大项为2x ，若证明两项的乘机必小于第三项，只需证明最大值的两项积小于最小项即可。

在此范围内，最小值项为
1+x x
，最大值为x
x 212-，第二大的值为1222--x x ，（例如在6到10的范围内，最小项为65最大项为98\109）最大两项相乘x x 212-×1222--x x =x x x x 1222-=-，因x x 1-是1
+x x 的前项必
小于后项（仍以6到10的范围举例5
410898109==⨯，此值小于最
小项6
5），既在x+1与2x 之间，两项乘积小于第三项。

定理的证明：在x+1与2x 之间，符合∏
-+-x
x x x 2)1(1
的x 进行两部
分类，其中一部的项数为另一部的2倍，由引理得在此范围内，任两项乘积小于第三项，则占比为另一部分2倍的乘积值必小。

定理的延伸。

因全素模3后，合素因子的比值为2比1，则当3沿倍数增加时，∏-+-x
x x x 2)1(1
中所有合因子项的乘积必小于所有素因子项的乘积。

（2）全素模3到其二倍的合素概率估算。

当由3增加到6后，最小全素概率值由3
1，筛去4、5、6的
倍数后值为6
1，既减小为原值的一半，既可表为2
131⨯，现考
虑减小的2
1，其中的素数占比为3
1，合数占比为3
2，则仅筛去
素数的值必大于2
1的一半。

令3至6域的素数筛的连乘积的值为p R ，合数筛的连乘积的值为s R ，则2
1=⨯s p R R ，因p R 大于s R ，则p R 的值大于
2
1
，因
21⨯2
1=2
1。

同理，由6至12域，全素筛的值减为6域的值
的一半，其R s 的值在减小的过程中仍大于
2
1
，12域相对于
3域的值全素筛的值减小为原来的4
1，其中素数筛p R 的值大于2
1，合数筛s R 的值小于2
1。

结论：自然数沿3的4倍方向用筛法进行素概率估算，每增加4倍，素概率减小的速度不大于原值的2
1。

令最小全素筛的值3
1为R 3，则沿着倍数方向筛去6域、12域、
48域内的素数后，其素概率的值大于2
1R 3、2
1R 3、4
1R 3。

（3）用全素模对素概率进行估算
在全素筛中，筛去6、12、48前面的所有因子，其全素筛模的值分别为6
1、
121
、48
1，按素数筛估算，其素概率的值分别大于
213
1⨯、2131⨯、41⨯31
仍用全素模的表述方法可表述为
62、
122
、48
4，既素概率沿3的四倍方向，相较于全素模的值倍增。

（4）素概率的估算通式
前面我们观察了素概率沿着3的倍数方向变化的规律，现在，我们用最小全素模，计算到任意自然数间的素概率。

因在最小全素模后，素数筛的连乘积必大于合数筛，我们以此推广到任意自然数x ，当自然数由3到x 后，全素模的值为x
1，则由3到x 的减小值为x
3（因x
x
1331=⨯），现将x
3进行合
素估算，x
3是素数部分与合数部分相乘的结果，当两部分相
等时，合素的连乘积分别为x 3
，
x
3为中数，在只筛除素数
后，素数筛后的减小值大于
x
3，素数筛的值大于x
33
1⨯。

因
此我们得出任意自然数x 到2
x 素概率估算通式为
R=p
p p x
p 33
11⨯
≥-∏≤。

用以前的推导过程对此公式进行验算： 当p=6时，通式的值大于等于6
22131633
1=⨯=⨯
当p=12时，通式的值大于等于6
12131413112331≥⨯≥⨯≥⨯
（5）素概率的变化规律
在全素模以后，随着素数数量的增加，已知域的素概率逐渐减少，素数占比逐渐减少，合数占比逐渐增多，这就造成在x 至2x 的变化过程中，素数筛的连乘积逐渐变大，并逐步趋近于1，合数筛的连乘积逐渐变小，并逐渐趋近于2
1。

例：因素数的出现是渐疏的，并在足够大的时候逐渐趋近于零，假定在10n 到2⨯10n 范围内，素数只有一个，其余都是合数，全素筛计算后，2⨯10n 处的值为10n 处的2
1，既2
1=⨯s p R R ，
因素数项假定只有一项，此时p R 的值为m
m n n +-+101
10，（m
为小于
10n 的任意数）在n 足够大后，其值是无限趋近于1的，则合数项的乘积趋近于2
1。

在此时，素概率的值减小的速度是
逐渐放缓的，并逐渐趋于稳定，即在一个足够大的值x n 时，n 到x n 的素概率值与x n 到2x n 的素概率值近似相等（绝对不等）。

4、素数出现相对均匀且渐疏
根据筛法，依次筛去素数的倍数，其后出现的素数在各个值域段是相对均匀且渐疏的。

当筛去2的倍数时，剩余数为所有奇数，间隔出现，绝对均匀；筛去3的倍数，剩余数为奇数域中剔除3的倍数，疏于筛去2的剩余数，且相对均匀（5、7、11、13、17、19、23、25、29、31、35、37.....），依次筛去5、7，仍是相同的规律，每多筛除一个素数的倍数，剩余
部分稀疏度增加一次，素数即逐渐趋于稀疏，相对于一个大的值域范围，素数又是相对均匀出现的。

5、全域的素概率与素概率估算通式的关系 根据筛法的定义，自然数n 内的素数只需筛去
n 前的所有素数的倍数便可得到，现连乘积公式所表述的值为n 到
n 的素
概率，没有考虑
n 之前的素概率情况。

因我们的素数通项公
式是从最小全素模推倒出来的，在全素模时，1到n 除了1
以外全部为素数，其值为n
n 1-，已知最小全素模的
n 大于
2，
其值
n
n 1-大于全素模的素概率值n
1
，又素数的出现是渐疏
的，从全素模向后推导，1到n 的素概率恒大于n 到
n 的素
概率值，全域范围内，素概率的值大于素概率通项公式的值，因此素概率的通项公式可以表述为全域素概率的下限值，可以此做素概率的下限计算。

在以后的计算中，我们用素概率的通项公式表示全域的素概率。

二、n 与2n 间必存在一个素数问题
最小全素因子模的值为3
1，根据全素模的定义，最小全素模
是除了1以外的数全部为素数，则3以前的自然数的倍数间必有一个素数。

现在考虑全素模以后的情况，根据素数通项公式R=p
p p x
p 3
3
11⨯
≥-∏≤，任意自然数n （n ≧3）后的素概率大于等
于
n
1，一般情况表示为n到2n间会有素数出现，并沿着3的
四倍方向倍增，既12以后的素概率为大于
6
1，12到其二倍24间最少有2个素数，同理，48到其二倍间最少有4个素数，以此类推。

三、素数无限性问题
因素数出现是渐疏的，随着自然数的逐渐增大，素数在自然
数中所占比例逐渐趋近于0，设有一足够大的自然数2n
1
符合
n
1到2n
1
范围内的素数个数刚好不为空，其个数定为p
1。

根
据素数估算公式计算的素数倍增规律，2n
1到8n
1
间的素数个
数必大于2p
1，因p
1
不为0，则2p
1
亦不为0，并可不断递增
到无穷。

所以素数的个数是无限的。

四、哥德巴赫猜想问题
哥德巴赫猜想是任一大于6的偶数，都可表述成两个素数和的形式。

根据素数通项公式进行概率计算，得出结论为：大偶数的两素数和的表现个数随着偶数的增大而增大，任意大的偶数都具有两素数和的宏观可实现性，但不具有微观的必然性。

1、要考虑偶数的两素数和问题，先考虑偶数的两数和的表现形式。

用n表示自然数，2n表示偶数，任一偶数2n都可分解成n种两个数的和的形式，既偶数2n的两数和有n种表述方式。

例2=1+1,4=1+3=2+2,6=1+5=2+4=3+3，偶数
2、4、6、8分别有1、2、
3、4种两数和的表述方式，既偶数2n的
两数和的表述方式为n 种，且这n 种表现形式为以2n 的一半n 为分界，从1到n 为前半部，从n 到2n-1为后半部，任一种表现形式的两个数都包含了前后半部的各一个数及一个特例n+n 。

若用n 表示偶数，则其两数和的个数为2
n 。

2、哥德巴赫猜想问题可转化为在偶数n 的2
n 种两数和的表述
方式中，两数均为素数的形式的情况在任意偶数时均有大于等于1种出现。

3、对任一大偶数n 的2
n 种两数和的所有表述方式进行分析。

任一大偶数n 的两数和有2
n 种，现考虑n 处的素概率，大偶
数n 的素概率是筛除n
前的所有素数，根据素数通项公式
R=∏≤-x
p p
p 1，此处x 为
n ，最大筛除值为n 为素数，则公式转
化为R=∏≤-x
p p
p 1=∏
=-n
p n n 1
≥⨯
3
1p 3n
331⨯≥。

偶数n 的两数和是小于该偶数的所有自然数以n 的2
1分成两部分，首尾相加，在小于偶数n 的所有自然数中，素数占比为R ，在前2
1，出现素数的概率为R 。

和与其对应的后2
1数相
加时，后半部的对应数为素数的概率也为R ，则两数和为两素数的概率为2R
4、任一大偶数的两素数和问题
任一大偶数n ，其两数和的个数为2
n 种，其素概率R n
3
3
1⨯
≥，
两数和为素数的概率为2R ，则用两数和的个数与两数和为素
概率相乘得2n ×2
R =2n ×2
331⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯
n =2
n ×
n
31
=
6
n
使得哥德巴赫猜想成立的偶数需满足的条件为
6
n
1≥，既n 6≥。

结论：当偶数平方根大于等于6，既偶数大于等于36时，偶数的两数和中两数均为素数的值大于等于1，且随着偶数的增大，两素数和的值同步增大。

5、任一大偶数范围内的两素数和问题
我们考虑了任一大偶数n 的两素数和情况，现在我们看从1到n 范围内所有偶数的两素数和情况。

在一个大偶数n 的全域范围内，所有数（包括n ）组成的两
数和的个数为()2
122n
n n n +=+⨯，用所有的两数和的个数，乘以
全域内素概率的平方，根据前面的计算结果，素概率的平方
值为n 31
，得出全域的两素数和的个数为22n
n +×n
31。

全域的
两素数和表述范围为1到2n ，因大于2
n 的两数相加的值在n 到2n 范围，n 域内的两素数和的值只占总数的一半，既占到
n
n n n n n 1
123122122⨯+=⨯+⨯
用n 域的两素数和的个数，除以n 域的偶数的总数（在偶数域n 内，偶数奇数各占一半，偶数的个数为2
n 个），得出n
域内每个偶数两素数和的平均值
2
31122n n n ÷⨯+ =3
12122⨯⨯+n n n =n n 161⨯+ =n
n 616+ 当n 足够大时，后项的值可忽略不计，在一个大的域n 内，所有偶数表为两素数和的平均值大于6n
，既当n 大于等于6
时，必有域n 内的各偶数表为两素数和的平均值大于1，且随着n 的增加而增加，随着n 的倍增而倍增。

此结论与任一大偶数2的两素数和的问题相吻合。

6、哥德巴赫猜想问题
利用素数的通项公式，我们证明了任意大的偶数表成两素数和的形式大于一种，并一直成增加的趋势，在小偶数范围，我们可以通过遍历法，通过逐个验证的方法证明其正确性，因此，哥德巴赫猜想在任意偶数范围内可实现
7、哥德巴赫猜想是必然发生的偶然事件
在小偶数范围，人们通过验证，证明了哥德巴赫猜想是正确的，大偶数不可验证的范围，我们利用素概率的通项公式也证明了永久是可实现的，但可实现不等于必实现，例偶数68可表为61+7和37+31，此时若61为非素数，则此组素数和变为合素组合，再令37为非素数而35为素数，则35+33=68，
33非素数，则68表不成两素数和，在此种情况下，仅比原来减小了一个素数，并对另一个素数进行了替换，其形成的新素数表符合任意素数的估算公式，也符合素数的出现规律，却可能造成反例的出现。

还有一种情况，假定存在一任意大的偶数2N，其两素数和的可实现数为一千万，但在其相邻的上下偶数2N-2和2N+2处，两素数和的实现数都大于一千五百万，而刚好2N的两素数和的实现数为0，其也符合概率计算的值，但却出现了反例，但这并不影响哥德巴赫猜想的成立，由此得出的结论是，大偶数都可表示成两个素数和的形式，此命题具有宏观的可实现性但不具有微观的必然性。

当素数出现的概率逐渐趋向于零时，偶数的两素数和的表现形式是逐渐趋于无穷的。

后记：模的建立到基本成型，大约一年时间，用excel表格做了大量验证，现大的框架已经建立，但细致处还需要进一步修改，真正成文大约还需要些时日，先帖出来，让看到的人提出宝贵意见。

2015.9.20。