江苏省扬州市邗江中学(集团)高二数学下学期期中试题理(普通班)苏教版

江苏省扬州市邗江中学（集团）高二数学下学期期中试题
理（普通班）苏教版
高二数学期中试卷（理科普通班卷）
一、填空题：
1．已知i 是虚数单位，则21i i
=+ ▲ .
2．空间两点(1,2,1)A -，(4,3,1)B 之间的距离是 ▲ ．
3．用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应为__▲___． 4. 已知i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ，i i =5，由此可猜想2015
i =__▲__．
5．二项式10
(x 1)+展开式中，8x 的系数为 ▲ ．
6．已知矩阵A
－1
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1201，B －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则 (AB)－1
= ▲． 7．随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝15k (k ＝1，2，3，4，5)，则P 1
52
2x ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
＝_▲_. 8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__▲____．
9．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是____▲_____.
10．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值等于 ▲ ．
11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___．
12．设f(n)＝1＋
111123431
n +++⋯+
+(n ∈N *
)，则f(k ＋1)－f(k)＝__▲___. 13．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生
不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ▲ . (请用数字作答！)
14
．
若
929
0129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且
229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是___▲__．
二、解答题：
15．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数． （1）求复数z ；
（2）若复数()2
mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
16．二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，
－2）．
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程．
17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．
18．已知在331()2n x x
-
的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n ；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．
19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
23、23、1
2
，他们考核所得的等级相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
20. 已知2
111,3n n n a a na a +=-+=.
（1）求2345,,,a a a a 的值；
（2）判断n a 与2n +的关系，并用数学归纳法证明.
高二数学期中试卷（理科普通班） 参考答案及评分标准
1． 1i + 2．14．3a 3b 3a 3b ． i - 5． 45 6． ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3211 7． 1
5 8． 1∶8 9． 33i - 10． 510 11．
284285（或未化简，11361140） 12． 111.323334
k k k +++++
13． 60 14． -3或1
15．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数．
（1）求复数z ；
（第17题图）
A
B
C A 1
B 1
C 1
（2）若复数()2
mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围
解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． 1分
由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． 3分 由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =． 5分 ∴i z 24-=． 6分
（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(2
2
-+++-=+， 8分
根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,
0)2(8,
04122
m m m 12分
解得22<<-m ，
∴实数m 的取值范围是()2,2-． 14分
16．二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．
（Ⅰ）求矩阵M ；
（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程 解：（Ⅰ）设b d a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有
b d a
c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b
d a
c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦，
所以120,
,122a b a b c d c d -=--+=⎧⎧⎨
⎨-=--+=-⎩
⎩且， 4分 解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=⎩ 所以M=
12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 6分 （Ⅱ）因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
'+⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦且m ：24x y ''-=， 10分 所以2（x+2y ）－（3x+4y ）=4，即x+4 =0，这就是直线l 的方程 14分 17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．
请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．
（第17题图）
A
B
C
A 1
B 1
C 1
17．如图，以{}
1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．
则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1(0,1,2)CB =，(1,1,0)AB =-，
1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． （1）因为11
1111
330cos ,1065CB BA CB BA CB BA ⋅===⨯，
所以异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值为
3010
． …………………………7分
（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，
则110,0,
AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩
取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；
设平面1BAB 的法向量为(,,)r s t =n ，则10,
0,
AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,r s t r s -++=⎧⎨-+=⎩
取平面1BAB 的一个法向量为(1,1,0)=n ； 则210
cos ,552
⋅=
==
⨯m n m n m n ， 所以二面角1B AB C --平面角的余弦值为10
5
． …………………………15分 18．已知在33
1()2n x x
-
的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n ；
（2）问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由。

（1）
55
10
153
53
3
3
515
11()()22n n n T C x
x C x ---+=⋅⋅-=-⋅ 100n ∴-= 故10n =. 7分
（2）设展开式中的有理项为1023
110
1()2
r
r r r T C x -
+=-⋅
则
102,0,1,2,,103
r
r -∈=Z ，故r =2，5，8
∴展开式中的有理项分别为第3项，第6项，第9项. 8分
19.某四星高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降
x
y
z
（第17题图）
A
B C
A 1
B 1
C 1
分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
23、23、1
2
，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列． 【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E. 则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是 P(E)＝1－P(A B C )＝1－(1－
23)(1－23)(1－12)＝17
18
. 6分 (2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P(A B C )＝(1－
23)(1－23)(1－12)＝118
， P(ξ＝40)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝5
18，
P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝8
18
，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝4
18
. 14分
所以ξ的分布列为 16分
20. 已知2
111,3n n n a a na a +=-+=.
（1）求234,,a a a 的值；
（2）判断n a 与2n +的关系，并用数学归纳法证明。

解：（1）29317a =-+=， 34914136a =-+=,4a =1189 3分
（2）2n a n ≥+
①n=1时，3=1+2成立 5分
②假设*
()n k k N =∈时，2k a k ≥+ 6分 1n k =+时，2
11()1k k k k k a a ka a a k +=-+=-+
20k a k ≥+> 2k a k -≥
()2(2)k k a a k k ∴-≥+ 10分
1()12(2)1(1)2112
k k k a a a k k k k k +∴=-+≥++=++++>++
1n k ∴=+时结论成立。

14分
综上：由①②知：2n a n ≥+ 16分。