2024届安徽省亳州市第二中学数学高一第二学期期末经典试题含解析

2024届安徽省亳州市第二中学数学高一第二学期期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设1e ，2e 是平面内一组基底，若1222sin 0e e λλ+=，1λ，2R λ∈，则以下不正确．．．的是（ ） A ．1sin 0λ= B ．2tan 0λ=
C ．120λλ=
D ．2cos 1λ=
2． “2
k π
ϕπ=+
（k Z ∈）”是“函数()cos()f x x =+ωϕ是奇函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知α,β是两个不同的平面,,m n 是两条不同的直线,下列命题中错误的是（ ）
A ．若α∥
β，m α⊆，n β⊆ ，则//m n B ．若α∥
β ，m α⊥ ，n β⊥ ，则//m n C ．若m α⊥，//m n ，n β⊆,则α⊥
β D ．若α⊥
β，m α⊆，n αβ⋂= ,m n ⊥,则 m β⊥ 4．是直线上任意一点，点在圆
上运动，则
的最小值
是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B =，且三边a b c ，，成等比数列，则
2a c
b
+的值为（ ） A ．
2 B ．
22
C ．1
D ．2
6．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（ ）
A ．“连续整边三角形”只能是锐角三角形
B ．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形
C ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个
D ．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个 7．下列函数，是偶函数的为（ ） A ．cos 2y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
C ．sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．tan 2y x =
8．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ） A ．1:3
B ．1:1
C ．1:27
D ．1:9
9．若圆2
2
1:1C x y +=与圆22
2:680C x y x y m +--+=相切，则实数m =（ ）
A ．9
B ．-11
C ．-11或-9
D ．9或-11
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
23
B ．46+
C ．43+
D ．23+
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知扇形的圆心角为
3
2
rad ，半径为6cm ，则扇形的弧长为______cm . 12．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，
2PA AB =，给出下列结论：
①PB AE ⊥；
②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE ⊥平面PDE ；
④异面直线PD 与BC 所成角为45；
⑤直线PD 与平面PAB 所成角的余弦值为
104
.
其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上） 13．若6
x π
=
是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=________．
14．函数()1 2?22f x sin x cos x =
+32
的最小正周期是____. 15．圆2
2
230x y y ++-=与圆2
2
6230x y x y ++++=的公共弦长为______________。

16．若tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，则tan()αβ-=__________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．设数列{}n a 的前n 项和为2
n S an bn =+，且121,3a a ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，DA DC =，若45,2B BC =︒=.
（1）若BCD ∆是锐角三角形，26
DC ，求角A 的大小； （2）若BCD ∆锐角三角形，求AD
DB
的取值范围. 19．已知函数()ax 2
f x x 2
-=
+，其中a R ∈． ()1解关于x 的不等式()f x 1≤-；
()2求a 的取值范围，使()f x 在区间()0,∞+上是单调减函数．
20．解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=
21．如图，在四棱锥P ～ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点，PE ⊥平面ABCD ，AP ⊥DP ，AP ＝DP ．
（1）求证：EF ∥平面PCD ；
（2）设G 为AB 中点，求证：平面EFG ⊥平面PCD ．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
由已知及平面向量基本定理可得：12sin 0λλ==，问题得解. 【题目详解】
因为1e ，2e 是平面内一组基底，且1222sin 0e e λλ+=， 由平面向量基本定理可得：12sin 0λλ==， 所以2cos 1λ=±，所以D 不正确 故选D 【题目点拨】
本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题． 2、C 【解题分析】 若()2
k k Z π
ϕπ=+
∈，则()cos()cos()sin 2f x x wx k wx π
ωϕπ=+=++=±，
函数()f x 为奇函数，所以充分性成立；
反之，若函数()cos()f x x =+ωϕ是奇函数，则0()2
w k k Z π
ϕπ⨯+=+∈，
即()2
k k Z π
ϕπ=+
∈，因此必要性也是成立，
所以“()2
k k Z π
ϕπ=+∈”是“函数()cos()f x x =+ωϕ是奇函数”充要条件，故选C.
3、A 【解题分析】
根据平面和直线关系，依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】
A. 若α
β，m α⊆，n β⊆ ，则//m n
如图所示情况，两直线为异面直线，错误 其它选项正确. 故答案选A 【题目点拨】
本题考查了直线平面的关系，找出反例是解题的关键. 4、D 【解题分析】
首先求出圆心到直线的距离与半径比较大小，得到直线与圆是相离的，根据圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减半径，求得结果. 【题目详解】 因为圆心到直线
的距离为
，
所以直线与圆
是相离的，
所以的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，
即，
故选D.
【题目点拨】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于简单题目. 5、C 【解题分析】
先利用正弦定理边角互化思想得出3
B π
=
，再利余弦定理1
cos 2
B =
以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a c
b
+的值． 【题目详解】
sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得
sin sin cos 0A B A B =，
sin 0A >，sin 0B B ∴-=，tan B ∴=，则3
B π
=
.
a 、
b 、
c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得
222221
cos 222
a c
b a
c ac B ac ac +-+-===，
化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a c
b
+∴=，故选C ． 【题目点拨】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题． 6、C 【解题分析】
举例三边长分别是2,3,4的三角形是钝角三角形，否定A ，B ，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C 、D 中哪个正确哪个错误． 【题目详解】
三边长分别是2,3,4的三角形,最大角为θ，则2222341
cos 02234
θ+-==-<⨯⨯，θ是钝
角 ，三角形是钝角三角形，A ，B 都错，
如图ABC ∆中，,2,1AC n BC n AB n ==+=+，2BAC ABC ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，则CAD BAD ABC ∠=∠=∠，∴CAD CBA ∆∆∽，
CA CD
CA CA
=，
∴22
2CA n CD CB n ==
+， 244
222
n n BD n n n +=+-=
++， 又由AD 是BAC ∠的平分线，得
AB BD AC BC =，∴2
144
n n n n ++=，解得4n =， ∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C 正确，D 错误． 故选D ．
【题目点拨】
本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明． 7、B 【解题分析】
逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足()()f x f x -=即可得解. 【题目详解】
易知各选项的定义域均关于原点对称.
()cos sin sin 2y x x x π⎛⎫
=-==-- ⎪⎝⎭
，故A 错误；
()sin cos cos 2y x x x π⎛⎫
=-==-
⎪⎝⎭
，故B 正确； sin cos cos sin 42444y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=-+=-≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；
()tan 2tan 2y x x ==--，故D 错误.
故选：B. 【题目点拨】
本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.
8、C 【解题分析】
根据球的体积公式可知两球体积比为33
12:R R ，进而得到结果.
【题目详解】 由球的体积公式343
V R π=知：两球的体积之比33
12
:1:27R R == 故选：C 【题目点拨】
本题考查球的体积公式的应用，属于基础题. 9、D 【解题分析】
分别讨论两圆内切或外切，圆心距和半径之间的关系即可得出结果. 【题目详解】
圆1C 的圆心坐标为()0,0，半径11r =；圆2C 的圆心坐标为()3,4，半径225r m =-，讨论：当圆1C 与圆2C 外切时，
()()
22
3040125m -+-=+-，所以9m =；当
圆1C 与圆2C 内切时，()()2
2
3040251m -+-=--，所以11m =-，综上，9
m =或11m =-. 【题目点拨】
本题主要考查圆与圆位置关系，由两圆相切求参数的值，属于基础题型. 10、B 【解题分析】
由三视图判断该几何体是有三条棱两两垂直是三棱锥，结合三视图的数据可得结果. 【题目详解】
由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中AB ，BC ，BP 两两垂直， 且1,2AB BC BP ===，则ABC ∆和ABP ∆的面积都是1，PBC ∆的面积为2， 在PAC ∆中，22,5PC
AC AP ===
则PAC ∆的面积为
1
2
⨯=
所以该几何体的表面积为4 故选：B. 【题目点拨】
三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、9 【解题分析】
由扇形的弧长公式运算可得解. 【题目详解】
解：由扇形的弧长公式得：3
692
l r α==⨯=， 故答案为9. 【题目点拨】
本题考查了扇形的弧长，属基础题. 12、①③④⑤ 【解题分析】
设出几何体的边长，根据正六边形的性质，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，异面直线所成角，线面角有关知识，对五个结论逐一分析，由此得出正确结论的序号. 【题目详解】
设正六边形长为1，则2PA =.根据正六边形的几何性质可知AE AB ⊥，由PA ⊥平面
ABC 得PA AE ⊥，所以AE ⊥平面PAB ，所以AE PB ⊥，故①正确.由于//BC AD ，
而AD AE A ⋂=，所以直线//BC 平面PAE 不正确，故②错误.易证得
,DE AE DE PA ⊥⊥,所以DE ⊥平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面PDE ，故③正确.
由于//BC AD ,所以PDA ∠是异面直线PD 与BC 所成角，在Rt PAD ∆中，
2AP AD ==，故45PDA ∠=，也即异面直线PD 与BC 所成角为45，故④正确.
连接BD ，则//BD AE ，由①证明过程可知AE ⊥平面PAB ，所以BD ⊥平面PAB ，
所以DPB ∠是所求线面角，在三角形PBD 中，5,22,3PB PD BD ===，由余弦定理得58310
cos =42522
DPB +-∠=⋅⋅，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤.
【题目点拨】
本小题主要考查线面垂直的判定，面面垂直的判定，考查线线角、线面角的求法，属于中档题. 13、
6π或
32
π
【解题分析】 将6
x π
=
代入方程，化简结合余弦函数的性质即可求解.
【题目详解】 由题意可得：2cos 16πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭，即1
cos 62
πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以
2,6
3
k k Z π
π
απ+=-
+∈或2,6
k k Z π
απ=
+∈
又(0,2)απ∈ 所以322
2
π
παπ=-
+=
或6π
α=
故答案为：
6π或
32
π
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数求值问题，属于基础题. 14、π 【解题分析】
将三角函数化简为标准形式，再利用周期公式得到答案.
【题目详解】
由于()
222,666f x cos xcos sin xsin cos x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭所以2.2T ππ== 【题目点拨】 本题考查了三角函数的化简，周期公式，属于简单题.
15、【解题分析】
利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.
【题目详解】
由两圆方程相减得两圆公共弦方程为623(23)0x y y ++--=，即1x =-，
圆22230x y y ++-=化为22
(1)4x y ++=，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共
弦长为=【题目点拨】
本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.
16、 【解题分析】
由题意利用韦达定理求得tan α、tan β 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【题目详解】
解：tan α、tan β是方程2240x x --=的两根，
tan tan 2αβ∴+=，tan tan 4αβ⋅=-，
tan 1α∴=+，tan 1β=tan 1α=tan 1β=+
则tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--==+，
故答案为： 【题目点拨】
本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17、（1）21n a n =-；（2）21
n n T n =
+ 【解题分析】
(1)由2n S an bn =+，且12a 1,a 3==， 可得10a b ==，
当2n n n a S =-时， 22111(1)211n S n n n S a -=--=-==，也适合，
21n a n =-；
(2)∵
123111111(21)(21)22121n n n n n b T b b b b a a n n n n +⎛⎫===-∴=+++⋯+= ⎪-+-+⎝⎭
111111(1)2335212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-= ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ 18、（1）30A =；（2
）2⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭ 【解题分析】
（1）利用正弦定理，可得BDC ∠，然后利用2BDC A ∠=，可得结果.
（2）
【题目详解】
在BCD ∆中，sin sin BC DC BDC
B ， 又D
C ，45,2B BC =︒=， 所以3sin 2
BDC ，又BCD ∆是锐角三角形 所以()
0,90BDC ∠∈，所以60BDC ∠=
又DA DC =，则A ACD =∠，所以2BDC A ∠=
故30A = （2）由DA DC =，所以AD DC DB DB
=，
即sin sin DC B DB BCD ==∠ 由BCD ∆锐角三角形，所以4590BCD ∠+>
所以4590BCD <∠<，所以
sin 12
BCD <∠<
故1BCD <∠<1
2<<
所以AD DB ⎫∈⎪⎪⎝⎭
【题目点拨】
本题主要考查正弦定理边角互换，重点掌握公式，难点在于对角度范围求取，属中档题.
19、（1）见解析； （2）(),1∞--.
【解题分析】
()1由题意可得()a 1x
0x 2
+≤+，对a 讨论，可得所求解集； ()2求得()ax 222a f x a x 2x 2
---==+++，由反比例函数的单调性，可得22a 0-->，解不等式即可得到所求范围．
【题目详解】
()1x 的不等式()f x 1≤-， 即为ax 21x 2-≤-+，即为()a 1x 0x 2
+≤+， 当a 1=-时，解集为{x |x 2}≠-；
当a 1>-时，解集为(]
2,0-；
当a 1<-时，解集为(),2[0∞--⋃，)∞+； ()()ax 222a 2f x a x 2x 2
---==+++， 由()f x 在区间()0,∞+上是单调减函数，
可得22a 0-->，
解得a 1<-．
即a 的范围是(),1∞--．
【题目点拨】
本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．
20、{}
|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或
【解题分析】
根据方程解出tan 2x =或tan 3x =，利用三角函数的定义解出x ，再根据终边相同角的表示即可求出.
【题目详解】
由22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=，得()()sin 2cos sin 3cos 0x x x x --=， 所以tan 2x =或tan 3x =，所以tan 2x k arc π=+或tan3x k arc π=+，
所以x 的解集为：{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或.
【题目点拨】
本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
21、 (1) 证明见解析 (2)证明见解析
【解题分析】
（1）取PC 的中点H ，连接FH ，通过证明四边形EFHD 为平行四边形，证得//EF DH ，由此证得//EF 平面PCD .
（2）通过证明,AP CD AP PD ⊥⊥，证得AP ⊥平面PCD ，由此证得GF ⊥平面PCD ，从而证得平面EFG ⊥平面PCD .
【题目详解】
（1）证明：取PC 的中点H ，连接FH
则FH ∥BC ，FH 12
BC =
， 又ED ∥BC ，ED 12BC =， ∴ED ∥FH ，ED ＝FH ，
∴四边形EFHD 为平行四边形，
∴EF ∥DH ，
又DH ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，
∴EF ∥平面PCD ；
（2）证明：∵PE ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，
∴CD⊥AP（三垂线定理），
又AP⊥PD，
∴AP⊥平面PCD，
又∵GF∥AP，
∴GF⊥平面PCD，
∴平面EFG⊥平面PCD．
【题目点拨】
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。