第9章分支限界法
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第9章 分支限界法 章
9.1 概 述 9.2 图问题中的分支限界法 9.3 组合问题中的分支限界法
9.1 概 述
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（2） 9.1.2 分支限界法的设计思想 9.1.3 分支限界法的时间性能
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（ ）
9.1.2 分支限界法的设计思想
假设求解最大化问题， 假设求解最大化问题 ， 问题的解向量为 X=(x1, x2, …, , xn) ， 其 中 ， xi 的 取 值 范 围 为 某 个 有 穷 集 合 Si ， |Si|=ri 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时， （ 1≤i≤n ） 。 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时 ， 首 先根据限界函数估算目标函数的界[ 先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]，然后从根结 点出发， 个孩子结点， 点出发 ， 扩展根结点的 r1 个孩子结点 ， 从而构成分量 x1 的 r1 种可能的取值方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的 种可能的取值方式。 目标函数值 bound(x1) ， 其含义是以该孩子结点为根的子树 所可能取得的目标函数值不大于 bound(x1) ， 也就是部分解 应满足： 应满足：
限界函数确定目标函数的下界down，目标函数的上界up可以用 ，目标函数的上界 可以用 限界函数确定目标函数的下界 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题， 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题，根据限 界函数确定目标函数的上界up，目标函数的下界down可以用某 界函数确定目标函数的上界 ，目标函数的下界 可以用某 种启发式方法得到）。然后， ）。然后 种启发式方法得到）。然后，按照广度优先策略遍历问题的解 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（ 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对于最小化问题 估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界）， ），如 ，估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界），如 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界， 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则 将其丢弃， 将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT） 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表 ）中。依 次从表PT中选取使目标函数的值取得极值 对于最小化问题， 中选取使目标函数的值取得极值（ 次从表 中选取使目标函数的值取得极值（对于最小化问题， 是极小值；对于最大化问题，是极大值） 是极小值；对于最大化问题，是极大值）的结点成为当前扩展 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 随着这个遍历过程的不断深入， 随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函数 中所估算的目标函数 的界越来越接近问题的最优解。 的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时
表9.1 0/1背包问题的价值/重量排序结果 物品 1 2 3 4 重量(w) 4 7 5 3 价值(v) 40 42 25 12 价值/重量(v/w) 10 6 5 4
这样， 个物品给出了单位重量的最大价值， 这样，第1个物品给出了单位重量的最大价值，最后一个物 个物品给出了单位重量的最大价值 品给出了单位重量的最小价值。应用贪心法求得近似解为(1, 品给出了单位重量的最小价值。应用贪心法求得近似解为 0, 0, 0)，获得的价值为 ，这可以作为 背包问题的下界。如何 背包问题的下界。 ，获得的价值为40，这可以作为0/1背包问题的下界 求得0/1背包问题的一个合理的上界呢 考虑最好情况， 背包问题的一个合理的上界呢？ 求得 背包问题的一个合理的上界呢？考虑最好情况，背包中 装入的全部是第1个物品且可以将背包装满，则可以得到一个非 装入的全部是第 个物品且可以将背包装满， 个物品且可以将背包装满 常简单的上界的计算方法： 常简单的上界的计算方法：ub=W×(v1/w1)=10×10=100。于是 × × 。 得到了目标函数的界[40, 100]。 ，得到了目标函数的界 。 一般情况下，解空间树中第i层的每个结点 层的每个结点， 一般情况下，解空间树中第 层的每个结点，都代表了对物 做出的某种特定选择， 品1～i做出的某种特定选择，这个特定选择由从根结点到该结 ～ 做出的某种特定选择 点的路径唯一确定：左分支表示装入物品， 点的路径唯一确定：左分支表示装入物品，右分支表示不装入 物品。对于第i层的某个结点 层的某个结点， 物品。对于第 层的某个结点，假设背包中已装入物品的重量是 w，获得的价值是 ，计算该结点的目标函数上界的一个简单方 的价值是v， ，获得的价值是 法是把已经装入背包中的物品取得的价值v， 法是把已经装入背包中的物品取得的价值 ，加上背包剩余容量 W-w与剩下物品的最大单位重量价值 i+1/wi+1的积，于是，得到 与剩下物品的最大单位重量价值v 的积，于是， 与剩下物品的最大单位重量价值 限界函数： 限界函数： ub = v + (W − w) × (vi +1 wi +1 ) （式9.1） ）
回溯法从根结点出发， 回溯法从根结点出发 ， 按照深度优先策略遍历问题的解空 间树。例如， 所示对0/1背包问题的搜索 间树。例如，图8.4所示对 背包问题的搜索，如果某结点所代 所示对 背包问题的搜索， 表的部分解不满足约束条件（即超过背包容量） 表的部分解不满足约束条件 （ 即超过背包容量 ） ， 则对以该结 点为根的子树实行剪枝；否则， 点为根的子树实行剪枝 ； 否则 ， 继续按深度优先策略遍历以该 结点为根的子树。 这种遍历过程一直进行， 结点为根的子树 。 这种遍历过程一直进行 ， 当搜索到一个满足 约束条件的叶子结点时，就找到了一个可行解。 约束条件的叶子结点时 ， 就找到了一个可行解 。 对整个解空间 树的遍历结束后， 所有可行解中价值最大的就是问题的最优解。 树的遍历结束后 ， 所有可行解中价值最大的就是问题的最优解 。 回溯法求解0/1背包问题 虽然实行剪枝减少了搜索空间，但是， 背包问题， 回溯法求解 背包问题，虽然实行剪枝减少了搜索空间，但是 ， 整个搜索过程是按深度优先策略机械地进行，所以， 整个搜索过程是按深度优先策略机械地进行 ， 所以 ， 这种搜索 是盲目的。 是盲目的。 分支限界法首先确定一个合理的限界函数， 分支限界法首先确定一个合理的限界函数 ， 并根据限界函 数确定目标函数的界[down, up]（对于最小化问题，根据 数确定目标函数的界 （对于最小化问题，
w=0, v=0 ub=100 2 w=4, v=40 ub=76 4 × w=11 无效解 6 w=9, v=65 ub=69 8 w=12 无效解 × 9 w=9, v=65 ub=65 5 w=4, v=40 ub=70 7 w=4, v=40 ub=64 3 w=0, v=0 ub=60
图9.1 分支限界法求解0/1背包问题示例 （×表示该结点被丢弃，结点上方的序号表示搜索顺序）
分支限界法求解0/1背包问题， 其搜索空间如图9.1所示 所示， 分支限界法求解 背包问题，其搜索空间如图 所示 ， 背包问题 具体的搜索过程如下： 具体的搜索过程如下： （1）在根结点 ，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重 ）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此， 量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值 量和获得的价值均为 ，根据限界函数计算结点 的目标函数值 为10×10=100； × ； 装入背包， （2）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ，获 ）在结点2，将物品1装入背包 因此，背包的重量为4， 得的价值为40，目标函数值为40 得的价值为 ，目标函数值为 + (10-4)×6=76，将结点 加入 × ，将结点2加入 待处理结点表PT中 在结点3，没有将物品1装入背包 因此， 装入背包， 待处理结点表 中 ； 在结点 ， 没有将物品 装入背包 ， 因此 ， 背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数值为10× ＝ ， 背包的重量和获得的价值仍为 ，目标函数值为 ×6＝60，将 结点3加入表 加入表PT中 结点 加入表 中； 中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜 （ 3）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜 ） 在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 索； 装入背包， （ 4）在结点 ， 将物品 装入背包 ， 因此 ，背包的重量为 ， ） 在结点4，将物品2装入背包 因此，背包的重量为11， 不满足约束条件，将结点4丢弃 在结点5， 丢弃； 不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将
物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同 相同， 物品 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相同， 装入背包 目标函数值为40 加入表PT中 目标函数值为 + (10-4)×5=70，将结点 加入表 中； × ，将结点5加入表 中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索 （5）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； ）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； 装入背包， （6）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ，获得 ）在结点6，将物品3装入背包 因此，背包的重量为9， 的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69， 将结点 加入表 的价值为 ， 目标函数值为 × ， 将结点6加入表 PT中；在结点 ，没有将物品 装入背包，因此，背包的重量和获 装入背包， 中 在结点7，没有将物品3装入背包 因此， 得的价值与结点5相同 目标函数值为40 + (10-4)×4＝64，将结 相同， 得的价值与结点 相同，目标函数值为 × ＝ ， 加入表PT中 点6加入表 中； 加入表 中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索 （7）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； ）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； 装入背包， （ 8）在结点 ， 将物品 装入背包 ， 因此 ， 背包的重量为 ， 不 ） 在结点8，将物品4装入背包 因此，背包的重量为12， 满足约束条件，将结点8丢弃 在结点9，没有将物品4装入背包 丢弃； 装入背包， 满足约束条件 ， 将结点 丢弃 ； 在结点 ， 没有将物品 装入背包 ， 因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同 相同， 因此，背包的重量和获得的价值与结点 相同，
如果该结点的目标函数值是表PT中的极值 中的极值（ ，如果该结点的目标函数值是表 中的极值（ 对于最小化问 是极小值；对于最大化问题， 是极大值） 题 ， 是极小值 ； 对于最大化问题 ， 是极大值 ） ， 则该叶子结 点对应的解就是问题的最优解； 否则， 点对应的解就是问题的最优解 ； 否则 ， 根据这个叶子结点调 整目标函数的界（ 对于最小化问题， 调整上界； 整目标函数的界 （ 对于最小化问题 ， 调整上界 ； 对于最大化 问题，调整下界） 依次考察表PT中的结点 中的结点， 问题 ，调整下界 ） ， 依次考察表 中的结点， 将超出目标函 数界的结点丢弃，然后从表PT中选取使目标函数取得极值的 数界的结点丢弃， 然后从表 中选取使目标函数取得极值的 结点继续进行扩展。 结点继续进行扩展。 下面以0/1背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程 背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程。 下面以 背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程。假 设有4个物品 其重量分别为(4, 个物品， 设有 个物品，其重量分别为 7, 5, 3)，价值分别为 ，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量 ，背包容量W=10。首先，将给定物品按单位重量价值 。首先， 从大到小排序，结果如表9.1所示 所示。 从大到小排序，结果如表 所示。
目标函数值为65； 目标函数值为 ； 是叶子结点， 的目标函数值是表PT （ 9）由于结点 是叶子结点， 同时结点 的目标函数值是表 ）由于结点9是叶子结点 同时结点9的目标函数值是表 中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解 对应的解即是问题的最优解， 中的极大值 ， 所以 ， 结点 对应的解即是问题的最优解 ， 搜索 结束。 结束。 1
9.1 概 述 9.2 图问题中的分支限界法 9.3 组合问题中的分支限界法
9.1 概 述
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（2） 9.1.2 分支限界法的设计思想 9.1.3 分支限界法的时间性能
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（ ）
9.1.2 分支限界法的设计思想
假设求解最大化问题， 假设求解最大化问题 ， 问题的解向量为 X=(x1, x2, …, , xn) ， 其 中 ， xi 的 取 值 范 围 为 某 个 有 穷 集 合 Si ， |Si|=ri 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时， （ 1≤i≤n ） 。 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时 ， 首 先根据限界函数估算目标函数的界[ 先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]，然后从根结 点出发， 个孩子结点， 点出发 ， 扩展根结点的 r1 个孩子结点 ， 从而构成分量 x1 的 r1 种可能的取值方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的 种可能的取值方式。 目标函数值 bound(x1) ， 其含义是以该孩子结点为根的子树 所可能取得的目标函数值不大于 bound(x1) ， 也就是部分解 应满足： 应满足：
限界函数确定目标函数的下界down，目标函数的上界up可以用 ，目标函数的上界 可以用 限界函数确定目标函数的下界 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题， 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题，根据限 界函数确定目标函数的上界up，目标函数的下界down可以用某 界函数确定目标函数的上界 ，目标函数的下界 可以用某 种启发式方法得到）。然后， ）。然后 种启发式方法得到）。然后，按照广度优先策略遍历问题的解 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（ 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对于最小化问题 估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界）， ），如 ，估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界），如 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界， 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则 将其丢弃， 将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT） 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表 ）中。依 次从表PT中选取使目标函数的值取得极值 对于最小化问题， 中选取使目标函数的值取得极值（ 次从表 中选取使目标函数的值取得极值（对于最小化问题， 是极小值；对于最大化问题，是极大值） 是极小值；对于最大化问题，是极大值）的结点成为当前扩展 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 随着这个遍历过程的不断深入， 随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函数 中所估算的目标函数 的界越来越接近问题的最优解。 的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时
表9.1 0/1背包问题的价值/重量排序结果 物品 1 2 3 4 重量(w) 4 7 5 3 价值(v) 40 42 25 12 价值/重量(v/w) 10 6 5 4
这样， 个物品给出了单位重量的最大价值， 这样，第1个物品给出了单位重量的最大价值，最后一个物 个物品给出了单位重量的最大价值 品给出了单位重量的最小价值。应用贪心法求得近似解为(1, 品给出了单位重量的最小价值。应用贪心法求得近似解为 0, 0, 0)，获得的价值为 ，这可以作为 背包问题的下界。如何 背包问题的下界。 ，获得的价值为40，这可以作为0/1背包问题的下界 求得0/1背包问题的一个合理的上界呢 考虑最好情况， 背包问题的一个合理的上界呢？ 求得 背包问题的一个合理的上界呢？考虑最好情况，背包中 装入的全部是第1个物品且可以将背包装满，则可以得到一个非 装入的全部是第 个物品且可以将背包装满， 个物品且可以将背包装满 常简单的上界的计算方法： 常简单的上界的计算方法：ub=W×(v1/w1)=10×10=100。于是 × × 。 得到了目标函数的界[40, 100]。 ，得到了目标函数的界 。 一般情况下，解空间树中第i层的每个结点 层的每个结点， 一般情况下，解空间树中第 层的每个结点，都代表了对物 做出的某种特定选择， 品1～i做出的某种特定选择，这个特定选择由从根结点到该结 ～ 做出的某种特定选择 点的路径唯一确定：左分支表示装入物品， 点的路径唯一确定：左分支表示装入物品，右分支表示不装入 物品。对于第i层的某个结点 层的某个结点， 物品。对于第 层的某个结点，假设背包中已装入物品的重量是 w，获得的价值是 ，计算该结点的目标函数上界的一个简单方 的价值是v， ，获得的价值是 法是把已经装入背包中的物品取得的价值v， 法是把已经装入背包中的物品取得的价值 ，加上背包剩余容量 W-w与剩下物品的最大单位重量价值 i+1/wi+1的积，于是，得到 与剩下物品的最大单位重量价值v 的积，于是， 与剩下物品的最大单位重量价值 限界函数： 限界函数： ub = v + (W − w) × (vi +1 wi +1 ) （式9.1） ）
回溯法从根结点出发， 回溯法从根结点出发 ， 按照深度优先策略遍历问题的解空 间树。例如， 所示对0/1背包问题的搜索 间树。例如，图8.4所示对 背包问题的搜索，如果某结点所代 所示对 背包问题的搜索， 表的部分解不满足约束条件（即超过背包容量） 表的部分解不满足约束条件 （ 即超过背包容量 ） ， 则对以该结 点为根的子树实行剪枝；否则， 点为根的子树实行剪枝 ； 否则 ， 继续按深度优先策略遍历以该 结点为根的子树。 这种遍历过程一直进行， 结点为根的子树 。 这种遍历过程一直进行 ， 当搜索到一个满足 约束条件的叶子结点时，就找到了一个可行解。 约束条件的叶子结点时 ， 就找到了一个可行解 。 对整个解空间 树的遍历结束后， 所有可行解中价值最大的就是问题的最优解。 树的遍历结束后 ， 所有可行解中价值最大的就是问题的最优解 。 回溯法求解0/1背包问题 虽然实行剪枝减少了搜索空间，但是， 背包问题， 回溯法求解 背包问题，虽然实行剪枝减少了搜索空间，但是 ， 整个搜索过程是按深度优先策略机械地进行，所以， 整个搜索过程是按深度优先策略机械地进行 ， 所以 ， 这种搜索 是盲目的。 是盲目的。 分支限界法首先确定一个合理的限界函数， 分支限界法首先确定一个合理的限界函数 ， 并根据限界函 数确定目标函数的界[down, up]（对于最小化问题，根据 数确定目标函数的界 （对于最小化问题，
w=0, v=0 ub=100 2 w=4, v=40 ub=76 4 × w=11 无效解 6 w=9, v=65 ub=69 8 w=12 无效解 × 9 w=9, v=65 ub=65 5 w=4, v=40 ub=70 7 w=4, v=40 ub=64 3 w=0, v=0 ub=60
图9.1 分支限界法求解0/1背包问题示例 （×表示该结点被丢弃，结点上方的序号表示搜索顺序）
分支限界法求解0/1背包问题， 其搜索空间如图9.1所示 所示， 分支限界法求解 背包问题，其搜索空间如图 所示 ， 背包问题 具体的搜索过程如下： 具体的搜索过程如下： （1）在根结点 ，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重 ）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此， 量和获得的价值均为0，根据限界函数计算结点1的目标函数值 量和获得的价值均为 ，根据限界函数计算结点 的目标函数值 为10×10=100； × ； 装入背包， （2）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ，获 ）在结点2，将物品1装入背包 因此，背包的重量为4， 得的价值为40，目标函数值为40 得的价值为 ，目标函数值为 + (10-4)×6=76，将结点 加入 × ，将结点2加入 待处理结点表PT中 在结点3，没有将物品1装入背包 因此， 装入背包， 待处理结点表 中 ； 在结点 ， 没有将物品 装入背包 ， 因此 ， 背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数值为10× ＝ ， 背包的重量和获得的价值仍为 ，目标函数值为 ×6＝60，将 结点3加入表 加入表PT中 结点 加入表 中； 中选取目标函数值取得极大的结点2优先进行搜 （ 3）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜 ） 在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 索； 装入背包， （ 4）在结点 ， 将物品 装入背包 ， 因此 ，背包的重量为 ， ） 在结点4，将物品2装入背包 因此，背包的重量为11， 不满足约束条件，将结点4丢弃 在结点5， 丢弃； 不满足约束条件，将结点 丢弃；在结点 ，没有将
物品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相同 相同， 物品 装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点 相同， 装入背包 目标函数值为40 加入表PT中 目标函数值为 + (10-4)×5=70，将结点 加入表 中； × ，将结点5加入表 中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行搜索 （5）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； ）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； 装入背包， （6）在结点 ，将物品 装入背包，因此，背包的重量为 ，获得 ）在结点6，将物品3装入背包 因此，背包的重量为9， 的价值为65，目标函数值为65 + (10-9)×4=69， 将结点 加入表 的价值为 ， 目标函数值为 × ， 将结点6加入表 PT中；在结点 ，没有将物品 装入背包，因此，背包的重量和获 装入背包， 中 在结点7，没有将物品3装入背包 因此， 得的价值与结点5相同 目标函数值为40 + (10-4)×4＝64，将结 相同， 得的价值与结点 相同，目标函数值为 × ＝ ， 加入表PT中 点6加入表 中； 加入表 中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行搜索 （7）在表 中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； ）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点 优先进行搜索； 装入背包， （ 8）在结点 ， 将物品 装入背包 ， 因此 ， 背包的重量为 ， 不 ） 在结点8，将物品4装入背包 因此，背包的重量为12， 满足约束条件，将结点8丢弃 在结点9，没有将物品4装入背包 丢弃； 装入背包， 满足约束条件 ， 将结点 丢弃 ； 在结点 ， 没有将物品 装入背包 ， 因此，背包的重量和获得的价值与结点6相同 相同， 因此，背包的重量和获得的价值与结点 相同，
如果该结点的目标函数值是表PT中的极值 中的极值（ ，如果该结点的目标函数值是表 中的极值（ 对于最小化问 是极小值；对于最大化问题， 是极大值） 题 ， 是极小值 ； 对于最大化问题 ， 是极大值 ） ， 则该叶子结 点对应的解就是问题的最优解； 否则， 点对应的解就是问题的最优解 ； 否则 ， 根据这个叶子结点调 整目标函数的界（ 对于最小化问题， 调整上界； 整目标函数的界 （ 对于最小化问题 ， 调整上界 ； 对于最大化 问题，调整下界） 依次考察表PT中的结点 中的结点， 问题 ，调整下界 ） ， 依次考察表 中的结点， 将超出目标函 数界的结点丢弃，然后从表PT中选取使目标函数取得极值的 数界的结点丢弃， 然后从表 中选取使目标函数取得极值的 结点继续进行扩展。 结点继续进行扩展。 下面以0/1背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程 背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程。 下面以 背包问题为例介绍分支限界法的搜索过程。假 设有4个物品 其重量分别为(4, 个物品， 设有 个物品，其重量分别为 7, 5, 3)，价值分别为 ，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量 ，背包容量W=10。首先，将给定物品按单位重量价值 。首先， 从大到小排序，结果如表9.1所示 所示。 从大到小排序，结果如表 所示。
目标函数值为65； 目标函数值为 ； 是叶子结点， 的目标函数值是表PT （ 9）由于结点 是叶子结点， 同时结点 的目标函数值是表 ）由于结点9是叶子结点 同时结点9的目标函数值是表 中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解 对应的解即是问题的最优解， 中的极大值 ， 所以 ， 结点 对应的解即是问题的最优解 ， 搜索 结束。 结束。 1