八年级数学直角三角形
八年级下册数学直角三角形
八年级下册数学直角三角形一、直角三角形的定义与性质。
1. 定义。
- 有一个角为90°的三角形叫做直角三角形。
直角所对的边称为斜边,另外两条边称为直角边。
2. 性质。
- 直角三角形的两个锐角互余。
即若ABC中,∠ C = 90^∘,则∠ A+∠ B = 90^∘。
- 勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2。
例如,一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
- 在直角三角形中,30^∘角所对的直角边等于斜边的一半。
例如,在ABC 中,∠ C = 90^∘,∠ A=30^∘,设斜边AB = c,则BC=(1)/(2)c。
- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
如在ABC中,∠ C = 90^∘,D 为AB中点,则CD=(1)/(2)AB。
二、直角三角形的判定。
1. 定义判定。
- 直接看三角形中是否有一个角为90^∘,如果有,则这个三角形是直角三角形。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形。
例如,三角形三边分别为5、12、13,因为5^2+12^2=25 + 144=169 = 13^2,所以这个三角形是直角三角形。
3. 一个三角形,如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
- 例如,在ABC中,D为AB中点,CD=(1)/(2)AB,则∠ ACB = 90^∘。
三、直角三角形全等的判定(HL定理)1. HL定理内容。
- 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
2. 应用示例。
- 已知ABC和DEF都是直角三角形,∠ C=∠ F = 90^∘,AB = DE,AC = DF,根据HL定理,可以得出ABC≅ DEF。
四、解直角三角形。
1. 概念。
八年级上册数学斜边直角边
八年级上册数学斜边直角边一、直角三角形的基本性质直角三角形是一个角为90度的三角形,它具有一些基本性质,如两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半等。
这些性质是解决直角三角形问题的基础。
二、斜边和直角边的关系在直角三角形中,斜边和直角边之间存在特定的关系。
如果已知两个直角边的长度,可以使用勾股定理计算斜边的长度。
反之,如果已知斜边和一条直角边的长度,可以使用射影定理计算另一条直角边的长度。
三、斜边中线定理斜边中线定理指出,直角三角形斜边的中线长度等于斜边长度的一半。
这个定理在解决与直角三角形相关的问题时非常有用。
四、直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定有几种情况,包括SSS、SAS、ASA和HL (直角边斜边)判定方法。
这些判定方法可以帮助我们确定两个直角三角形是否全等,从而解决问题。
五、直角三角形的应用直角三角形在日常生活和生产实践中有着广泛的应用,如建筑、测量、航海和物理学等领域。
解决与直角三角形相关的问题需要我们利用所学知识,通过逻辑推理和计算,找到正确的解决方案。
六、勾股定理及其逆定理勾股定理是直角三角形的一个重要性质,它指出在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理则说明,如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件,那么这个三角形一定是直角三角形。
七、直角三角形的面积计算直角三角形的面积可以通过两种方式计算:一种是基于基底和高,另一种是使用射影定理。
了解这些计算方法对于解决与面积相关的问题非常重要。
八、直角三角形与平行线在解决与直角三角形相关的问题时,有时需要利用平行线的性质和判定方法。
例如,利用平行线构造相似三角形或利用平行线的性质求解角度问题。
因此,了解平行线的性质和判定方法是解决这类问题的关键。
九、直角三角形与轴对称轴对称是数学中的一个重要概念,它涉及到图形的对称性。
在解决与直角三角形相关的问题时,有时需要利用轴对称的性质来找到解决方案。
例如,通过轴对称构造等腰三角形或找到对称点等。
八年级数学上册17.2 直角三角形
你还能用其他 方法证明吗?
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半.
A 应用格式:
∵ 在Rt△ABC 中,
∠C =90°,∠A =30°,
∴ BC = 1 AB. 2
B
C
例 如图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱
BC,DE 垂直于横梁AC,AB =7.4 cm,∠A =30°,立柱BC、
由三角形内角和定理,容易验证得到: 在△ABC中,∵∠A+∠B=90°,∠A+∠B+∠C=180°,
∴可得到:∠C=90°,△ABC为直角三角形. 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三
角形.
练一练 1.为已知△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3.那么
这个三角形是__直__角__三__角__形____.
1 2
AB.
下面我们就来证明这个“发现”.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为斜边AB上的
中线.
A
求证:CD=
1 2
AB.
证明:如图,过点D作DE∥BC,交AC于
点E;作DF∥AC,交BC于点F.
D E
在△AED和△DFB中,
∠AED=∠FDB(两直线平行,同位角相等),
∵ AD=DB(中线的概念),
则AD=___5__cm.
A
45° CE
B
D
C
3.如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AB =10,则BC 的 长为 5 .
4.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD 是高,∠A =30°, AB =4.则BD = 1 .
八年级数学上册《直角三角形的性质》课件
通过测量直角三角形中的两个锐角,可以计算出 第三个角的大小,从而解决一些测量问题。
建筑设计中直角三角形应用
建筑设计
01
在建筑设计中,直角三角形常被用于计算建筑物的角度、高度
和距离等参数,以确保建筑物的稳定性和美观性。
结构工程
02
在结构工程中,直角三角形可以帮助工程师计算结构的支撑力
、承载力和稳定性等关键参数。
AA相似条件在直角三角形中应用
AA相似条件:如果两个三角形 中有两个角分别相等,则这两 个三角形相似。
在直角三角形中,由于一个角 是90度,因此只需要再证明一 个角相等即可判定两个直角三 角形相似。
常见的证明方法包括利用余角 相等、利用平行线的性质等。
利用三边比例关系判断相似
三边比例关系:如果两个三角形的三边长度成比例,则这两个三角形相似。
在直角三角形中,可以利用勾股定理和已知边长求出未知边长,进而判断三边是否 成比例。
需要注意的是,由于直角三角形的特殊性,有时候只需要证明两边成比例即可判定 相似。
实例分析与解题技巧
实例分析
通过具体题目分析,展示如何利 用AA相似条件和三边比例关系判 断直角三角形相似。
解题技巧
总结在解题过程中需要注意的问 题和技巧,如正确运用勾股定理 、灵活运用相似条件等。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
勾股数
在直角三角形中,直角边的平方和等 于斜边的平方,即a² + b² = c²,其 中a、b为直角边,c为斜边。
满足勾股定理的三个正整数,称为勾 股数。例如,3、4、5是一组勾股数 ,因为3² + 4² = 5²。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²,那么这个三角形是直角三 角形,其中c为最长边。
14.1.2 直角三角形的判定(八年级数学)
∵b2+c2=112+92 =121+81 =202,
a2=132 =169,
∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形.
【例 3】 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如 图2所示,这个零件符合要求吗?
勾股数:满足a2+b2=c2的 三个正整数
(1) a=7,b=25,c=24; (2) a=13,b=11,c=9. 分析:根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直
角三角形, 只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解:(1)最长边为25,
(2)最长边为13,
∵a2+c2=72+242 =49+576 =625,
b2=252 =625,
1.如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是
( B) A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 ( A )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面 积是25, 144 , 169, 则这个三角形是__直__角__三角形.
4.如果三条线段a、b、c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么? 解:这个是直角三角形,因为a2+b2=c2,满足勾股定理的 逆定理.
八年级数学 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)
∠A=90°-∠B,
④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页,共三十四页。
知识点二 直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页,共三十四页。
【典例2】 如图,△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形,△BCD中,∠DBC=90°, ∠BCD=60°,DC中点为E,AD与BE的延长线交于点F,求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页,共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中,不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页,共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页,共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长 为12,则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页,共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页,共三十四页。
【典例1】如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,CD是高. (1)图中有几个直角三角形?是哪几个? (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系?∠2和∠A呢?还有哪些
锐角相等?
第二十五页,共三十四页。
【火眼金睛】 如图,△ABC为等腰直角三角形,AD为斜边BC上的高,E,F分 别(fēnbié)为AB和AC的中点,试判断DE和DF的关系.
第二十六页,共三十四页。
第二十七页,共三十四页。
人教版八年级数学上直角三角形
初中数学试卷直角三角形知识导引1、直角三角形的性质:(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(3)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半;(4)直角三角形中,如果有一条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的角是30°。
2、直角三角形的判定方法:(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形;(2)有两个角互余的三角形是直角三角形;(3)如果一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。
4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形,它的两个底角都是45°,且两条直角边相等,等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质,是很常见的特殊三角形。
典例精析例1:已知等腰△ABC 中,AD ⊥BC 于点D ,且AD=21BC ,则△ABC 底角的度数为( ) A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2:两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,点B ,C ,E 在同一条直线上,连结CD 。
(1)请找出图②中的全等三角形并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);(2)试说明:CD ⊥BE 。
例3:如图所示,四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成,E 为斜边AC 的中点,则∠BDE= 。
例3—1:如图,已知AD ⊥BD ,AC ⊥BC ,E 为AB 的中点,试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。
例4:已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于点D ,∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ,试说明AE=AF 。
例5:如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC ,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,CE ⊥BD ,交其延长线于点E ,求证:CE=21BD探究活动例:小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线AC剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中∠ACB=α,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,△DEF纸片的直角顶点D 落在纸片△ABC的斜边AC上,直角边DF落在AC所在的直线上。
八年级上册数学-专题六直角三角形
专题六 直角三角形一、直角三角形性质:1、 直角三角形的两个锐角互余2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°5、 勾股定理:直角三角形两直角边a,b 的平方和,等于斜边c 的平方。
a 2+b 2=c 2二、直角三角形判定:1、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系:a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。
3、直角三角形全等的判定:SAS,ASA,AAS,SSS,HL三、角平分线的性质:1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上四、练习1如图,AB ∥CD ,∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点,E 为AC 的中点,EH=2.那么△AHC 是直角三角形吗?为什么?若是,求出AC 的长。
2、如图,在R t △ABC 中,∠ACB=90°,CD 垂直于AB,垂足为点D ,DB=21BC,求∠A 的度数。
3、已知,在△ABC 中,∠B =21∠A =31∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长,(2)求AC, BC 的长,(3)AB 边上的高AB C DEH4、如图,在RtABC 中,∠C=90°,ED 是线段AB 的垂直平分线,已知∠1=31∠ABC ,求∠A 的度数。
6、 如图,在边长为4的正方形ABCD 中,F 为CD 的中点,E 是BC 上一点,且EC=41BC. 求证:△AEF 是直角三角形。
7、 如图,D 为BC 的中点,DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF.试问:AB 与AC 有什么关系?8、 如图,已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上,作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别为点M,N.求证:P M=PN .9、 如图,求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。
八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)
直角三角形一、直角三角形的性质重点:直角三角形的性质定理及其推论:①直角三角形的性质,在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;②推论:(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,则它所对的直角边等于斜边的一半;(2)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°.难点:1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点:掌握直角三角形全等的判定定理:斜边、直角边公理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)难点:创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。
三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示:如图4,∵ OE是∠AOB的平分线,F是OE上一点,且CF⊥OA于点C,DF⊥OB于点D,∴ CF=DF.定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题;角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图6,如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线,那么:① AP、BQ、CR相交于一点I;②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI.定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线;(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4四、勾股定理的证明及应用1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三:1()()2S a b a b =+⋅+梯形,2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则c,b,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数:cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8..勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学上第二章《直角三角形》
第7讲直角三角形()一、知识要点1、直角三角形的性质(1)两锐角互余.(2)斜边上的中线等于斜边的一半.(3)30°的角所对的直角边等于斜边的一半.(4)ab=ch(a,b,c分别是直角三角形的三边,h为斜边上的高)(5)如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,则∠ACD=∠B,∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定(1)两锐角互余的三角形.(2)如果三角形一边上的中线等于这边的一半.(3)如图,AD是△ABC的高,且∠DAC=∠B.(4)证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,AF平分∠BAC,分别交CD,BC于点E,F.求证:∠CEF=∠CFE例2.如图,已知AD是△ABC的高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE于点G,求证:(1)点G是CE的中点;(2)∠B=2∠BCE.例3、如图,AB,CD交于点E,AD=AE,CB=CE,点F,G,H分别是DE,BE,AC的中点.求证:FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图,在Rt △ABC 中,AC=BC ,∠C=90°, D 是AB 边的中点,∠EDF=90°,∠EDF 绕点D 旋转,它的两边分别与直线AC ,BC 交于E ,F. (1)当点E ,F 分别在AC ,BC 上时(如图1),求证:ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21;(2)当点E ,F 分别在AC ,CB 延长线上时(如图2), 则(1)结论是否还成立?请说明理由.例5.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,CD ⊥AB 于D ,BE 平分 ∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 交于点F ,H 是边BC 的中 点,连接DH ,与BE 交于点G.(1)求证:CE=21BF ;(2)CE 与BG 的大小关系如何?试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(不与点A ,B分别过A ,B 向直线CP 作垂线,垂足分别为E ,F ,点Q 是斜边AB 的中点.(1)如图1,当点P 与点Q 重合时,试写出QE ,QF 的数量 关系和BF ,AE 的位置关系:; (2)如图2,当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时,试判断QE ,QF 的数量关系,并给予证明; (3)如图3,当点P 在线段BA (或AB )延长线上时,此时(中的结论是否仍成立?请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=6cm ,点P 从点A 出发, 沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动,同时点Q 从点B 出发,沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边 的等腰三角形时候,则运动时间t 的值为多少?例8.已知,如图点D 是线段AB 上一点(不与点A ,B 重合),CD ⊥AB 于D ,且CD=AB ,AE ⊥AB ,BF ⊥AB ,且AE=BD ,BF=AD.(1)如图1,当点D 是线段AB 的中点时,试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系,并给予证明;(2)如图2,当点D 不是线段AB 的中点时,(1)中的结论 是否发生变化?写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一.选择题(共12小题)1.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是( ) 3.如图,△ABC 中,∠C=45°,点D 在AB 上,点E 在BC 上.若AD=DB=DE ,AE=1,则AC 的长为( )A.5 B. 2 C. 3 D. 24.如图,BD 平分∠ABC ,CD ⊥BD ,D 为垂足,∠C=55°,则∠ABC 的度数是( ) A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5.已知如图,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,CD ⊥DE ,CD=ED ,AD=2,BC=3,则△ADE 的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6.如图,∠ACB=90°,AC=BC ,AE ⊥CE 于E ,BD ⊥CE 于D ,AE=5cm ,BD=2cm ,则DE 的长是( ) A. 8 B. 5 C. 3 D. 27.如图所示,P ,Q 分别是BC ,AC 上的点,作PR ⊥AB 于R 点,作PS ⊥AC 于S 点,若AQ=PQ ,PR=PS ,下面三个结论:①AS=AR ;②QP ∥AR ;③△BRP ≌△CSP ,正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8.在等腰直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=8,点F 是AB 的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD=CE ,则四边形CDFE 的面积是( ) A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9.如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且保持AD=CE .连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE是等腰直角三角形;A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4;③四边形CDFE 的面积保持不变;④△CDE 面积的最大值为8.其中正确的结论是( )A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10.如图,在等腰直角△ACB 中,∠ACB=90°,O 是斜边AB 的中点,点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上,且∠DOE=90°,DE 交OC 于点P .则下列结论:(1)图形中全等的三角形只有两对; (2)△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍;(3)CD+CE=OA ;(4)AD 2+BE 2=2OP •OC .其中正确的结论有( ) A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11.如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中,作内接正方形A 1B 1C 1D 1;在等腰直角三角形OA 1B 1中,作内接正方形A 2B 2C 2D 2;在等腰直角三角形OA 2B 2中,作内接正方形A 3B 3C 3D 3;…;依次作下去,则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是( ) A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12.如图,已知∠AOB=45°,A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上,B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上,且A 1B 1⊥OA ,A 2B 1⊥OA ,…A n B n ⊥OA ; A 2B 2⊥OB ,…,A n+1B n ⊥OB (n=1,2,3,4,5,6…).若OA 1=1,则A n B n 的长是( ) A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二.填空题(共8小题) 13.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,AD 与BE 相交于点F ,若BF=AC ,则∠ABC= 度.14.如图,在四边形ABCD 中,AB=BC ,∠ABC=∠CDA=90°,BE ⊥AD 于点E ,且四边形ABCD 的面积为9,则BE= . 15.判断题:(1)一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等; (2)一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等;(3)两个锐角分别相等的两个直角三角形全等;(4)两直角边分别相等的两个直角三角形全等;(5)一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 .16.如图,三角形ABC 中AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,AD 、CE 交于点H ,请你填加一个适当的条件 ,使△AEC ≌△CDA .17.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC ,分别过点B ,C 作过点A 的直线的垂线BD ,CE ,若BD=4cm ,CE=3cm ,则DE= cm .18.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB ,P ,Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动,当AP= 时,△ABC 和△PQA 全等.第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119.在△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,PR=PS,AQ=PQ,则下面三个结论:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是.20.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,下面四个结论:①∠ABE=∠BAD;②△CEB≌△ADC;③AB=CE;④AD﹣BE=DE.正确的是(将你认为正确的答案序号都写上).三.解答题(共5小题)21.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,那么,CE=DF吗?22.如图,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为等腰Rt△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.(1)求证:DE平分∠BDC;(2)连接BE,设DC=a,求BE的长.23.已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB,AC上的动点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形;(2)在(1)的条件下,四边形AEDF的面积是否变化,证明你的结论;(3)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.24.(1)两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置,点B,A,D在同一条直线上.那么点C,A,E在同一条直线上;①在图1中,作∠ABC的平分线BF,过点D作DF⊥BF,垂足为F;②猜想:线段BF,CE的关系,结论是:.(2)将(1)中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”,其它条件不变,如图2,连接CE,请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.25.同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.(1)如图1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为,周长为.(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为_________,周长为.(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图3,请你猜想此时重叠部分的面积为.(4)在如图3的情况下,AC交MN于D,MK交BC于E,若AD=1,求出重叠部分图形的周长.直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二:∠1+∠4=90° ,∠2+∠AED =90°∠1=∠2,∴∠3=∠4=∠AED例2.(1)DE 是Rt △ADB 斜边上中线,∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.(2)由(1)∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得,AF ,CG 为高, 又H 为中点,∴HF=HG=21AC例4.(1)ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21(2)D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.(1)△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE(2)连接CG ,∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.(1)平行,相等(2)∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ (3)∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.(1)∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF(2)∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理,△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习:一.选择题:CADD ACCB CCBD9、①连接CF.∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB,∵AD=CE,∴△ADF≌△CEF,∴EF=DF,∠CFE=∠AFD,∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,故本选项正确;②∵△DEF是等腰直角三角形,∴当DE最小时,DF也最小,即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=BC=4,∴DE=DF=4,故本选项错误;③∵△ADF≌△CEF,∴S△CEF=S△ADF,∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确;④当△CED面积最大时,由③知,此时△DEF的面积最小,此时,S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8,故本选项正确;综上所述正确的有①③④.10、(1)错误.理由如下:图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.在△AOD与△COE中,∴△AOD≌△COE(ASA).同理可证:△COD≌△BOE.10、结论(2)正确.理由如下:∵△AOD≌△COE,∴S△AOD=S△COE,∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC,即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.结论(3)正确,理由如下:∵△AOD≌△COE,∴CE=AD,∴CD+CE=CD+AD=AC=OA.结论(4)正确,理由如下:∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2.∵△AOD≌△COE,∴OD=OE,又∵OD⊥OE,∴△DOE为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,∴△OEP∽△OCE,∴,即OP•OC=OE2.∴DE2=2OE2=2OP•OC,∴AD2+BE2=2OP•OC.综上所述,正确的结论有3个,11、过O作OM⊥AB,交AB于点M,交A1B1于点N,如图所示:∵A1B1∥AB,∴ON⊥A1B1,∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形,∴OM=AB=,又∵△OA1B1为等腰直角三角形,∴ON=A1B1=MN,∴ON:OM=1:3,∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=,同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=,则第n个正方形A n B n D n C n的边长.12、由题意,可知图中的三角形均为等腰直角三角形,OA1=1,A1B1=A1A2=1,B1A2=B1B2=,A2B2=A2A3=2,B2A3=B2B3=2,A3B3=A3A4=4,…,从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1,其中A1B1=1,所以A n B n=2n﹣1.二、13、45°14、 3 15、正确;正确;错误;正确;正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB(正确即可)17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS,PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP,根据现有条件无法确定其全等.故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°,∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°,AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD,BE=CD∴④AD﹣BE=DE.正确而③不能证明,三、21、略22、(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴∠BAC=∠ABC=45°,∵∠CAD=∠CBD=15°,∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°,∴BD=AD,∴D在AB的垂直平分线上,∵AC=BC,∴C也在AB的垂直平分线上,即直线CD是AB的垂直平分线,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;∴∠CDE=∠BDE,即DE平分∠BDC;(2)∵∠CAE=∠CEA=15°,∴AC=CE,∠ACE=150°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°,∵AC=CE,AC=BC,∴CE=BC,∴△BCE是等边三角形,∴BE=BC=AC.如图,在△ACD中,过点D作DM⊥AC于点M,作∠ADN=∠CAD=15°,交AC于N.在Rt△CDM中,∵∠CMD=90°,∠C=45°,DC=a,∴DM=MC=a.在Rt△DMN中,∵∠NMD=90°,∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°,DM=a,∴DN=2DM=a,NM=DM=a.∵∠ADN=∠CAD=15°,∴AN=DN=a,∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a,∴BE=AC=a.23、(1)证明:连接AD∵AB=AC,∠A=90°,D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中,∴△BDE≌△ADF(SAS)∴DE=DF,∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即:∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形.(2)解:四边形AEDF面积不变.理由:∵由(1)可知,△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF,而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化.(3)解:仍为等腰直角三角形.理由:∵△AFD≌△BED∴DF=DE,∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即:∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE,BF=CE(1)①画图②结论是:BF⊥CE,BF=CE.(2)如图,①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线,∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B,A,D在同一条直线上,△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD,BA=DE设BC=AD=a,BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°,∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b,HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理,得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE,BF=CE仍然成立25、(1)∵AC=BC=4,∠ACB=90°,∴AB===4,∵M是AB的中点,∴AM=2,∵∠ACM=45°,∴AM=MC,∴重叠部分的面积是=4,∴周长为:AM+MC+AC=2+2+4=;(2)∵叠部分是正方形,∴边长为×4=2,面积为2×2=4,周长为2×4=8.(3)过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G,∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a,∴MH=BC,MG=AC,∴MH=MG,又∵∠NMK=∠HMG=90°,∴∠NMH+∠HMK=90°,∠GME+∠HMK=90°,∴∠HMD=∠GME,在△MHD和△MGE中,∵,∴△MHD≌△MGE(ASA),∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积,∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4;∴阴影部分的面积是4;(4)过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥AC于点H,∴四边形MGCH是矩形,∴MH=CG,∵∠A=45°,∴∠AMH=45°,∴AH=MH,∴AH=CG,在Rt△DHM和Rt△EGM中,,∴Rt△DHM≌Rt△EGM.∴GE=DH,∴AH﹣DH=CG﹣GE,∴CE=AD,∵AD=1,∴DH=1,CE=1,CD=4﹣1=3,∴DM=∴四边形DMEC的周长为:CE+CD+DM+ME=1+3++=4.故答案为:4,,4,8,4。
八年级数学上册直角三角形知识点总结
八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容,下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结:
1. 三角函数
- 正弦函数:sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数:cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数:tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形:两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形:长边:短边:斜边 = 1:√3:2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形:两条直角边相等,斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义:一个角为直角(90度)
- 直角三角形的性质:直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方(勾股定理)
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边:利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边:利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题:将实际问题转化为数学问题,利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结,请认真研究,掌握这些内容,将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等,那么它 们的平方相等”的逆命题,这两个命题都是真命 题吗? 解:其逆命题为“如果两个有理数的平方相等,
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题,而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题,并判断它们是真 命题还是假命题。 (1)两直线平行,同旁内角相等。 (2)如果a是偶数,b是偶数,那么a+b是偶数。 (3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30˚,那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系?
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形; (2)两直线平行,同旁内角互补; (3)如果ab=0,那么a=0 b=0
解:(1)多边形是四边形.原命题是真命题, 而逆命题是假命题.
(2)同旁内角互补,两直线平行. 原命题与逆命题同为真命题.
(3)如果a=0,b=0,那么ab=0. 原命题是假命题,而逆命题
是真命题.
1.(钦州·中考)如图是一张直角三角形的纸片, 两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将△ABC折叠, 使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为( ) (A)4 cm (B)5 cm
直角三角形(第1课时)八年级数学
DE=AC,FE=BC,则DE2+EF2=DF2(勾股定理).
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作图), C
∴AB2=DF2,∴AB=DF,
∴△ABC≌△DFE(SSS).
D
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形.
┏
E
B F
探究新知 结论 勾股定理与逆定理 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这 个三角形是直角三角形.
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理,这两个定理叫做 互逆定理
定理1:直角三角形的两个锐角互余; 角的性质 定理2:有两个角互余的三角形是直角三角形.
边的性质
勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方; 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的 平方,那么这个三角形是直角三角形
互逆命题与 互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论; 互逆命题 第一个命题的结论是第二个命题的条件.
例 如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,则∠BAD的度数 是( C )
A.85° C.95°
B.90° D.100°
巩固练习
变式训练
直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小 的锐角是____3_0_°___.
探究新知
知识点 2
勾股定理与逆定理
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即a2+b2=c2.
探究新知
小结 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质定理: 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
人教版八年级上册数学直角三角形
B
C
D
1.等边三角形的性质
知识回顾:
(1)等边三角形的三条边相等。
(2)等边三角形的内角都相等,且都等于60 °
(3)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
(4)等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一.
2.等边三角形的判定:
(1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个内角都等于60 °的三角形是等边三角 形. (3)有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边 三角形.
用两个大小一样且含有30°的三角尺你 能拼出一个怎样的三角形?能拼出一个 等边三角形吗?请说说你的理由.
A
你能用哪些 方法证明?
B
C
D
2.如图,你能借助这个图形,找 到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之 间的数量关系吗?
A A
30
BCD
B
C
D
∵ △ABD是等边三角形
∴AB=AD=BD
∵AC⊥BD 1 ∴BC=DC= AB
A
M
C
D
B
2
求证:在直角三角形中,如果一个锐角等 于30°,那么它所对的直角边等于斜边 的一半。
已知:如图在Rt△ABC中,∠C=90°
∠BAC=30°
求证:BC= 1 AB
A
2
B
C
D
结论: 在直角三角形中,30°所 对的直角边等于斜边的一半。
用符号语言表示为:
A
在Rt△ABC中 ∵∠A=30° ∴AB=2BC
在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=2∠A, ∠B和∠A各是多少度? 边AB与BC之间有什么关系?
在直角三角形中,30°角所 对的直角边等于斜边的一半。
2.6.1 直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(浙教版)
∠C=90°(已知)
∴∠A+∠B=180°-∠C=90°
则∠A+∠B=90°
C
B
合作学习
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示:“Rt△” 直角三角形可以记为Rt△ABC
直角三角形的性质定理:
直角三角形的两个锐角互余
在Rt△ABC中,∠C=90°
则∠A+∠B=__________
∴BC= AB
C
B
例题讲解
例2:如图,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系? 为什么?
解:在Rt△ACE中,
C
D
∠CAE=90°- ∠AEC
E
在Rt△BDE中,
∠DBE=90°- ∠BED
∵∠AEC= ∠BED
∴∠CAE= ∠DBE
A
B
例题讲解
例3:右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于
90°
A
直
角
边
C
斜边
直角边
B
巩固练习
已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2,求这两个锐角的度数。
解:∵三角形内角和是180°,直角三角形中有一个角是90°
∴直角三角形的两个锐角度数的和是90°,
又3+2=5,
∴这两个锐角分别为:90°× =54°;
90°× =36°,
答:这个三角形两个锐角的度数分别是 54°,36°.
浙教版 八上
直角三角形的性质
目录
01 直角三角形
02 直角三角形锐角互余
03 斜中线性质
初中数学知识归纳平面几何中的直角三角形与斜三角形
初中数学知识归纳平面几何中的直角三角形与斜三角形初中数学知识归纳:平面几何中的直角三角形与斜三角形一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为直角(即90度)的三角形。
直角三角形有一些重要的性质:1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理。
如在直角三角形ABC中,若AB为直角边,BC为直角边,AC为斜边,则有AB²+BC²=AC²。
2. 直角三角形的任一锐角的正弦、余弦和正切比值都是有理数。
例如,在直角三角形ABC中,若∠ABC为直角,则有sin∠ABC=a/c,cos∠ABC=b/c,tan∠ABC=a/b,其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。
3. 直角三角形的垂线、中线和高线重合,并且都是斜边的一半。
例如,在直角三角形ABC中,若AD为BC的中线,则AD也是BC的高线和垂线,且AD=BC/2。
二、斜三角形的定义与性质斜三角形是指不含直角(即角度不为90度)的三角形。
斜三角形也有一些重要的性质:1. 斜三角形的内角和为180度。
在三角形ABC中,∠A+∠B+∠C=180度。
2. 斜三角形的两边之间的夹角对应的正弦、余弦和正切比值都是有理数。
例如,在三角形ABC中,若∠A为夹角,则sin∠A=a/c,cos∠A=b/c,tan∠A=a/b,其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。
3. 斜三角形的重心、外心和内心都有重要意义。
其中,重心是三角形三条中线的交点,外心是三角形外接圆的圆心,内心是三角形内接圆的圆心。
三、直角三角形与斜三角形的联系与运用直角三角形和斜三角形在平面几何中经常运用到,它们之间存在一些重要的联系:1. 直角三角形可以作为斜三角形的特殊情况,直角三角形的性质也可以应用到斜三角形中。
例如,在斜三角形ABC中,若∠C=90度,则可以得到直角三角形A'C'B',其中∠C'=∠C,∠A'=∠B,∠B'=∠A。
人教版八年级数学上册课件:直角三角形的性质
Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A, ∠B和∠A各是多少度? 边AB与边BC之间有什么关系?
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
我们这节课学习了哪些知识? 谈谈你的体会.
在直角三角形中,如果一个锐角等 于30°,那么它所对的直角边等于斜 边的一半.
A
=15×2=30(海里),得
到BC=30 (海里)
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
二、探究
如图,将两个含有30°角的三角形放在一起,你能借助这 个图形,找到Rt△ABC与斜边AB之间的数量关系吗?
∵△ABC是△ADC的轴对称图形 ∴AB=AD △ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD∴BC=DC=1/2AB
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
一般三角形
等边三角形
3 三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
等边三角形
4,有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形.
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A=30° ∴2BC=AB, 2DE=AD ∴BC=1/2 ×7.4=3.7m 又 AD=1/2 AB
∴DE=1/2 AD=1/2 ×3.7=1.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
人教版八年级数学上册课件:直角三 角形的 性质
证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
八年级解直角三角形知识点
八年级解直角三角形知识点在初中数学学习中,直角三角形是非常重要的一个知识点。
本文将为您介绍八年级解直角三角形的知识点,帮助您更好地掌握这个重要的数学概念。
1. 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在这样的三角形中,对直角的两边称为“直角边”,对90度的另一边则称为“斜边”。
2. 勾股定理勾股定理是指对于任何一个直角三角形,其直角边长的平方之和等于斜边长的平方。
即 a²+b²=c²。
这个定理对求解直角三角形的三个边长非常有用。
例如,如果我们已知直角边a和b的长度,就可以通过勾股定理求出斜边c的长度。
3. 特殊角的正弦、余弦和正切在解直角三角形中,我们经常需要计算特殊角的正弦、余弦和正切值。
在直角三角形中,对于任何角的正弦值,都等于对应的斜边长除以斜边长的比例,即sinA=a/c;对于余弦和正切值,也有类似的计算公式,cosA=b/c,tanA=a/b。
这些公式对计算直角三角形非常有用。
4. 三角函数的计算与应用在实际应用中,三角函数是非常重要的数学工具。
例如,我们可以通过计算三角函数值来求解三角形的各个角度和边长,而这些知识点在很多领域都有着广泛的应用,比如物理学、工程学或者地质学等。
因此,掌握好直角三角形的三角函数知识是非常重要的。
5. 解三角形的常用方法在求解直角三角形时,我们有许多不同的方法,可以根据具体的问题选择。
例如,我们可以使用勾股定理,已知两个边长求解第三个边长;也可以使用正弦、余弦或正切公式来求解角度或长度。
但无论采用哪种方法,我们都需要保证数值计算的准确性,以确保解得的结果是正确的。
总结在初中数学学习中,直角三角形是一个重要的知识点。
通过掌握直角三角形的基本定义、勾股定理、三角函数以及解三角形的常用方法,可以帮助我们更好地求解各种数学问题。
希望本文能够帮助您更好地掌握八年级解直角三角形的知识点,顺利学好初中数学。
数学人教版八年级上册《第三节 直角三角形的性质》
数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一,它具有一些独特的性质。
本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》,包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。
通过学习本节内容,读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。
直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在直角三角形中,有一个特殊的定理,被称为勾股定理。
勾股定理表明,在直角三角形中,直角边的平方等于其他两条边平方的和。
例如,在一个直角三角形中,较短的直角边为3,较长的直角边为4,那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出,即斜边的长度为5。
勾股定理是直角三角形的重要性质,我们可以通过它解决一些实际问题,比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。
除了勾股定理,直角三角形还有一些特殊的性质。
我们先来看一下等腰直角三角形。
等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中,斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出,即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。
比如,如果等腰直角三角形的直角边长为3,那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出,即斜边的长度为3√2。
另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。
45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。
在45度角三角形中,两条直角边长度相等,即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。
比如,如果45度角三角形的斜边长度为2,那么两条直角边的长度也为2的平方根。
45度角三角形经常在实际问题中出现,比如在建筑和几何图形设计中的应用。
了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后,我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。
通过解答这些问题,我们可以更深入地理解直角三角形的性质。
例如,题目如下:已知一个直角三角形的直角边为3,斜边为5,求另一直角边的长度。
解答:根据勾股定理,直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出,即直角边的长度为4。
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Байду номын сангаас
一秒凤凰装饰
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