2020-2021宁波市高三数学下期末模拟试题(带答案)

2020-2021宁波市高三数学下期末模拟试题(带答案)
一、选择题
1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24
B ．16
C ．8
D ．12
2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v
对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +
D ．12i -+ 3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张
卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
13
C ．
23
D ．
34
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12 D ．15 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）
A ．28
B ．32
C ．33
D ．27 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ）
A ．
14
B ．
12
C ．
22
D ．2
9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2
π
)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )
A ．2，－
3π
B ．2，－6
π C ．4，－6
π
D ．4，
3
π 10．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220
B ．2755
C ．
2125
D ．
27
220
11．若双曲线22
221x y a b
-=的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．y=2x ±
C ．1
2
y x =±
D ．22
y x =±
12．定义运算()()
a a
b a b b a b ≤⎧⊕=⎨
>⎩，则函数()12x
f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设函数()21
2
log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________．
14．函数()22,0
26,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩
的零点个数是________．
15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.
16
．若x ，y 满足约束条件x y 10
2x y 10x 0
--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则x
z y 2=-+的最小值为______．
17．3
7
1()x x
+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）
18．已知点()0,1A ，抛物线()2
:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交
于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．
19．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则
b
a
的取值范围是__________． 20．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
三、解答题
21．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.
(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
22．已知A 为圆2
2
:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足
2.BP BA =u u u v u u u v
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.
23．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.
(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；
(Ⅱ) 求AB =BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.
24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
21x tcos y tsin α
α
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 25．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）
，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）
在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
26．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。

【详解】
根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有2
22A =种情
况；
（2）将这个整体与英语全排列，有2
22A =中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2中情况，则数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，故选B 。

【点睛】
本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。

2．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先根据向量OA u u u v
对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线
y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v
对应的复数，得到结果.
【详解】
复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，
所以向量OB uuu r
对应的复数为2i -+．
故选A ． 【点睛】
该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题．
从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是2
46C =种，数学之和为偶数的有13,24
++两种，所以所求概率为1
3
，选B ． 考点：古典概型．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】
由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．
点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相
等”的含义． 考点：三视图．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有1
4C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有0
4C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】
解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
8．C
解析：C 【解析】
由题得(1)11112222i i i i z i z i -+=
===+∴==
+故选C. 9．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象，求得T 、ω和φ的值． 【详解】
由函数f （x ）＝2sin （ωx+φ）的部分图象知，
3T 5π412=-（π3-）3π4
=， ∴T 2π
ω
=
=π，解得ω＝2； 又由函数f （x ）的图象经过（5π
12
，2）， ∴2＝2sin （25π
12
⨯+φ）， ∴
5π6+φ＝2kππ
2
+，k∈Z， 即φ＝2kππ
3
-， 又由π2-
＜φπ2＜，则φπ3
=-； 综上所述，ω＝2、φπ
3
=-． 故选A ． 【点睛】
本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】
因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一
个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933
1227
(4)220
C C P X C ===，故选
D ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．
11．B
解析：B 【解析】
双曲线的离心率为a
=b y x a =±
，计算得b a =
方程为y =.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值， 因此函数()1,0
122,0x
x
x f x x >⎧=⊕=⎨
≤⎩
， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??
【解析】 【分析】 【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220 log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩或
11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
14．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x
＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：
解析：2 【解析】 【详解】
当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，
则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】
判断函数零点个数的方法
直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，
图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，
性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
15．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主
解析：4+
【解析】 【分析】
由4c =，a A =，利用正弦定理求得4
C π
=
.，再由余弦定理可得
2
2
16a b =+，利用基本不等式可得(82
ab ≤
=+，从而利用三角形
面积公式可得结果. 【详解】
因为4c =，又sin sin c a C A
==
所以sin 2
C =
，又C 为锐角，可得4C π=.
因为()
2222
162cos 222a
b ab C a b ab ab =+-=+-≥-， 所以()
82222
ab ≤
=+-， 当且仅当()
822a b ==+时等号成立， 即12sin 44224
ABC S ab C ab ∆=
=≤+， 即当()
822a b ==+时，ABC ∆面积的最大值为442+. 故答案为442+. 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要
熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟
练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1 【解析】 【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1
z x y 2
=-+的最小值． 【详解】
画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数1
z x y 2
=-+过点A 时取得最小值，由{
x 0
x y 10=--=，解得
()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1
z x y 2
=-+的最小值为1-．
故答案为1-． 【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
17．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的
展开式应用 解析：35
【解析】
由题意，二项式3
71()x x
+展开的通项372141771()
()r r
r r r r T C x C x x
--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4
735C =.
考点：1.二项式定理的展开式应用.
18．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准
【解析】
依题意可得焦点F 的坐标为04a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =
13FM MN =Q ∶∶
KN KM ∴=∶
又
014
04
FN K a a --=
=-，
FN KN K KM
==-4
a
-∴
=-a =点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知
MF MK =，再根据题设得到KN KM =∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，
进而求解实数a 的值
19．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以 解析：(2,3)
【解析】 【分析】 【详解】
因为ABC ∆为锐角三角形，所以022
02B A A B πππ⎧
<=<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，所以046
3A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<
⎪⎩，
所以(
,)64A ππ
∈，所以sin 2cos sin b B A a A
==，所以(2,3)b
a ∈. 20．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025
解析：20 25 【解析】 设这三个数：
、
、
（），则
、
、
成等比数列，则
或
（舍），则原三个数：15、20、25
三、解答题
21．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)= 【解析】
(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4. ∵ρ2-2ρcos(θ-)=2,
∴ρ2-2
ρ (cosθcos +sinθsin )=2.
∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.
22．(1) 22
1
4
x y += (2) 3.2 【解析】 【分析】
（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；
（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出
最值，最后总结出最值. 【详解】
解：（1） 设(),P x y ， 由题意得：()()1,,0,A x y B y ， 由2BP BA =u u u v u u u v
，可得点A 是BP 的中点， 故102x x +=， 所以12
x
x =
， 又因为点A 在圆上，
所以得2
214
x y +=，
故动点P 的轨迹方程为2
214
x y +=.
（2）设()11,P x y ，则10y ≠，且2
21114
x y +=，
当10x =时，11y =±，此时()33,0,2
POQ Q S ∆=； 当10x ≠时，1
1
,OP y k x = 因为OP OQ ⊥, 即1
1
,OQ x k y =-
故1133,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
OP ∴=
OQ ==，
22
111
1322POQ
x y S OP OQ y ∆+==⋅①， 2
21114x y +=代入① 2111143334
322POQ
y S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭
()101y <≤
设()()4
301f x x x x
=
-<≤
因为()24
f x 30x
'=-
-<恒成立， ()f x ∴在(]
0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32
POQ S ∆≥, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2
【点睛】
本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.
23．
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）7
- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，
∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，
AD 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB =BC 1=，则AD 1=，3AG 2
=
， 故()A 000，，
，3C 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()D 001，，，3A 002⎛⎫
⎪⎝⎭，，，
则3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭，
设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则11
111133·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩
u u u r u r u u u r u r ， 取13y =，得()
11
30n u r
，，=， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则22222233
·1023
·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
u u u r u u r u u u r u u r ，
取22y =，得()
2023n u u r
，
，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321
cos θ27
·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ，
由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217
-
. 【点睛】
本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 24．（1）()2
239x y -+=（2）27 【解析】
分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出
PA PB +．
详解：
（1）由2
6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2
2
6x y x +=， 即()2
239x y -+=
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--=
因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()
12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩
所以
又因为（2，1）为直线所过定点，
()
1212
2
1212
4324sin232427
PA PB t t t t t t t t α∴+=+=-=
+-⋅=-≥-=
所以27PA PB 的最小值为∴+
点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．
25．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8. 【解析】 【分析】
(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】
(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．
(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩
,
∴点A 的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝
()
()2
2
200222-++=.
∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． 【点睛】
本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 26．（1）3,2a c ==；（2）23
27
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
2
sin 3
B =
由正弦定理，得42
sin sin c C B b =
=
a b c =>，所以C 为锐角，因此
27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1()3B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 339
c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=1724223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.。